সংযুক্ত গাছের সমস্যাটির এলোমেলোভাবে কোয়েরি জটিলতা

Question

চাইল্ডস এট আল-র একটি 2003 সালের একটি গুরুত্বপূর্ণ কাগজ।"সংযুক্ত গাছের সমস্যা" প্রবর্তন করা: একটি তাত্পর্যপূর্ণ কোয়ান্টাম স্পিডআপ স্বীকৃতি দেওয়ার সমস্যা যা আমরা জানি এমন অন্য কোনও সমস্যার চেয়ে ভিন্ন। এই সমস্যায়, আমাদের নীচের চিত্রের মতো একটি তাত্পর্যপূর্ণ-বৃহত্তর গ্রাফ দেওয়া হয়েছে, যার মধ্যে গভীরতার এন এর দুটি সম্পূর্ণ বাইনারি গাছ থাকে, যার পাতা একে অপরের সাথে এলোমেলো চক্র দ্বারা সংযুক্ত থাকে। আমরা ENTRANCE ভার্টেক্সের লেবেল সরবরাহ করেছি। আমাদের এমন একটি ওরাকল সরবরাহ করা হয়েছে যা কোনও ভার্টেক্সের লেবেল ইনপুট হিসাবে দেওয়া হয়, এর প্রতিবেশীদের লেবেল আমাদের বলে। আমাদের লক্ষ্য হ'ল এক্সিট ভার্টেক্স (যা সহজেই স্বীকৃত হতে পারে, ENTRANCE ভারটেক্স ব্যতীত গ্রাফের একমাত্র ডিগ্রি -2 ভার্টেক্স হিসাবে)। আমরা ধরে নিতে পারি যে লেবেলগুলি দীর্ঘ এলোমেলো স্ট্রিং, যাতে অপ্রতিরোধ্য সম্ভাবনার সাথে,ENTRANCE ভার্টেক্স ব্যতীত অন্য শীর্ষটি এটি ওরাকল দ্বারা দেওয়া উচিত।

বাচ্চাদের ইত্যাদি। দেখিয়েছেন যে একটি কোয়ান্টাম ওয়াক অ্যালগোরিদম কেবল এই গ্রাফের মাধ্যমে ব্যারেল করতে সক্ষম এবং পলি (এন) পদক্ষেপের পরে প্রস্থান বহিরাগতটি খুঁজে পেতে পারে। বিপরীতে, তারা এও দেখিয়েছিল যে কোনও ধ্রুপদী র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদমের উচ্চ সম্ভাবনার সাথে এক্সিট ভার্টেক্স খুঁজে পেতে এক্সপ্রেস (এন) পদক্ষেপ প্রয়োজন। তারা তাদের নিম্ন সীমাটি Ω (2 ^{এন / 6} ) হিসাবে বর্ণনা করেছে , তবে আমি বিশ্বাস করি যে তাদের প্রমাণের কাছাকাছি পরীক্ষা করলে s (2 ^{এন / 2} ) পাওয়া যায়। স্বজ্ঞাতভাবে, এটি অত্যধিক সম্ভাবনার সাথে, কারণ গ্রাফের এলোমেলো হাঁটা (এমনকি একটি স্ব-পরিহার করা হাঁটা ইত্যাদি) খুব বেশি সময়ের জন্য বিস্তৃত মধ্য অঞ্চলে আটকা পড়বে: যে কোনও সময় কোনও ওয়াকারের বাহ্যিক প্রস্থানটির দিকে যাত্রা শুরু করে , এক্সআইটি থেকে দূরে ইঙ্গিত করে সংখ্যক প্রান্তগুলি "রিপ্লেসিভ শক্তি" হিসাবে কাজ করবে যা এটিকে মাঝখানে দিকে ঠেলে দেয়।

তারা যেভাবে যুক্তিটি আনুষ্ঠানিকভাবে প্রবর্তন করেছিলেন তা দেখানো হয়েছিল যে, এটি ~ 2 ^{n / 2} শীর্ষে পরিদর্শন করা অবধি , এলোমেলোভাবে অ্যালগরিদম এমনকি গ্রাফের কোনও চক্রটি খুঁজে পায় নি : উত্সাহিত উপগ্রাখ যে এটি এতক্ষণ দেখা গেছে এটি কেবল একটি গাছ, সরবরাহ করে না যেখানে এক্সিট ভার্টেক্স হতে পারে সে সম্পর্কে তথ্য।

আমি এই সমস্যাটির এলোমেলোভাবে কোয়েরি জটিলতা আরও স্পষ্টভাবে পিন করতে আগ্রহী। আমার প্রশ্নটি হ'ল:

যে কেউ ক্লাসিকাল অ্যালগরিদম নিয়ে আসতে পারেন যা IT 2 ^এন পদক্ষেপের চেয়ে কম পদে এক্সআইটিআইটিটি খুঁজে পেতে পারে --- বলুন, ও (2 ^{এন / 2} ), বা ও (2 ^{2n / 3} )? বিকল্পভাবে, কেউ bound (2 ^{এন / 2} ) এর চেয়ে কম বন্ডকে আরও ভাল কি দিতে পারে ?

