মেজরিটির জন্য সার্কিটের সর্বনিম্ন বৃক্ষ প্রস্থ

এমএজে কম্পিউটিংয়ের জন্য circuit over ওভার সার্কিটের সর্বনিম্ন বৃক্ষ প্রস্থ কত ? $\{\wedge,\vee,\neg\}$

এখানে এমএজে in আউটপুট 1 যদি এর ইনপুটগুলির কমপক্ষে অর্ধেক ইনপুট হয় । $:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ $1$

আমি কেবল সার্কিটের আকার সম্পর্কে (বহুত্ববাদী হওয়া উচিত) যত্ন নিয়েছি এবং কোনও ইনপুট কেবল একবার পড়তে হবে যদিও কোনও ইনপুট গেটের ফ্যান-আউট নির্বিচারে হতে পারে (এটি গুরুতরভাবে সার্কিটের গাছের প্রস্থকে প্রভাবিত করে - ব্রাঞ্চিং MAJ থেকে Barrington আপনার এর উপপাদ্য থেকে প্রাপ্ত প্রোগ্রাম , স্কিউ সার্কিট হিসেবে ব্যাখ্যা, সাহায্যের হবে না)। এবং অবশ্যই গাছের প্রস্থ সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। গভীরতা বা অন্য কোনও প্যারামিটার সম্পর্কে আমি যত্ন করি না । $\in$ $\mathsf{NC}^1$

এমএজে জন্য কয়েকটি সাধারণ সার্কিটগুলির মধ্যে রয়েছে:

ওয়ালেস ট্রি সার্কিট (উদাহরণস্বরূপ থিম 8.9 এখানে ) যা in 1 এ রাখার জন্য 3-থেকে -2 ট্রিক ব্যবহার করে ? $\mathsf{NC}^1$
ভ্যালিয়েন্টের জন্য সার্কিট (উদাহরণস্বরূপ এখানে উপপাদ্য 4 এখানে ) $\mathsf{NC}^1$
$\log^{O(1)}{n}$ গভীরতার বাছাইয়ের নেটওয়ার্ক যেমন ব্যাচার বাছাই
একেএস বাছাই নেটওয়ার্ক

এর মধ্যে কারও কি পলিউগারিদমিক গাছের প্রস্থ সীমাবদ্ধ বা এমনকি রয়েছে?

বা আসলে,

এমএজে-র জন্য কোনও বৃক্ষ-প্রস্থের সীমাবদ্ধ বৃক্ষবিধি নেই এমন বিশ্বাস করার কোনও কারণ আছে কি?

লক্ষ্য করুন যে সীমাবদ্ধ বৃক্ষ-প্রস্থের সার্কিট দ্বারা গণনা করা প্রতিটি ক্রিয়াকলাপ একটি সার্কিট দ্বারা গণনা করা যেতে পারে এমনকি জানসেনসর্মা মাধ্যমে একবারে পড়ার আগে কোনও শর্ত নেই । সুতরাং এই জাতীয় সার্কিট পরিবারের অবিচ্ছিন্নতা ইঙ্গিত দেয় যে পড়ার সময় একবারের সার্কিটের ক্ষেত্রে এই আবদ্ধিকে আরও শক্ত করা যেতে পারে। $\mathsf{NC}^1$

— SamiD
সূত্র

কেন এটি কোনও ভাষার জন্য তুচ্ছ নয় ? আমি যতদূর দেখতে পাচ্ছি সূত্রগুলিতে (অর্থাত্ গাছগুলি) গাছের প্রস্থ , বা আমি কি কিছু হারিয়ে ফেলছি?

{N C}^{1}

$\mathrm{NC}^1$

1

$1$

— এমিল জ্যাবেক

আমি মনে করি ওপি একই সূত্রের সাথে সূত্রযুক্ত সূত্র গাছের সমস্ত পাতা সনাক্ত করে, যা চক্র তৈরি করে।

— সাশো নিকোলভ

সংখ্যাগরিষ্ঠের জন্য একটি সার্কিট ট্রিউইথ ও (লগ এন) এ প্রয়োগ করা যেতে পারে। সার্কিটটি কেবলমাত্র একটি অনলাইন অ্যালগরিদম সিমুলেট করে যা একবারে একটি ইনপুট বিট পড়ে এবং O (লগ এন) বিট সহ একটি সংখ্যায় 1 যোগ করে যদি এবং ইনপুটটি কেবলমাত্র 1 হয় তবে নোট করুন যে সার্কিটটির গভীরতা O (n) হয়। চিত্রের 1 দেখুন ( arxiv.org/pdf/1404.5565v1.pdf )। ছোট গভীরতার একটি সার্কিট অগত্যা ছোট গাছের প্রস্থ নয় কারণ সাশো নিকোলভ নির্দেশ করেছেন যে আপনাকে একই ইনপুট ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কিত নোডগুলি সনাক্ত করতে হবে।

