অনুকূল এলোমেলো তুলনা বাছাই

Question

সুতরাং আমরা সবাই জানি তুলনা গাছের আবদ্ধ নিম্ন ) তুলনা বাছাইকরণ অ্যালগরিদমের দ্বারা তৈরি করা তুলনাগুলির মধ্যে সবচেয়ে খারাপ সংখ্যার উপরে। এটি এলোমেলো তুলনা বাছাইয়ের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য না (যদি আমরা সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে ইনপুটটির জন্য প্রত্যাশিত তুলনা পরিমাপ করি)। উদাহরণস্বরূপ, এন = 4 এর জন্য , ডিটারমিনিস্টিক নিম্নের সীমাটি পাঁচটি তুলনা করা হয়, তবে একটি এলোমেলোমী অ্যালগরিদম (এলোমেলোভাবে ইনপুটটিকে অনুমতি দেয় এবং তারপরে মার্জ সাজানোর প্রয়োগ করুন) ভাল করে, 4 $\lceil\log_2 n!\rceil$$n=4$সমস্ত ইনপুট জন্য প্রত্যাশায় 3 তুলনা।$4\frac{2}{3}$

সিলিং ব্যতীত আবদ্ধ হওয়া এখনও তথ্য-তাত্ত্বিক যুক্তির দ্বারা এলোমেলোভাবে ক্ষেত্রে প্রয়োগ হয় এবং কে + 2 ( এন ! - 2 কে ) এ সামান্য শক্ত করা যেতে পারে $\log_2 n!$ এটি অনুসরণ করে কারণ এখানে একটি সর্বোত্তম অ্যালগরিদম রয়েছে যা এলোমেলোভাবে ইনপুটটিকে অনুমতি দেয় এবং তারপরে একটি (ডিস্ট্রিমেন্টিক) সিদ্ধান্ত গাছ প্রয়োগ করে এবং সর্বোত্তম সিদ্ধান্ত গাছ (যদি এটি বিদ্যমান থাকে) এমন এক যাতে সমস্ত পাতা পরপর দুটি স্তরে থাকে।

$$k+\frac{2(n!-2^k)}{n!} \text{, where } k=\lfloor\log_2 n!\rfloor.$$

এই সমস্যার জন্য উপরের সীমানা সম্পর্কে কিছু জানা থাকলে কী হবে? সমস্ত , এলোমেলো সংখ্যার তুলনা (প্রত্যাশায়, সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে ইনপুটটির জন্য, সর্বোত্তম সম্ভাব্য অ্যালগরিদমের জন্য) সর্বদা সর্বোত্তম ডিস্ট্রিমেন্টিক অ্যালগরিদমের চেয়ে কঠোরতর (মূলত, কারণ এন ! কখনই দুটির শক্তি নয়) । তবে আর কত ভাল?$n>2$$n!$

Comments

$\mathrm{lg}(n!)+o(n)$

Answer 1

যেহেতু আপনার প্রশ্নটি: "কী জানি?" এখানে কিছু:

http://arxiv.org/abs/1307.3033

$\log n! +cn$$c$

Comments

$n\log n-1.415n$$n\log n-1.399n$

আমি কোনও বিশেষজ্ঞ নই, এর যে কোনও একটি সম্পর্কে আমি জানার একমাত্র কারণ হ'ল জন আইকোনো। যদিও আমি মনে করি যে এটি 2 এর শক্তির নিকটবর্তী (4/3 গুণ) কতটা তার উপর ভিত্তি করে ওঠানামার সাথে সম্পর্কযুক্ত হবে যদি আপনি পৃষ্ঠা 71 এর বিশ্লেষণটি এখানে দেখুন তবে লিঙ্ক.স্প্রিংগার.com / কনটেন্ট / পিডিএফ /10.1007%2FBF01934989.pdf , -1.415n আবদ্ধ কেবল তখনই ধরা হবে যখন কিছু পূর্ণসংখ্যার জন্য n = তল ((4/3) 2 ^ কে) থাকবে। নথের সাথে আবদ্ধ -1.329n হতে পারে সমস্ত এন এর পক্ষে সবচেয়ে ভাল?

— প্যাট মরিন

এখানে অবশ্যই ওঠানামা রয়েছে তবে আমি ভেবেছিলাম (4/3) 2 ^ k সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি এবং এটি অন্যান্য ক্ষেত্রে ভাল ছিল।

— ডেভিড এপস্টিন