পার্কটি গণনা করে এমন একটি সার্কিটের সর্বনিম্ন আকার কত?

Question

এটি একটি ক্লাসিক ফলাফল যে ইনপুট ভেরিয়েবলগুলি থেকে PARITY গণনা করে এমন প্রতিটি ফ্যান-ইন সার্কিটের আকার কমপক্ষে এবং এটি তীক্ষ্ণ। (আমরা আকারটিকে ও এবং গেটের সংখ্যা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি)) প্রমাণটি গেট-বিলোপকরণ দ্বারা হয় এবং মনে হয় যদি আমরা স্বেচ্ছাচারী ফ্যান-ইনকে অনুমতি দিই তবে এটি ব্যর্থ হয়। এই মামলায় কী পরিচিত?$3(n-1)$

বিশেষত, বৃহত্তর ফ্যান-ইন যখন সহায়তা করে, যেমন আমাদের গেটের কম প্রয়োজন তখন কেউ কি কোনও উদাহরণ জানতে পারে ?$3(n-1)$

18 ই অক্টোবর আপডেট করুন Mar মারজিও দেখিয়েছেন যে জন্যও গেট সমতুল্যের সিএনএফ ফর্ম ব্যবহার করে যথেষ্ট। এটি সাধারণ জন্য এর একটি সীমা বোঝায় । আপনি কি আরও ভাল করতে পারেন?5 ⌊ $n=3$$5$$\lfloor \frac 52 n \rfloor-2$$n$

Comments

এই কাগজ সম্পর্কিত হতে পারে। তবে ভিত্তিটি এখানে, ওআর এর থেকে অনেক বড়।

— স্ট্যাসিস

নিম্নলিখিত প্রশ্নের উত্তর (দূরবর্তীভাবে) আপনার প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত। cstheory.stackexchange.com/questions/3624/…

— হারমান গ্রুবার

এবং উপরের উভয় সীমানায়, আপনি আসলে কেবল পরিবর্তনশীলগুলির চেয়ে বরং সর্বত্র উপেক্ষা করছেন , তাই না? $3n$$\frac52n$

— এমিল জ্যাবেক

ইতিবাচক এবং নেতিবাচকভাবে উভয় ক্ষেত্রে গেটটি সদৃশ না করে আপনি কীভাবে এটি করতে পারেন?

— এমিল জেব্যাক

@ হ্যারি: আপনার জন্য কে -১ ফ্যান-ইন গেট দরকার তবে সেগুলি গভীরতায় স্থাপন করা যেতে পারে । এই প্রশ্নটি SIZE সম্পর্কে এবং ডেপথের নয়! $\log k$

— ডোমোটরপ

Answer 1

কেবল ২.৩৩ এন + সি গেট ব্যবহার করে সমতা গণনা করা সম্ভব। নির্মাণটি বেশ সহজ এবং এই নিবন্ধে দেওয়া হয়েছে।

http://link.springer.com/article/10.3103/S0027132215050083

এখানে কেবলমাত্র 12 টি গেট ব্যবহার করে 6 ভেরিয়েবলের সমতার জন্য একটি সার্কিটের উদাহরণ দেওয়া হয়েছে (প্রতিটি গেটটি একটি এ্যান্ড-গেট, একটি গেটের ইনপুটটির কাছে একটি বৃত্তের অর্থ এই ইনপুটটি উল্টানো হয়)। মনে রাখবেন যে ডিএনএফ-ব্লকগুলি (মারজিওর উপরের সীমানার মতো) স্ট্যাকিং দ্বারা নির্মিত 6 ভেরিয়েবলের সমতার জন্য একটি সার্কিট 13 গেট নিয়ে গঠিত।

আমি দেখেছি যে এন = 2,3,4,5,6 আকারের অনুকূল সার্কিটগুলি 3,5,8,10,12 হয়। এই মানগুলি সার্কিটের আকারও যা 2.33n উপরের সীমাবদ্ধ করে। 2.33n প্রতিটি এন এর জন্য অনুকূল সার্কিটের আকার কিনা তা আমি এখনও জানি না। আরও বেশি, আমি 7 ভেরিয়েবলের সমতা জন্য অনুকূল সার্কিটের আকার জানি না (দুটি সম্ভাব্য মান আছে, 14 এবং 15)।

Answer 2

এই গেট-এলিমিনেশন লোয়ার বাউন্ড মারজিওর উপরের বাউন্ডের সাথে মেলে না, তবে এটি শুরু।