— ম্যাটিউস ডি অলিভিরা অলিভিরা

@ ম্যাটিউড ওলিভিরা ওলিভিরা আপনি যে নির্মাণটি দেখিয়েছেন এটি সুন্দর এবং সাধারণ এবং আমার কাছে প্রায় প্রয়োজন। আমার সত্যিকারের যা দরকার তা হ'ল একটি নির্মাণ যা বেঁধে রাখা গাছের প্রস্থে কাজ করে (বা এটি কেন সম্ভব নয় এমন কিছু ইঙ্গিত)। অন্য কোনও উত্তর আছে কিনা তা দেখার জন্য আমি কয়েকদিন অপেক্ষা করব - অন্যথায় (যদি আপনি নিজের মন্তব্যে উত্তরে রূপান্তর করেন) আমি এটি অনুমোদন করব।

— সামিডি

@ সামিডি আমি এই মন্তব্যে উত্তরে প্রসারিত করেছি। এর আগে আমি উত্তর হিসাবে পোস্ট করিনি কারণ এটি আপনি যা চেয়েছিলেন তার অর্ধেক।

— ম্যাটিউস ডি অলিভিরা অলিভিরা

উত্তর:

সমীরের অর্ধেক প্রশ্নের উত্তর দেওয়া।

যাক একটি DAG এবং হতে ছেদচিহ্ন দুই সাব-সেট নির্বাচন হতে । আমরা দ্বারা বোঝাতে সমস্ত প্রান্ত সেট এক শেষবিন্দু দিয়ে এবং অন্যান্য শেষবিন্দু । যদি এর উল্লম্বের মোট ক্রম হয় তবে আমরা প্রস্থ বোঝায় অনলাইন প্রস্থটি as হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে $G=(V,E)$ $V_1,V_2\subseteq V$ $G$ $E(V_1,V_2)$ $G$ $V_1$ $V_2$ $\omega = (v_1,...,v_n)$ $G$

o w (G, ω) = max_{i} | E ({v_{1}, . . ., v_{i}}, {v_{i + 1}, . . ., v_{n}} |

$\mathbf{ow}(G,\omega) = \max_{i}\; |E(\{v_1,...,v_i\},\{v_{i+1},...,v_n\}|$

ω

$\omega$

G

$G$

o w (G) = min_{ω} o w (G, ω),

$\mathbf{ow}(G) = \min_{\omega}\; \mathbf{ow}(G,\omega),$ যেখানে নূন্যতমটি এর শীর্ষকোষের সমস্ত টপোলজিকাল অর্ডারে নেওয়া হয় । নোট করুন যে , এর কাটাউইথের traditionalতিহ্যগত ধারণাটি অ্যানালগিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, বাদে ন্যূনতম সমস্ত সম্ভাব্য ক্রমগুলির উপরে নেওয়া হয় , নির্বিশেষে অর্ডারটি টোপোলজিকাল কিনা তা নির্বিশেষে। আমাদের অসমতার নিম্নলিখিত ক্রম রয়েছে: যেখানে এবং যথাক্রমে pathwidth এবং treewidth হয় ।

G

$G$

G

$G$

c w (G)

$\mathbf{cw}(G)$

G

$G$

t w (G) \leq p w (G) \leq c w (G) \leq o w (G),

$\mathbf{tw}(G) \leq \mathbf{pw}(G) \leq \mathbf{cw}(G)\leq \mathbf{ow}(G),$

p w (G)

$\mathbf{pw}(G)$

t w (G)

