ভার্টেক্স লেবেলিংয়ের "স্থানীয়" ফাংশনগুলির সংমিশ্রণের জন্য গ্রাফের পচন

\underset{এক্স}{Σ} \underset{আমি ঞ \in ই}{Π} চ ({এক্স}_{আমি}, {এক্স}_{ঞ})

$\sum_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$

\underset{এক্স}{সর্বোচ্চ} \underset{আমি ঞ \in ই}{Π} চ ({এক্স}_{আমি}, {এক্স}_{ঞ})

$\max_x \prod_{ij \in E} f(x_i,x_j)$

যেখানে বা সমস্ত লেবেলিংয়ের উপরে সর্বাধিক বা যোগফল নেওয়া হয় , সেখানে গ্রাফ for এবং একটি স্বেচ্ছাসেবী কর্ম হিসাবে পণ্যটি সমস্ত প্রান্ত ধরে নেওয়া হয় । সীমিত গাছের প্রস্থের গ্রাফগুলির জন্য এবং সাধারণভাবে এনপি-হার্ড প্ল্যানার গ্রাফগুলির জন্য এই পরিমাণটি খুঁজে পাওয়া সহজ। যথাযথ বর্ণের সংখ্যা, সর্বাধিক স্বতন্ত্র সেট এবং ইউলেরিয়ান সাবগ্রাফের সংখ্যা উপরের সমস্যার বিশেষ উদাহরণ। আমি এ জাতীয় সমস্যাগুলির জন্য বিশেষত পরিকল্পনাকারী গ্রাফগুলির জন্য বহুবর্ষীয় সময়ের আনুমানিক স্কিমগুলিতে আগ্রহী। গ্রাফের পচনগুলি কী কার্যকর হবে? $V$ $E$ $G=\{V,E\}$ $f$

11/1 সম্পাদনা করুন : উদাহরণ হিসাবে, আমি পচনগুলি সম্পর্কে ভাবছি যা পরিসংখ্যান পদার্থবিজ্ঞানের ক্লাস্টার সম্প্রসারণের (যেমন, মেয়ার সম্প্রসারণ) এর সাথে সমান হতে পারে wond যখন দুর্বল পারস্পরিক ক্রিয়ার প্রতিনিধিত্ব করে, যেমন প্রসারণও মিলিত, যার মানে আপনি দিয়ে নির্দিষ্ট সঠিকতা অর্জন করতে পারে সম্প্রসারণ পদ গ্রাফ আকার নির্বিশেষে। পরিমাণের জন্য পিটিএএসের এই অস্তিত্ব কি বোঝায় না? $f$ $k$

আপডেট 02/11/2011

উচ্চ তাপমাত্রার বিস্তৃতি পার্টিশন ফাংশন পদগুলির সমষ্টি হিসাবে পুনর্লিখন করে যেখানে উচ্চতর অর্ডার শর্তগুলি উচ্চতর অর্ডার ইন্টারঅ্যাকশনগুলির উপর নির্ভর করে। যখন "পারস্পরিক সম্পর্ক ক্ষয়" হয়, উচ্চ আদেশের শর্তগুলি পর্যাপ্ত ক্ষয় হয় যাতে প্রায় এর ভরগুলি সীমাবদ্ধ সংখ্যায় নিম্ন-অর্ডার পদে থাকে। $Z$ $Z$

উদাহরণস্বরূপ আইজিং মডেলটি এর বিভাজন ফাংশনটির নিম্নোক্ত ভাবটি বিবেচনা করুন

জেড = \underset{এক্স \in এক্স}{Σ} মেপুঃ জে \underset{আমি ঞ \in ই}{Σ} {এক্স}_{আমি} {এক্স}_{ঞ} = গ \underset{একজন \in সি}{Σ} (TANH জে)^{| একজন |}

$Z=\sum_\mathbf{x\in \mathcal{X}} \exp J \sum_{ij \in E} x_i x_j = c \sum_{A\in C} (\tanh J)^{|A|}$

এখানে একটি সাধারণ ধ্রুবক, আমাদের গ্রাফের ইউলরিয়ান সাবগ্রাফের একটি সেট,subgraph মধ্যে প্রান্ত সংখ্যা । $c$ $C$ $|A|$ $A$

আমরা সাবগ্রাফগুলিতে একটি যোগফল হিসাবে পুনরায় লিখিত পার্টিশন ফাংশন করেছি যেখানে যোগফলের আকারের মাধ্যমে যোগফলের প্রতিটি পদটি তাত্ক্ষণিকভাবে দন্ডিত হয়। এখন একই কাফেরের সাথে এক সাথে শর্তাবলী এবং প্রথম শর্তাবলী গ্রহণ করে আনুমানিক । আকারের Eulerian subgraphs সংখ্যা যখন খুব দ্রুত হত্তয়া নয়, আমাদের পড়তা ভুলের ব্যাখ্যা মূলকভাবে decays । $Z$ $k$ $p$ $k$

আনুমানিক গণনা সাধারণভাবে শক্ত, তবে "পারস্পরিক সম্পর্কের ক্ষয়" উদাহরণগুলির জন্য সহজ। উদাহরণস্বরূপ, আইজিং মডেলের ক্ষেত্রে, যখন চেয়ে ধীর গতিতে বাড়তে থাকে তখন পারস্পরিক সম্পর্ক ক্ষয় হয় যেখানে আকারের ইউলরিয়ান উপগ্রহের সংখ্যা । আমি এ জাতীয় ক্ষেত্রে বিশ্বাস করি, উচ্চ তাপমাত্রা বিস্তৃতি ছাঁটাইয়া জন্য একটি পিটিএএস দেয় $f(k)$ $(\tanh J)^k$ $f(k)$ $k$ $Z$