প্রস্তাবনা: ভেরিয়েবলের প্রতিটি আনবাউন্ডেড ফ্যান-ইন এবং / এবং / নয় সার্কিট কম্পিউটিং প্যারিটিতে কমপক্ষে 2 এন - 1 এবং এবং ও গেট থাকে।$n\ge2$$2n-1$

সুবিধার্থে, আমি এমন একটি মডেল ব্যবহার করব যেখানে কেবলমাত্র গেটগুলি অ্যান্ড-গেট থাকে তবে আমরা অবহেলা তারগুলিকে অনুমতি দিই। এটি সহজেই দেখতে পাওয়া যায় যে এন = 2 এর জন্য গেট প্রয়োজনীয় , তাই এটি দেখানোর জন্য যথেষ্ট যে সি যদি এন > 2 ভেরিয়েবলের একটি ন্যূনতম-আকারের সার্কিট কম্পিউটিং প্যারিটি হয় তবে আমরা একটি ভেরিয়েবলের সীমাবদ্ধতা পেতে পারি যা কমপক্ষে হত্যা করে s দুটি গেট$3$$n=2$$C$$n>2$

যদি কিছু পরিবর্তনশীল কমপক্ষে দু'জন পজিটিভ পিতা-মাতা থাকে (যেমন এটি সংযুক্ত তারের সাথে দুটি পৃথক গেটের সাথে সংযুক্ত থাকে), এই ভেরিয়েবলটিকে 0 তে সেট করা পিতামাতাকে মেরে ফেলবে এবং আমরা শেষ হয়ে গেলাম ; একইভাবে যদি এর দুটি নেতিবাচক পিতা-মাতা থাকে। আমরা এইভাবে ধরে নিতে পারি যে প্রতিটি ভেরিয়েবলের সর্বাধিক এক ইতিবাচক এবং সর্বাধিক এক নেতিবাচক পিতা বা মাতা থাকে।$x_i$$0$

$a$$a=x_1\land x_2\land\cdots$$x_1=0$$a=0$$C'$$x_2$$x_2$$b=\neg x_2\land c_1\land\dots\land c_r$$C'$$c_j$$x_2$$x_3,\dots,x_n$$x_1=0$$c_j$$x_2$$\neg x_2$$C'$$c_j$$1$$b$$\neg x_2$$a$

$2n-1$$\lfloor\frac52n\rfloor-2$

[১] ইনগো ওয়েজনার, আনবাউন্ডেড ফ্যান-ইন, সীমাহীন গভীরতার সার্কিট , তাত্ত্বিক কম্পিউটার সায়েন্স 85 (1991), নং -এ সমতা ফাংশনের জটিলতা । 1, পৃষ্ঠা 155-170। http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(91)90052-4

Comments

হ্যাঁ, সুতরাং প্রশ্নটি হল যদি আমরা 2 টি ভেরিয়েবলগুলি ঠিক করে 5 গেটগুলি সরিয়ে ফেলতে পারি।

— ডমোটরপ

$n$

Answer 3

আমি আমার মন্তব্য প্রসারিত:

$k$$k-1$$I_i \geq 2$$g_i$

$$|C| + \sum_i (I_i - 2) \geq 3(n-1)$$

$3(n-1)$$(x_1,x_2,x_3)$

Comments

চমৎকার, সত্যিই এন = 3 এর জন্য সিএনএফের কেবল 5 টি গেট রয়েছে! কেউ যদি সাধারণভাবে আরও ভাল করতে পারে তবে আমি অবাক হই।

— ডোমোটরপ

আমি এটি সম্পর্কে খুব বেশি ভাবি নি, তবে আপনি অবশ্যই উপরের সার্কিটকে সমান্তরালভাবে একত্রিত করতে এবং ব্যবহার করতে পারেন এবং উদাহরণস্বরূপ, 9 ভেরিয়েবলের জন্য একটি প্যারিটি সার্কিট যা 24 এর পরিবর্তে কেবলমাত্র 20 টি গেট ব্যবহার করে

— মার্জিও ডি বিয়াসি

আমি করেছি এবং আমার প্রশ্ন আপডেট করেছি।

— ডমোটরপ

Answer 4

$5n/2$

যদি 3 জন পিতা-মাতার সাথে আক্ষরিক হয় তবে আমরা সমস্ত 3 টি একটি ভেরিয়েবলের সাথে বাদ দিতে পারি।

যদি দুটি আক্ষরিক এক সাথে 2 টি পৃথক গেটে একসাথে ঘটে, আমরা এমিলের উত্তর থেকে মূল যুক্তিটি প্রয়োগ করতে পারি, আবার একটি ভেরিয়েবলের সাহায্যে 3 টি গেটকে সরিয়ে ফেলি।