$\mathbf{tw}(G)$

G

$G$

আমরা দাবি যে সংখ্যাগরিষ্ঠ বিট অনলাইন-চওড়া নির্ণিত করা যেতে পারে , সেইজন্য এবং মধ্যে treewidth । সার্কিটটি একটি অনলাইন অ্যালগরিদম সিমুলেট করে যা একবারে একটি ইনপুট বিট পড়ে এবং বিটগুলির সাথে কাউন্টারে করে যদি কেবলমাত্র । শুরুতে, কাউন্টারটি থেকে শুরু করা হয় $n$ $O(\log n)$ $O(\log n)$ $b$ $b$ $O(\log n)$ $b=1$ $0$ । শেষের দিকে সার্কিটটি গ্রহণ করে যদি কেবলমাত্র যদি কাউন্টারটির মান n / 2 এর চেয়ে বেশি হয়। এটি দেখতে সহজ যে কোনও সার্কিট ADD এর গেটগুলি কাউন্টার রেজিস্টারে একটি যুক্ত করে টপোলজিক্যালি-অর্ডার দেওয়া যেতে পারে যাতে এটির নিয়মিত অনলাইন প্রস্থ থাকে, যেহেতু এই সার্কিটগুলিতে কেবল একটি বহন কার্যক্রম পরিচালনা করা প্রয়োজন। মোট সার্কিট সার্কিট একটি ক্রম যেখানে আউটপুট এর ইনপুট প্লাগ ইন করা আছে , এবং আউটপুট করতে প্লাগ ইন করা আছে সিএমপি ইনপুট। এখন যদি আমরা topologically-অর্ডার মোট সার্কিট এমনভাবে সব দরজা যে দরজা দিয়ে সামনে এবং সব দরজা $C=(ADD_1,ADD_2,...,ADD_n,COMP)$ $ADD_i$ $ADD_{i+1}$ $ADD_n$ $C$ $ADD_i$ $ADD_{i+1}$ $ADD_n$ COMP এর দরজাগুলির সামনে উপস্থিত হয়, তারপরে এই টপোলজিকাল অর্ডারে অনলাইনের প্রস্থ । এই নির্মাণটি আমার কাগজের চিত্র 1 এ চিত্রিত করে দেখানো হয়েছে যে লগারিদমিক অনলাইন প্রস্থে সম্ভাব্যতা বৃদ্ধি করা যেতে পারে। $O(\log n)$

ওবস: সার্কিট সি এর গভীরতা হ'ল । $O(n)$

— ম্যাটিউস ডি অলিভিরা অলিভিরা
সূত্র

পার্শ্বের মন্তব্য হিসাবে, একই সার্কিটটি করছেন তবে বাইনারি ট্রি হিসাবে (মূলের আউটপুট সহ) পাথের পরিবর্তে বৃক্ষের সাথে হেড (লগ এন) এবং গভীরতা ও (লগ এন) একটি সার্কিট দেয়

— ড্যানিয়েলো

মনে হয় গাছগুলিতে সরাসরি অনুবাদ করলে গভীরতা O ((লগ এন) ^ 2) পাওয়া যায় কারণ প্রতিটি সংযোজকের জন্য আমাদের গভীরতার হে (লগ এন) প্রয়োজন। তবে এটি সত্য যে গাছের প্রস্থটি হবে ও (লগ এন)।

— ম্যাটিউস ডি অলিভিরা অলিভিরা

অবশ্যই আপনি ঠিক বলেছেন, ধন্যবাদ! দেখে মনে হয় যে সংযোজনগুলি ডিএনএফ হিসাবে প্রয়োগ করা হয় তবে আমরা গাছের প্রস্থ এবং গভীরতা হে (লগ এন) পাই, তবে আকার ।

O (n^{3})

$O(n^3)$

— ড্যানিয়েলো

ডিএনএফ হিসাবে অ্যাডারের প্রতিনিধিত্ব করার বিষয়টি হ'ল এটি সম্ভবত গাছের প্রস্থকে বাড়িয়ে তুলতে পারে, যেহেতু এখন প্রতিটি ভেরিয়েবল অনেকগুলি দফার সাথে (প্রথম নজরে বহুবচনীয়ভাবে) ভাগ করা হবে। ও (লগ এন) এর গভীরতা হ্রাস করার জন্য আপনার পরামর্শটি কার্যকর হবে যদি আপনি ও (লগ এন) বিটের সাথে দুটি সংখ্যার সংযোজন স্থির গভীরতা এবং লোগারিথমিক ট্রিউইথের সাথে করতে পারেন তবে তা কার্যকর করতে পারেন।

— ম্যাটিউস ডি অলিভিরা অলিভিরা

ওয়েল - কোন বুলিয়ান ফাংশন জন্য ইনপুট বিট এবং আউটপুট বিট DNF গভীরতা রয়েছে , আকার , এবং treewidth একটি স্বাধীন সেট মোছার ইনপুট + + আউটপুট দরজা পাতার যেহেতু ...

