আবদ্ধ গাছের চওড়ার গ্রাফগুলিতে কঠিন বৈশ্বিক সমস্যাগুলি থেকে সহজ বৈশ্বিক সমস্যাগুলি কী আলাদা করে?

18

সীমিত গাছের চওড়ার গ্রাফগুলিতে প্রচুর হার্ড গ্রাফ সমস্যাগুলি বহুবর্ষীয় সময়ে সমাধানযোগ্য । প্রকৃতপক্ষে, পাঠ্যপুস্তক সাধারণত উদাহরণ হিসাবে ইন্ডিপেন্ডেট সেট ব্যবহার করে যা স্থানীয় সমস্যা । মোটামুটিভাবে, একটি স্থানীয় সমস্যা হ'ল এমন একটি সমস্যা যার সমাধান প্রতিটি ভার্টেক্সের কিছু ছোট ছোট পাড়া পরীক্ষা করে সমাধান করা যায়।

মজার বিষয় হল, এমনকি বিশ্বব্যাপী প্রকৃতির সমস্যাগুলি (যেমন হ্যামিল্টোনিয়ান পাথ) এখনও সীমাবদ্ধ বৃক্ষদ্বীপ গ্রাফগুলির জন্য দক্ষতার সাথে সমাধান করা যেতে পারে। এই জাতীয় সমস্যার জন্য, সাধারণ গতিশীল প্রোগ্রামিং অ্যালগরিদমগুলিকে গাছের পঁচনের সাথে সম্পর্কিত বিভাজককে সমাধান করতে পারে এমন সমস্ত উপায়ের উপর নজর রাখতে হবে (উদাহরণস্বরূপ [1])। র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদম (তথাকথিত কাট'আনকাউন্টের উপর ভিত্তি করে) দেওয়া হয়েছিল [1], এবং উন্নত (এমনকি নির্বিচারক) অ্যালগরিদমগুলি [2] এ বিকাশ করা হয়েছিল।

আমি এটি জানি না যে এটি অনেকটা সঠিকভাবে বলা যায় তবে কমপক্ষে কিছু গ্লোবাল সমস্যা সীমিত গাছের চওড়ার গ্রাফের জন্য দক্ষতার সাথে সমাধান করা যেতে পারে। তাহলে এই জাতীয় গ্রাফগুলিতে যে সমস্যাগুলি শক্ত থাকে তা সম্পর্কে কী? আমি ধরে নিচ্ছি তারাও বিশ্বব্যাপী প্রকৃতির, তবে আর কী? কি বিশ্বব্যাপী সমস্যা থেকে এই হার্ড বিশ্বব্যাপী সমস্যার আলাদা করতে দক্ষতার সমাধান করা যেতে? উদাহরণস্বরূপ, কীভাবে এবং কেন জ্ঞাত পদ্ধতিগুলি তাদের জন্য আমাদের দক্ষ অ্যালগরিদম দিতে ব্যর্থ হবে?

উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত সমস্যাগুলি (গুলি) বিবেচনা করতে পারে:

এজ precoloring এক্সটেনশন গ্রাফ দেওয়া কিছু প্রান্ত রঙ্গিন সঙ্গে, সিদ্ধান্ত নেন এই রং একটি সঠিক বাড়ানো যাবে গ্রাফ -edge-ভাব । $G$ $k$ $G$

এজ প্রিকোলোরিং এক্সটেনশন (এবং এর তালিকার প্রান্তের বর্ণের রূপটি) দ্বিদলীয় সিরিজ-সমান্তরাল গ্রাফের জন্য এনপি-সম্পূর্ণ, [3] (এই জাতীয় গ্রাফের মধ্যে গাছের প্রস্থ সর্বাধিক 2 থাকে)।

ন্যূনতম যোগফল প্রান্তে বর্ণিত একটি গ্রাফ , একটি প্রান্ত- যেমন এবং যদি একটি সাধারণ প্রান্ত থাকে, তবে । উদ্দেশ্যটি হ'ল যোগফলকে হ্রাস করুন । $G=(V,E)$ $\chi : E \to \mathbb{N}$ $e_1$ $e_2$ $\chi(e_1) \neq \chi(e_2)$ $E'_\chi(E) = \sum_{e \in E} \chi(e)$

