বিস্তৃত গ্রাফগুলিতে দীর্ঘ প্ররোচিত পাথের অস্তিত্ব

আসুন বলে যে গ্রাফ পরিবার হয়েছে দীর্ঘ পথ প্ররোচক আছে যদি একটি ধ্রুবক যেমন যে প্রত্যেক গ্রাফ মধ্যে উপর একটি প্ররোচক পথ রয়েছে শীর্ষে। আমি গ্রাফ পরিবারের বৈশিষ্ট্যগুলিতে আগ্রহী যেগুলি দীর্ঘ উত্সাহিত পথের অস্তিত্ব নিশ্চিত করে। বিশেষত, আমি বর্তমানে ভাবছি যে ধ্রুবক-ডিগ্রি প্রসারকারীদের দীর্ঘ প্ররোচিত পথ রয়েছে কিনা। এখানে আমি জানি is $\mathcal{F}$ $\epsilon > 0$ $G$ $\mathcal{F}$ $|V(G)|^{\epsilon}$

ধ্রুবক গড় ডিগ্রি (এর্দেস é রনি মডেল) সহ এলোমেলো গ্রাফগুলির উচ্চ সম্ভাবনা সহ দীর্ঘ (এমনকি লিনিয়ার আকার) প্ররোচিত পথ রয়েছে; উদাহরণস্বরূপ সুনের নিবন্ধটি দেখুন ।
অনন্য-প্রতিবেশী এক্সপেন্ডার গ্রাফগুলিতে ( অ্যালন এবং কোপাল্বোর সংজ্ঞা অনুসারে ) বড় আকারের প্ররোচিত গাছ রয়েছে । আসলে, এই জাতীয় গ্রাফগুলিতে যে কোনও সর্বাধিক উত্সাহিত গাছ বড়।

এই দুটি তথ্য প্রদত্ত আমি প্রত্যাশা করব যে কনট্যান্ট-ডিগ্রি প্রসারণকারীদের দীর্ঘ প্ররোচিত পথ রয়েছে। তবে, আমি কোনও ठोस ফলাফল খুঁজে পেতে অক্ষম ছিলাম। যে কোনও অন্তর্দৃষ্টি অনেক প্রশংসা করা হয়।

graph-theory expanders

— বার্ট জ্যানসেন
সূত্র

উত্তরটি ইতিবাচক হওয়া উচিত যদি আপনার সীমাবদ্ধ-ডিগ্রি গ্রাফের ধ্রুবক সম্প্রসারণ এবং ঘের উভয় সম্পত্তি থাকে । যুক্তিটি হ'ল : একটি শীর্ষস্থান থেকে শুরু করুন, তারপরে পদক্ষেপের জন্য হাঁটাচলা করুন যাতে প্রতিটি পদক্ষেপ এলোমেলোভাবে তাদের মধ্যে বেছে নেওয়া হয় যা আমাদের আগে যে পদক্ষেপে ছিল সেখানে ফিরে যায় না। (সুতারং গ্রাফে হলে -regular আমরা আছে । প্রতিটি পদে পদে র্যান্ডম চয়েস) $\Omega( \log n)$ $n^\epsilon$ $d$ $d-1$

এখন আমি দাবি করি যে, প্রতিটি এবং , আমি যদি পদক্ষেপের এবং পদক্ষেপগুলি , তবে সম্ভাব্যতার যে ধাপ এর শীর্ষবিন্দু এবং ধাপে এর শিখরগুলির মধ্যে একটি প্রান্ত রয়েছে তা । তারপরে, যদি পর্যাপ্ত পরিমাণে ছোট বাছাই করা হয় তবে একটি ইউনিয়ন বেঁধে দেখাবে যে হাঁটা সম্ভাবনার সহ একটি পথ প্ররোচিত করবে । $i$ $j$ $i$ $j$ $i$ $j$ $n^{-\Omega(1)}$ $\epsilon$ $1-o(1)$

যদি ঘেরটি কম, তবে এবং মধ্যে একটি প্রান্তের সম্ভাবনা কেবল শূন্য। যদি , তবে গ্রাফের প্রসারণটি যথেষ্ট যুক্তিযুক্ত হওয়া উচিত যে প্রান্তের এর অস্তিত্ব সম্ভাব্যতা দিয়ে ঘটে । এটি কারণ, একটি নির্দিষ্ট প্রারম্ভের ভার্টেক্স জন্য, ঘেরের সমান বিভিন্ন পদক্ষেপের পরে হাঁটার বিতরণ আকারের সেটের তুলনায় সমান is $|i-j|$ $i$ $j$ $j> i+ \Omega(\log n)$ $(i,j)$ $n^{-\Omega(1)}$ $v$ , এবং তাই সংঘর্ষের সম্ভাবনা রয়েছে ; পরবর্তী প্রতিটি পদক্ষেপে কেবল সংঘর্ষের সম্ভাবনা হ্রাস করা উচিত (এটি সত্যিকারের এলোমেলো হাঁটার জন্য সত্য, তবে এটি এই ব্যাক-ট্র্যাকিং ওয়াকের জন্যও সত্য হওয়া উচিত), এবং সুতরাং সংঘর্ষের সম্ভাবনা, এবং তাই বিতরণটির ন্যূনতম-এনট্রপি থাকে s , এবং এক আঘাত সম্ভাবনা এর প্রতিবেশীদের হয় । $n^{\Omega(1)}$ $n^{-\Omega(1)}$ $n^{-\Omega(1)}$ $O(1)$ $v$ $n^{-\Omega(1)}$

— লুকা ট্রেভিসান
সূত্র

আসলে এটা যে আমি ব্যবহার করছি গ্রাফ ঘের আছে শুধু তাই মনে হয়

এবং প্রতি প্রান্তবিন্দু অন্তত 3 ডিগ্রী আছে, এবং সম্প্রসারণ সত্যিই যুক্তি মধ্যে আসছে না

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$

— লুকা Trevisan