কোসেট চৌরাস্তা সমস্যার জটিলতা

Question

প্রতিসম গ্রুপ এবং দুটি উপগোষ্ঠী জি , এইচ ≤ এস এন , এবং π ∈ এস এন দেওয়া , জি π ∩ এইচ = ∅ ধরে?$S_n$$G, H\leq S_n$$\pi\in S_n$$G\pi\cap H=\emptyset$

আমি যতদূর জানি সমস্যাটি কোসেট ছেদ সমস্যা হিসাবে পরিচিত। আমি ভাবছি জটিলতা কি? বিশেষত, এই সমস্যাটি কোয়ামে থাকার কথা?

তদুপরি, যদি অ্যাবেলিয়ান হিসাবে সীমাবদ্ধ থাকে তবে জটিলতাটি কী হয়ে যায়?$H$

Comments

দুটি গ্রুপ কীভাবে ইনপুট হিসাবে উপস্থাপিত হয়?

— এমিল জেব্যাক মনিকে 24

কনভেনশন দ্বারা, তারা জেনারেটর সেট দ্বারা দেওয়া হয়।

— মাওমাও

কোসেট ছেদ করার সমস্যাটি সাধারণত বিপরীতভাবে বর্ণিত হয়: যদি তারা ছেদ করে তবে উত্তর হ্যাঁ হয়। এটা তোলে সমস্যা যে এই সংস্করণ । $\mathsf{NP} \cap \mathsf{coAM}$

— জোশুয়া গ্রাচো

একটি আকর্ষণীয় পার্শ্ব নোট, যা উপরের কোনওটিকেই অকার্যকর করে দেয়: গ্রাফ আইসোমর্ফিিজম, কোসেট ছেদ এবং স্ট্রিং আইসোমর্ফিজম এই দুটি দিনই বাবাই প্রথম একটি সেমিনারে প্রথম বর্ণিত একটি নতুন ফলাফলের বিষয় ছিল। এখনও কোনও প্রকাশনা নেই, তবে দেখে মনে হচ্ছে তাদের সবার জন্য এখন একটি আধাস্ত্র-বহুবচনীয় অ্যালগরিদম রয়েছে।

— পেরি

Answer 1

মাঝারিভাবে ঘৃণ্য সময় এবং (সমস্যার বিপরীতে যেমন বলা হয়েছে: কোসেট ছেদ করলে সাধারণত "হ্যাঁ" উত্তর থাকে তবে এটি ওকিউতে কীভাবে বর্ণিত হয়েছে তার বিপরীতে।)$\mathsf{coAM}$

লুকস 1999 ( নিখরচায় লেখকের অনুলিপি ) -সময়ের অ্যালগরিদম দিয়েছে, যখন বাবাই (তাঁর 1983 পিএইচডি থিসিসটি দেখুন, এছাড়াও বাবাই-ক্যান্টোর-লুকস ফোকস 1983 এবং একটি প্রকাশিত জার্নাল সংস্করণ) একটি 2 দিয়েছে ˜ ও ( $2^{O(n)}$অ্যালগরিদম, যা আজ অবধি সবচেয়ে বেশি পরিচিত। যেহেতু গ্রাফ isomorphism দ্বিঘাত আকারের coset ছেদ করার কমে এই উন্নতি2 ~ হে (ঢ 1 / 4 - ε )গ্রাফ isomorphism জন্য শিল্প রাষ্ট্র উন্নতি হবে।$2^{\tilde{O}(\sqrt{n})}$$2^{\tilde{O}(n^{1/4-\epsilon})}$

Answer 2

সম্পূরক, অর্থাত্ যেখানে আপনি পরীক্ষা করা হবে কিনা তা জিজ্ঞাসা করা হয় বিবেচনা করুন । আমি নির্দিষ্ট এই উত্তর , পরীক্ষা করিয়া ছ ∈ ⟨ ছ 1 , ... , ছ ট ⟩ হয় এনসি ⊆ পি [1]। সুতরাং আপনি g , h ∈ S n অনুমান করতে পারেন এবং বহু ∈ সময়ের মধ্যে g ∈ G , h ∈ h এবং g π = h কিনা তা পরীক্ষা করতে পারেন । এটি একটি এনপি উত্পাদন করে$G \pi \cap H \not= \emptyset$$g \in \langle g_1, \ldots, g_k\rangle$$\text{NC} \subseteq \text{P}$$g, h \in S_n$$g \in G$$h \in H$$g \pi = h$$\text{NP}$উপরের আবদ্ধ এবং, সুতরাং, আপনার সমস্যা ।$\text{coNP}$

সম্পাদনা করুন : এটি [2, থিম এ দেখানো হয়েছে। 15] coset ছেদ সমস্যা যে । যেমনটি এখানে উল্লেখ করা হয়েছে , পি। 7, কোসেট ছেদ করার সমস্যাটি তাই এনপি-সম্পূর্ণ নয়, যদি না বহুবর্ষের সময়ক্রমক্রম হ্রাস পায়। অধিকন্তু, এটি এখানে উল্লেখ করা হয় , পি। 6, এটি LUKS দ্বারা দেখানো হয়েছিল যে সমস্যা হয় পি যখন এইচ সমাধেয়, যা ক্ষেত্রে অন্তর্ভুক্ত এইচ abelian।$\text{NP} \cap \text{coAM}$$\text{P}$$H$$H$

[1]  এল বাবাই, ইএম লুকস এবং এ সেরেস। এনসিতে পারমিটেশন গ্রুপগুলি । Proc। থিউরি অফ কম্পিউটিং এর 19 তম বার্ষিক এসিএম সিম্পোজিয়াম, পৃষ্ঠা 409-420, 1987।

[2] এল। বাবাই, এস মরন। আর্থার-মের্লিন গেমস: একটি এলোমেলো প্রুফ সিস্টেম এবং জটিলতা শ্রেণীর শ্রেণিবিন্যাস । কম্পিউটার ও সিস্টেম সায়েন্সেস জার্নাল, খণ্ড। 36, সংখ্যা 2, পৃষ্ঠা 254-276, 1988।

Comments

$GH=<{st: s\in S, t\in T}>$

আমার খারাপ, আমার মস্তিস্ক এক মুহুর্তের জন্য "স্বাভাবিক" এবং "দ্রবণযোগ্য" মিশ্রিত হয়েছে। আমি দুঃখিত. আমি উত্তরটি সম্পাদনা করেছি, আমি আশা করি এটি আপনার প্রশ্নের উত্তর দিয়েছে।

— মাইকেল ব্লন্ডিন 21

এইচ যখন জি এর একটি সাধারণ উপগোষ্ঠী হয়, তখন কোসেট ছেদ করার সমস্যাটি খুব সহজ হয়: এটি কেবল সদস্যপদে সমস্যা হ্রাস করে (হয় $\pi$ইন জি)।

— জোশুয়া গ্রাচো

ঠিক আছে, আপনাকে ধন্যবাদ। আমার উত্তরের সেই অংশটি তখন বেশ মূল্যহীন।

— মাইকেল ব্লন্ডিন

আমি অনুচ্ছেদটি সরিয়েছি, এটি কেবল বিভ্রান্তিকর ছিল।

— মাইকেল ব্লন্ডিন