অন্য কথায়, আমাদের গ্রাফের প্রান্তগুলিতে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার নির্ধারণ করতে হবে যে সংলগ্ন প্রান্তগুলি বিভিন্ন পূর্ণসংখ্যা প্রাপ্ত করে এবং নির্ধারিত সংখ্যার যোগফল সর্বনিম্ন হয়। এই সমস্যাটি আংশিক 2-গাছের জন্য এনপি-হার্ড [4] (অর্থাত্ সর্বোচ্চ 2 টি বৃক্ষের প্রস্থের গ্রাফ)।

এই জাতীয় অন্যান্য সমস্যাগুলির মধ্যে রয়েছে প্রান্ত-বিচ্ছিন্ন পাথ সমস্যা, সাবগ্রাফ আইসোমর্ফিিজম সমস্যা এবং ব্যান্ডউইথ সমস্যা (উদাহরণস্বরূপ [5] এবং এর উল্লেখগুলি দেখুন)। গাছগুলিতে এমনকি শক্ত থাকা সমস্যার জন্য, এই প্রশ্নটি দেখুন ।

[১] সাইগান, এম।, নেদারলফ, জে।, পিলিপকজুক, এম।, ভ্যান রুইজ, জেএম, এবং ওয়াজটাসজেকিক, জেও (২০১১, অক্টোবর)। সংযোগের সমস্যাগুলি সমাধান করা একক ঘনঘন সময়ে ট্রিউইথ দিয়ে পরামিতি করে। কম্পিউটার সায়েন্সের ফাউন্ডেশনে (এফওসিএস), ২০১১ আইইইই 52 তম বার্ষিক সিম্পোজিয়াম (পিপি 150-159)। আইইইই।

[২] বোদেলার, এইচএল, সাইগান, এম।, ক্রেটস, এস, এবং নেদারলফ, জে। (2013)। ট্রিউইথথ দ্বারা প্যারামিটারাইজড সংযোগ সমস্যাগুলির জন্য নির্ণায়ক একক সূচকীয় সময় অ্যালগরিদম। অটোমাতা, ভাষা এবং প্রোগ্রামিংয়ে (পৃষ্ঠা 196-207)। স্প্রিঞ্জার বার্লিন হাইডেলবার্গ।

[3] মার্কস, ডি। (2005) এনপি plan প্ল্যানার গ্রাফগুলির প্রান্তগুলিতে তালিকাগুলি রঙিনকরণ এবং পূর্বরঙের সম্প্রসারণের সম্পূর্ণতা। গ্রাফ থিওরি জার্নাল, 49 (4), 313-324।

[৪] মার্কস, ডি (২০০৯)। ন্যূনতম যোগফলের রঙের জন্য জটিলতার ফলাফল। বিচ্ছিন্ন প্রয়োগিত গণিত, 157 (5), 1034-1045।

[5] নিশিজেকি, টি।, ভাইজেন, জে, এবং ঝো, এক্স। (2001)। প্রান্ত-বিচ্ছিন্ন পথগুলির সমস্যাটি সিরিজ-সমান্তরাল গ্রাফগুলির জন্য এনপি-সম্পূর্ণ। বিচ্ছিন্ন প্রয়োগিত গণিত, 115 (1), 177-186।

graph-theory graph-algorithms treewidth

— Juho
সূত্র

কিছুটা অনুরূপ কি র্যান্ডম 3-স্যাট জন্য treewidth এবং উদাহরণস্বরূপ কঠোরতা মধ্যে পারস্পরিক কি? যা গ্যাসপার্স / জিজিডার দ্বারা বদ্ধ বৃক্ষবৃত্তের স্যাটকে শক্তিশালী ব্যাকডোরগুলি উদ্ধৃত করে