(দ্রষ্টব্য, জন্মদিনের প্যারাডক্সের দ্বারা, ও (2 ^{এন / 2} ) পদক্ষেপের পরে গ্রাফের মধ্যে চক্রগুলি খুঁজে পাওয়া খুব কঠিন নয় । প্রশ্নটি হল যে কেউ চক্রটি এক্সিট ভার্টেক্স কোথায় রয়েছে সে সম্পর্কে কোনও ধারণা পেতে ব্যবহার করতে পারে কিনা ))

যদি কেউ নীচের সীমানা অতীত improve (২ ^{এন / ২} ) উন্নতি করতে পারে , তবে আমার জ্ঞানের কাছে এটি ব্ল্যাক-বাক্সের সমস্যাটির প্রথম প্রথম প্রমাণযোগ্য উদাহরণ দেবে যা ঘনিষ্ঠ কোয়ান্টাম স্পিডআপ, যার এলোমেলোভাবে কোয়েরি জটিলতা √N এর চেয়ে বেশি । (যেখানে এন ~ 2 ^এন সমস্যার আকার।

আপডেট: আমি অ্যান্ড্রু চাইল্ডসের কাছ থেকে শিখেছি যে, এই নোটে , ফেনার এবং জাং স্পষ্টভাবে সংক্ষিপ্ত গাছগুলির জন্য নিখরচায় নীচে আবদ্ধ করে Ω (2 ^{এন / 3} ) এ উন্নত করেছে । যদি তারা সাফল্যের সম্ভাবনা ধ্রুবক (তাত্পর্যপূর্ণ-ক্ষুদ্রের চেয়ে) স্বীকার করতে ইচ্ছুক থাকে তবে আমি বিশ্বাস করি যে তারা আরও Ω (2 ^{এন / 2} ) এ আরও উন্নত করতে পারে ।

Answer 1

আমি মনে করি আমার কাছে একটি ডিস্ট্রিমেন্টিক অ্যালগরিদম আছে যা ওরাকল কলগুলিতে প্রস্থান খুঁজে পায় ।$O(n2^{n/2})$

প্রথমে প্রবেশদ্বার থেকে দূরত্বে সমস্ত শিখরের জন্য লেবেল সন্ধান করুন । এটি ও ( 2 এন / 2 ) ক্যোয়ারী নেয়। তারপর, প্রবেশপথ থেকে শুরু করা এবং পদব্রজে ভ্রমণ এন + + 1 একটি নোড পেতে পদক্ষেপ এক্স দূরত্বের এন + + 1 প্রবেশদ্বার থেকে। আমরা এই নোড থেকে প্রস্থান করার চেষ্টা করব।$n/2$$O(2^{n/2})$$n+1$$X$$n+1$

থেকে কোথায় যাবেন তার দুটি বিকল্প রয়েছে এবং আমরা প্রস্থানটির নিকটবর্তী একটি বেছে নিতে চাই। এটি করার জন্য, নোড ওয়াই এ পৌঁছে দেওয়া যথেচ্ছ বিকল্পের মধ্যে একটি বেছে নিন । তারপরে Y থেকে N / 2 পদক্ষেপে চলার সমস্ত ও ( 2 এন / 2 ) উপায় অন্বেষণ করুন । যদি তাদের মধ্যে কোনও প্রবেশদ্বার থেকে দূরত্বের n / 2 এর একটি লেবেল দেয় তবে আমরা জানি যে X থেকে Y এ যাওয়া ভুল পছন্দ ছিল। অন্যথায়, ওয়াই সঠিক পছন্দ ছিল। এইভাবে ও ( 2 এন /$X$$Y$$O(2^{n/2})$$n/2$$Y$$n/2$$X$$Y$$Y$ আমরাপ্রবেশদ্বার থেকেদূরত্ব n + 2 এরএকটি নোড এক্স 2 পেয়েছি।$O(2^{n/2})$$X_2$$n+2$