a

$a$

b

$b$

2

$2$

2^{a} + a + b

$2^a + a + b$

\leq a + b

$\leq a+b$

— ড্যানিয়েলো

প্রশ্নের অর্ধেক জবাব দেওয়া - এখানে কিছু ধ্রুবক জন্য গাছের প্রস্থের জন্য নীচে আবদ্ধ একটি প্রুফ স্কেচ দেওয়া হয়েছে । বাউন্ডটি সার্কিটের আকার বা অন্য কোনও দিক থেকে স্বতন্ত্র। আর্গুমেন্টের বাকী অংশে সার্কিট, হ'ল এর বৃক্ষ প্রস্থ এবং ইনপুট গেটের সংখ্যা। $c \cdot \log n$ $c$ $C$ $t$ $C$ $n$

প্রথম পদক্ষেপ ব্যবহার করা বেষ্টিত treewidth এর গ্রাফ জন্য সুষম বিভাজক থিম । সার্কিটের গেটগুলি (ইনপুট গেটগুলি সহ) তিনটি অংশে , এবং বিভক্ত হতে পারে , যেমন এবং উভয় এবং কমপক্ষে থাকতে পারে ইনপুট গেটস, এবং এবং মধ্যে কোনও আরাকস (তারগুলি) নেই । $L$ $R$ $S$ $|S| \leq t+1$ $L$ $R$ $n/3-|S|$ $L$ $R$

প্রমাণ বাকি ইন বর্তনী আমরা ব্যবহার করবে একমাত্র সম্পত্তি এই পার্টিশন - তাই প্রমাণ আসলে একটি সুষম বিভাজক আকারের উপর আবদ্ধ একটি নিম্ন দেয় উপরে হিসাবে। $S$

রয়ে হাতে আমরা সার্কিট গঠন করা থেকে নিম্নরূপ: প্রতিটি গেট জন্য মধ্যে আরো দুটি দরজা করা এবং , এবং এবং মধ্যে ফিড । থেকে যাওয়ার জন্য সমস্ত তারগুলি পরিবর্তে তাদেরকে প্রবেশ করুন। থেকে আগত সমস্ত তারের পরিবর্তে তাদের পরিবর্তে প্রবেশ করুন। আসুন $(L,S,R)$ $C'$ $C$ $g$ $S$ $g_L$ $g_R$ $g_L$ $g_R$ $g$ $g$ $L$ $g_L$ $g$ $R$ $g_R$

S^{'} = {g, g_{L}, g_{R} : g \in S} .

$S' = \{g, g_L, g_R : g \in S\}.$

প্রত্যেকের জন্য থেকে assingments একটি বর্তনী আউটপুট 1 (ক) ইনপুট ফটক নিয়োগ তোলে যদি যে আউটপুট সত্য এবং (খ) ইনপুট দরজা সেট নিয়োগ সব অনুমান হিসাবে গেটস । এই সার্কিট ফোন করুন , , জন্য । নোট করুন যে সার্কিট স্বাভাবিকভাবেই দুটি এবং যে কেবলমাত্র , on আর এর ইনপুট গেটগুলির উপর নির্ভর করে of $2^{|S'|}$ $S'$ $C'$ $S'$ $C_1$ $C_2$ $C_3 \ldots C_x$ $x \leq 8^t$ $C_i$ $C_i^L$ $C_i^R$ $C_i^L$ $L \cup S'$ $C_i^R$ $R \cup S'$ , এবং ইনপুট যে কোনও অ্যাসাইনমেন্টের জন্য আমাদের কাছে । $C_i = C_i^L \wedge C_i^R$

যেহেতু ইনপুট প্রতিটি অ্যাসাইনমেন্ট মধ্যে ঘটে থাকে তার জন্য কিছু অনুমানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ আমাদের কাছে । সুতরাং আমরা আন্ডার (ফ্যানিন এর) এর একটি ওআর (ফ্যানিন of ) হিসাবে সার্কিট পুনরায় লিখেছি যেখানে যেখানে ও গেট নম্বর যথাক্রমে এবং আউটপুট খাওয়ানো হচ্ছে । $S'$ $C' = C_1 \vee C_2 \vee C_3 \ldots \vee C_x$ $C$ $8^t$ $2$ $i$ $C_i^L$ $C_i^R$