— ভিজএনপি

16

সীমাবদ্ধ ট্রিউইথের গ্রাফের জন্য বেশিরভাগ অ্যালগরিদমগুলি ডায়নামিক প্রোগ্রামিংয়ের কিছু ফর্মের উপর ভিত্তি করে। এই অ্যালগরিদমগুলি দক্ষ হওয়ার জন্য, আমাদের গতিশীল প্রোগ্রামিং সারণিতে রাজ্যের সংখ্যা আবদ্ধ করতে হবে: আপনি যদি বহু-কালীন অ্যালগরিদম চান, তবে আপনার যদি বহুবর্ষীয় রাজ্যের সংখ্যা প্রয়োজন (যেমন, এন টো), আপনি যদি চান সমস্যাটি এফপিটি হ'ল দেখান, আপনি সাধারণত দেখাতে চান যে রাজ্যের সংখ্যা বৃক্ষপাতের কিছু ফাংশন। কিছু ছোট বিভাজকের গ্রাফ ভাঙার সময় রাজ্যের সংখ্যা সাধারণত বিভিন্ন ধরণের আংশিক সমাধানের সংখ্যার সাথে মিলে যায়। সীমাবদ্ধ-গাছপালার গ্রাফগুলিতে একটি সমস্যা সহজেই সহজ হয় কারণ বাহ্যিক সংখ্যাগুলির একটি সীমানা সংখ্যার মাধ্যমে বাহ্য বিশ্বের সাথে যোগাযোগের আংশিক সমাধানগুলির মধ্যে কেবল একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক প্রকার থাকে। উদাহরণ স্বরূপ, স্বাধীন সেট সমস্যার ক্ষেত্রে আংশিক সমাধানের ধরণটি কেবলমাত্র সীমানা শীর্ষকে বাছাই করা উপর নির্ভর করে on হ্যামিলটোনীয় চক্র সমস্যার ক্ষেত্রে আংশিক সমাধানের ধরণটি আংশিক দ্রবণটির সাবপাথগুলি কীভাবে একে অপরের সাথে সীমানার শিখরের সাথে মিলে যায় তা বর্ণনা করে। আংশিক সমাধানগুলিতে কেবল সীমাবদ্ধ সংখ্যক প্রকার রয়েছে এমন সম্পত্তি থাকার জন্য কারসেলের তত্ত্বের বৈকল্পিকগুলি সমস্যার জন্য পর্যাপ্ত শর্ত দেয়।

সীমাবদ্ধ-গাছপালার গ্রাফগুলিতে যদি সমস্যাটি শক্ত হয় তবে এটি সাধারণত নিম্নলিখিত তিনটি কারণে একটি হয়।

গ্রাফ দ্বারা ক্যাপচার করা হয়নি এমন সমস্যার মধ্যে ইন্টারঅ্যাকশন রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, স্টেইনার ফরেস্ট হ'ল গাছের প্রস্থ 3 এর গ্রাফগুলিতে এনপি-হার্ড, স্বজ্ঞাতভাবে কারণ উত্স-গন্তব্য জোড়গুলি ননডজ্যাসেন্ট উল্লম্বের মধ্যে মিথস্ক্রিয়া তৈরি করে।

এলিজাবেথ গাসনার: স্টেইনার ফরেস্ট সমস্যা পুনরায় দেখা গেছে। জে ডিস্রিট অ্যালগরিদম 8 (2): 154-163 (2010)

মোহাম্মদ হোসেইন বাতেেনি, মোহাম্মদ তাগি হাজিয়াঘাই, ডানিয়েল মার্কস: স্ট্যান্ডার ফরেস্টের প্লানার গ্রাফ এবং চৌম্বক বৃক্ষবৃদ্ধির গ্রাফগুলির জন্য আনুমানিক পরিকল্পনা জে এসিএম 58 (5): 21 (2011)