আরেকটি উদাহরণ হ'ল ওজনযুক্ত স্বতন্ত্র সেটগুলি গণনা করা - এটি কোনও গ্রাফের জন্য ট্র্যাকটেবল যদি ওজন পর্যাপ্ত পরিমাণে কম হয় তবে আপনি সমস্যাটি পারস্পরিক সম্পর্ককে ক্ষয় করতে পারেন। পরিমাণটি তখন সীমানা আকারের অঞ্চলে স্বতন্ত্র সেট গণনা করে আনুমানিক হয় is আমি বিশ্বাস করি যে ডার ওয়েইজের 'STOC'06'র ফলাফলটি বোঝায় যে সর্বাধিক ডিগ্রি 4 সহ যে কোনও গ্রাফের জন্য অবিবাহিত স্বতন্ত্র সেট গণনা সম্ভব।

আমি "স্থানীয়" পঁচনের দুটি পরিবার পেয়েছি - বেথে ক্লাস্টার গ্রাফ এবং কিকুচি অঞ্চল গ্রাফ। বেথে পচন হ'ল আপনাকে অঞ্চলগুলিতে সংখ্যা গুনতে এবং অঞ্চলকে ওভারল্যাপে গণনা অনুসারে ভাগ করতে বলে। "অন্তর্ভুক্তি-বর্জন" ধরণের সংশোধন ব্যবহার করে অঞ্চল ওভারল্যাপগুলি নিজেরাই ওভারল্যাপ করতে পারে এই বিষয়টি বিবেচনায় নিয়ে কিচুচি অঞ্চল গ্রাফ পদ্ধতিটি উন্নতি করে।

বিকল্প পদ্ধতি হ'ল সমস্যাটি বিশ্বব্যাপী ট্র্যাকটেবল অংশগুলিতে দ্রবীভূত করা, যেমন "" সম্মিলিত স্পেসের উপর বৈকল্পিক অনুক্রম "। তবে স্থানীয় ক্ষয়গুলি আপনাকে অঞ্চল আকার নির্বাচন করে আনুমানিক মানের নিয়ন্ত্রণ করতে দেয়

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ
সূত্র

আমি যা বলতে চাই তা একটি মন্তব্যের (তবে সত্যই হওয়া উচিত) দীর্ঘস্থায়ী।

আমি যদি প্রশ্নটি সঠিকভাবে পড়ছি, আপনি উপরের যে কোনও একটি পরিমাণের জন্য একটি এফপিআরএস (সম্পূর্ণ পলিনোমিয়াল র্যান্ডমাইজড আনুমানিক স্কিম) চান, যার প্রতিটিটিতে বিশেষ # কেস হিসাবে বিভিন্ন # পি-সম্পূর্ণ সমস্যা রয়েছে। বিশেষত, ক্লাস্টার সম্প্রসারণের মাধ্যমে প্ল্যানার গ্রাফগুলির ক্ষেত্রে আপনি একটি সাধারণ এফপিআরএস চান।

আমি সন্দেহ করি যে অস্তিত্ব সমস্যার এনপি-সম্পূর্ণতা (উদাহরণস্বরূপ যথাযথ রঙিন) দ্বারা বোঝা যায় যে এপি-হ্রাসযোগ্যতার (আনুমানিক - সংরক্ষণের)। ডায়ার, গোল্ডবার্গ, গ্রিনহিল এবং জেররাম, অ্যালগরিদমিকা (2004) 38: 471-500 দেখুন।

তবে সম্ভবত আমি প্রশ্নটি ভুলভাবে লিখেছি।

(আসলে, আপনি কি উচ্চ তাপমাত্রা বিস্তারের অর্থ নিরবিচ্ছিন্নভাবে ব্যাখ্যা করতে সক্ষম হবেন?)

— RJK
সূত্র

আমি আমার প্রশ্নের জবাব দিয়েছি

— ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

@ ইয়ারোস্লাভ: বিস্তৃত স্পষ্টির জন্য আপনাকে ধন্যবাদ! বিটিডাব্লু, "অঞ্চল" দ্বারা আপনি কি "ভার্টেক্স সাবসেট" বলতে চাচ্ছেন? (আমি হেস্কে, জেআর 26 (2006), 153-190 তাকানোর সময় আমি এটি দেখতে পাচ্ছি) তাই বাস্তবে মনে হয় আপনি নির্দিষ্ট ক্লাসের জন্য নির্দিষ্ট এফপিআরএস (এটি চ এর নির্দিষ্ট পছন্দ সহ) খুঁজছেন (যেমন ডিগ্রীর মতো বেশিরভাগ 4) প্ল্যানার গ্রাফগুলি ব্যবহার করে যা আপনি "গ্রাফের পচন" (যা একটি খুব ওভারলোডেড শব্দ, ন্যায্য হতে পারে) হিসাবে উল্লেখ করেন। এটা কি ঠিক?

— আরজেকে

হ্যাঁ, অঞ্চলগুলি ভার্টেক্স সাবসেট, এবং আমি গ্রাফিকের "ট্র্যাকটেবল" ক্লাসের জন্য পিটিএএসে আগ্রহী। বিটিডব্লিউ, এখানে স্বচ্ছ সেটগুলি গণনা করার জন্য একটি ক্লাস্টার পচানোর একটি কার্যকরী

— ইয়ারোস্লাভ