আমরা এইভাবে এগিয়ে চলতে পারি। প্রবেশদ্বার থেকে দূরত্বের একটি নোড খুঁজতে , আমরা এক্স 2 থেকে শুরু করে দুটি নির্বিচারে পদক্ষেপে চলি । তারপরে আমরা এন / 2 অতিরিক্ত পদক্ষেপগুলি হাঁটার সমস্ত অপশন ঘুরে দেখি (কখনই পিছনের দিকে হাঁটা হয় না) এবং তাদের কোনওটির প্রবেশদ্বার থেকে দূরত্ব n / 2 রয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করে দেখুন। এটি তখনই ঘটবে যদি কেবল এক্স 2 থেকে আমরা প্রথম পদক্ষেপটি ভুল হয়েছিল।$n+3$$X_2$$n/2$$n/2$$X_2$

মোট ও ( এন 2 এন / 2 ) ওরাকল কলগুলির জন্য প্রস্থান করতে প্রস্থান করতে এই বার করা দরকার । তদাতিরিক্ত, সম্ভবত আশ্চর্যরূপে, এই অ্যালগরিদমটি হ'ল নির্দোষ।$n$$O(n2^{n/2})$

সম্পাদনা: কেবলমাত্র স্পষ্ট করার জন্য, থেকে এক্স টি + 1 এ পৌঁছানোর জন্য , আমরা টি নির্বিচারে পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করি, তারপরে মোট টি + 2 এন / 2 পদক্ষেপের জন্য গভীরতার n / 2 অনুসন্ধান করুন । যদি প্রথম পদক্ষেপটি প্রস্থান থেকে দূরে চলে যায় তবে সমস্ত প্রথম টি পদক্ষেপগুলি করেছে এবং আমরা প্রবেশদ্বার থেকে n / 2 দূরত্বে একটি লেবেল পেয়েছি। এর অর্থ X + টি থেকে পরবর্তী একক পদক্ষেপ নির্ধারণের জন্য টি + 2 এন / 2 পদক্ষেপ যথেষ্ট$X_t$$X_{t+1}$$t$$n/2$$t+2^{n/2}$$t$$n/2$$t+2^{n/2}$$X_t$।

Comments

আমি বুঝতে পারছি না। জন্য , আপনি করতে হবে টন থেকে পদক্ষেপ অবাধ এক্স টি এবং তারপর এন / 2 অতিরিক্ত পদক্ষেপ? এটি কি খুব বেশি 2 টি 2 এন / 2 পদক্ষেপ দেবে না? $X_{t+1}$$t$$X_t$$n/2$$2^t2^{n/2}$

— ডোমোটরপ

আমি দ্বিতীয় ডোমোটের্পের বিভ্রান্তি। আপনি কি প্রস্থানটি যতই কাছাকাছি পৌঁছাবেন, আর আপনি যে পথটি শুরুতে জিজ্ঞাসা করেছিলেন তার মধ্যে পয়েন্টগুলির একটিতে পৌঁছানোর দরকার নেই? তবুও, আপনি সম্ভবত এই সত্যটি কাজে লাগাতে পারবেন যে এক্সিটের কাছাকাছি শুরু হওয়া পথগুলি পৌঁছানো পর্যন্ত কেন্দ্রের দিকে বাম দিকে অগ্রসর হওয়ার খুব সম্ভবত সম্ভাবনা রয়েছে? (এটি আপনার অ্যালগরিদমে কিছুটা এলোমেলোভাবে যোগ করবে))$2^{n/2}$

— স্কট অ্যারনসন

$2^{n/2}$

$X_{t+1}$$t$$X_t$$t$$2^t$$n/2$$2^{n/2}$$t+2^{n/2}$$t$$t$$t$

উভয় প্রান্ত থেকে অনুসন্ধান শুরু করার এবং নির্দোষ অ্যালগরিদমের তুলনায় স্কয়ার্ট () উন্নতির দিকে পরিচালিত করার ধারণা দ্বিদ্বন্দ্বী অনুসন্ধান হিসাবে পরিচিত এবং বিভিন্ন প্রসঙ্গে যেমন গুগল মানচিত্রে রুট পরিকল্পনায় বহুবার স্বাধীনভাবে পুনরায় আবিষ্কার করা হয়েছে। মূল উল্লেখটি মনে হয়: জিবি ড্যান্টজিগ। লিনিয়ার প্রোগ্রামিং এবং এক্সটেনশনস। প্রিন্সটন ইউনিভার্সিটি প্রেস, 1962.

— অ্যালেক্স লোপেজ-অরটিজ