গ্রাফের প্রান্তগুলিতে সমস্যাটি সংজ্ঞায়িত করা হয়। তারপরেও যদি গ্রাফের কোনও অংশটি সীমানা সংখ্যার দ্বার দিয়ে গ্রাফের বাকী অংশের সাথে সংযুক্ত থাকে, তবে কয়েকটি কয়েকটি শীর্ষে বহু প্রান্তের ঘটনা ঘটতে পারে এবং তারপরে আংশিক সমাধানের অবস্থা কেবলমাত্র তার অবস্থার বর্ণনা দিয়েই বর্ণনা করা যায় এই সমস্ত প্রান্ত। [3,4] এ সমস্যার কারণ এটি in
প্রতিটি ভার্টেক্সে বিভিন্ন সংখ্যক রাজ্য থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ক্যাপাসিটেড ভার্টেক্স কভারটি ডাব্লু [1] - গাছের প্রস্থের দ্বারা পরামিতি করা হয়েছে, স্বজ্ঞাতভাবে কারণ কারণ একটি আংশিক সমাধানের বিবরণটি কেবল যে বিভাজকটির উল্লম্বগুলি নির্বাচিত হয়েছিল তা উল্লেখ করেই জড়িত নয়, তবে বিভক্তির প্রতিটি নির্বাচিত শীর্ষবিন্দুটি কত গুণ ছিল তা উল্লেখ করে প্রান্তগুলি কভার করতে ব্যবহৃত।

মাইকেল ডম, ড্যানিয়েল লোকশতানভ, সেকেট সৌরভ, ইঙ্গভে ভিলেঞ্জার: ক্যাপাসিটেড আধিপত্য ও প্রচ্ছদ: একটি প্যারামিটারাইজড পার্সপেকটিভ। IWPEC 2008: 78-90

— ড্যানিয়েল মার্কস
সূত্র

3

পুনরায় # 2 "গ্রাফের প্রান্তগুলিতে সমস্যাটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে": তবে সীমাবদ্ধ গাছের প্রস্থের জন্য, কার্সেলের উপপাদ্যটি কেবল ভারটেক্স সেটগুলিতেই নয়, কিনারা সেটগুলির উপর পরিমাপের অনুমতি দেয়। সুতরাং আপনার যদি প্রান্তে প্রতি সীমাবদ্ধ পরিমাণের রাজ্য থাকে তবে তা কোনও বাধা নয়।

— ডেভিড এপস্টিন

3

@ ডেভিড এপস্টেস্টিন প্রান্ত-সংজ্ঞায়িত সমস্যা রয়েছে যা কোরসেলের উপপাদ্যটি ব্যবহার করে প্রকাশ করা শক্ত। উদাহরণস্বরূপ, কিছু নির্দিষ্ট গ্রাফের এজ-ডিসজিউন্ট কপিগুলি প্যাকিং যেমন একটি সমস্যা, তবে ভার্টেক্স-বিচ্ছিন্ন সংস্করণটি এমন একটি সাবগ্রাফ সন্ধানের জন্য প্রকাশ করা যেতে পারে যেখানে প্রতিটি উপাদান নির্দিষ্ট গ্রাফের জন্য বিচ্ছিন্ন। এছাড়াও, প্রান্ত-সংজ্ঞায়িত সমস্যার দ্বারগুলিতে বাধা থাকতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি শীর্ষবিন্দুর বেশিরভাগ অর্ধেকটি নির্বাচিত হয়েছে), যদিও আপনি এটিকে কারণ হিসাবে # 3 শ্রেণিবদ্ধ করতে পারেন (ভার্টেক্স প্রতি বৃহত সংখ্যক রাজ্য)।

— ড্যানিয়েল মার্কস

11

আমার পরামর্শটি হবে কর্সেলের উপপাদ্যটি মনোযোগ সহকারে দেখার জন্য , যে বৃক্ষের প্রশস্ততা দ্বারা পরামিতি করার সময় মনাদিক দ্বিতীয় ক্রমের যুক্তিতে যুক্ত হতে পারে (কিছু নির্দিষ্ট এক্সটেনশন) এফপিটি অ্যালগরিদম রয়েছে problems আমার সন্দেহ হ'ল এটি এই গ্রাফগুলির জন্য FPT সমস্যার অনেকগুলি বা বেশিরভাগ জ্ঞাত উদাহরণকে অন্তর্ভুক্ত করে। এই দৃষ্টিতে, আপনার স্থানীয় / বৈশ্বিক পার্থক্যটি অস্তিত্বের এমএসও বনাম যেগুলির MSO সূত্রগুলিতে উচ্চ মাত্রার পরিমাণের পরিমাণ রয়েছে তার মধ্যে প্রকাশযোগ্য সমস্যাগুলির মধ্যে পার্থক্যের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে জড়িত বলে মনে হচ্ছে। আপনার আসল প্রশ্নে ফিরে যেতে, এমএসও গঠনের অভাব (যা মাইহিল er নেরোড উপপাদ্য সম্পর্কিত ধারণা ব্যবহার করে অনেক ক্ষেত্রে নিঃশর্তভাবে প্রমাণিত হতে পারে) কোনও এফপিটি অ্যালগরিদমের অভাবের পক্ষে প্রমাণ (জটিলতা তাত্ত্বিক অনুমান ব্যতিরেকে প্রমাণ করা শক্ত)।