যাক আগ এবং-দরজা সেট করা। আমরা প্রথমে। এই সহজ দেয় উপর আবদ্ধ নিম্ন । তারপরে আমরা আরও ভাল বাউন্ড প্রমাণ করব। $Z$ $2^{|Z|} \geq n/3-|S|$ $\log \log n$ $t$

ধরুনএবং wlog অনুমান কম ইনপুট দরজা রয়েছে । তারপরে এবং উভয়টিতে কমপক্ষে থাকতে পারে ইনপুট গেটস কবুতরের ছিদ্র নীতি অনুসারে এবং দুটি পৃথক সংখ্যা রয়েছে যে এর ইনপুট গেটগুলির জন্য দুটি পৃথক অ্যাসাইনমেন্ট রয়েছে , একটি যা সেট করে, একটি সেট করে যেমন সার্কিটগুলি , সমস্ত আউটপুট একই জিনিস। কিন্তু ইনপুট গেটস একটি নিয়োগ বিদ্যমান $2^{|Z|} < n/3-|S|$ $L$ $R$ $L$ $R$ $n/3-|S|$ $i$ $j$ $L$ $i$ $j$ $C_1^L$ $C_2^L \ldots C_x^L$ $R$ যেমন যে সংখ্যাগরিষ্ঠ আউটপুট মিথ্যা যদি এ দরজা সত্যতে সেট করা হয়, এবং সংখ্যাগরিষ্ঠ আউটপুট যদি সত্য হয় মধ্যে গেটস সত্যতে সেট করা হয়। এটি একটি বৈপরীত্য, এবং তাই বোঝা যাচ্ছে যে গাছের প্রস্থ কমপক্ষে is । $i$ $L$ $j$ $L$ $2^{|Z|} \geq n/3-|S|$ $\log \log n$

আমরা এখন একটি আরও ভাল আবদ্ধ প্রদর্শন:। অ্যালবামটি ধরে নিন যে চেয়ে কম ইনপুট গেট রয়েছে । তারপরে L এবং R উভয়টিতে কমপক্ষে থাকতে পারে ইনপুট গেটস "সমস্ত মিথ্যা" কার্যনির্বাহী বিবেচনা করুন । যাক ইনপুট দরজা ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে সত্য যেমন সেট করা মেজর আউটপুট সত্য, প্রদত্ত যে যে সব আছে মিথ্যাতে সেট করা থাকে। $|Z| \geq n/3-|S|$ $L$ $R$ $n/3-|S|$ $L$ $r$ $R$ $L$

সেটিং যেহেতু সমস্ত মিথ্যা প্রয়োজন এবং ঠিক ইনপুট গেটস সত্য করে তোলে সংখ্যাগরিষ্ঠ আউটপুট কিছু হতে হয়েছে যেমন যে আউটপুট 'সত্য', এই wlog হয় । সমস্ত বরাদ্দকরণ কম সঙ্গে সত্য ইনপুট দরজা সেট করতে হবে মিথ্যাতে। যেহেতু সঠিকভাবে ইনপুট গেট এবং থেকে ইনপুট গেটগুলি সত্য থেকে বড় আউটপুট , তাই গেট সেট করে কমপক্ষে একটি তৈরি করতে হবে $L$ $r$ $R$ $1$ $i$ $C_i^L$ $C_1^L$ $R$ $r$ $C_1^R$ $1$ $L$ $r-1$ $R$ $1$ $1$ $L$ $C_i^L$ আউটপুর নেক জন্য সত্য । wlog আমরা ধরে নিতে পারি । তারপর সব বরাদ্দকরণ সর্বাধিক সেট যা সত্য আবশ্যক সেট ইনপুট দরজা মিথ্যাতে, ইত্যাদি - আমরা এই যুক্তি পুনরাবৃত্তি হতে পারে বার। তবে এর অর্থ, একটি জন্য নীচে আবদ্ধ করা । $i \neq 1$ $i=2$ $R$ $r-2$ $C_2^R$ $r$ $|Z| \geq r \geq n/3-|S|$ $c \cdot \log n$ $t$

[আমি জানি যে এই স্কেচটি জায়গায় কিছুটা হাতে-avyেউয়ের মতো হয়ে যায়, কিছু অস্পষ্ট কিনা তা জিজ্ঞাসা করুন ...]

— daniello
সূত্র