— ডেভিড এপস্টিন
সূত্র

5

আমি মনে করি এরকম উদাহরণগুলির মধ্যে একটি হল বিরল কাটা সমস্যা। ইউনিফর্ম স্পার্সেস্ট কাট সমস্যা সীমানা গাছের প্রস্থের গ্রাফগুলিতে সমাধানযোগ্য তবে ভারসাম্যযুক্ত বিরল কাট সমস্যা সীমানা গাছের প্রশস্ততার গ্রাফগুলিতেও প্রায় (17/16 এর চেয়ে ভাল) নয়।

স্পার্সেস্ট কাট সমস্যার বিভিন্ন বিভিন্ন রূপ রয়েছে তবে সুপরিচিত একগুলির নিম্নরূপ।

গ্রাফ দেওয়া এবং একটি ওজন ফাংশন , একটি প্রান্ত কাটা খুঁজে $G=(V,E)$ $w:E(G)\rightarrow N$ $E(S,V\setminus S) \subseteq E(G)$ $S \subset V$ $\frac{W(E(S,V\setminus S))}{|S||V\setminus S|}$ $E'\subseteq E(G)$ $W(E')=\sum_{e\in E'}w(e)$

প্রধান উপাদান দুটি জিনিস দিয়ে তৈরি:

অতিরিক্ত ফাংশন, যেমন এখানে ওজন ফাংশন। তবে এখনও ওজন ফাংশন নিয়ে কিছু সমস্যা রয়েছে যা সীমানা গাছের প্রস্থের অনির্দেশিত গ্রাফগুলিতে খুব কঠিন নয়।
বিরল কাটা সমস্যার প্রকৃতি। সমস্যার সংজ্ঞাটিতে গতিশীল প্রোগ্রামিংয়ের জন্য একাধিক নির্ভরতার অস্তিত্ব। স্বতঃস্ফূর্তভাবে ভাল সমাধানটি হ'ল আমরা একটি গ্রাফকে (কিছু প্রান্ত অপসারণ করে) প্রায় দুটি সমান আকারে ভাগ করি, অন্যদিকে এই বিভাজনে আমরা ব্যবহার করি এমন সংখ্যক প্রান্তকে আমরা মুছি। সীমানা গাছপালার গ্রাফে সমস্যাটি যে কারণে কঠিন তা হ'ল আমাদের দুটি দিকের গতিশীল প্রোগ্রামিং প্রয়োগ করা উচিত, তবে উভয় দিকই একে অপরের উপর নির্ভরশীল।

সাধারণভাবে, যদি সমস্যাটি এমনভাবে হয় যাতে ডায়নামিক প্রোগ্রামিংয়ের জন্য একাধিক মাত্রার প্রয়োজন হয় এবং সেই মাত্রাগুলি একে অপরের উপর নির্ভরশীল থাকে তবে বাঁধা গাছের প্রস্থের গ্রাফগুলিতে সমস্যাটি শক্ত হওয়ার সম্ভাবনা থাকে। আমরা এই প্যাটার্নটিকে উভয় সমস্যার পাশাপাশি একইসাথে খুব কম সমস্যার সমাধান করতে পারি। (প্রথম সমস্যাটিতে আমরা পূর্বের রঙটি অন্যদিকে রাখতে চাই যত তাড়াতাড়ি ছোট রঙিন রাখি, দ্বিতীয় সমস্যাটিতে অবশ্যই দুটি কার্য রয়েছে যা একে অপরের সাথে নির্ভরশীল)

— সাঈদ
সূত্র