গড়ে

Question

সেখানে একটি তুলনা ভিত্তিক বাছাই আলগোরিদিম যে ব্যবহারসমূহ গড়ে $\mathrm{lg}(n!)+o(n)$ তুলনা?

সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে $\mathrm{lg}(n!)+o(n)$ তুলনা অ্যালগরিদম একটি উন্মুক্ত সমস্যা, তবে প্রতিটি ক্ষেত্রে প্রতিটি ইনপুটের জন্য তুলনামূলকভাবে প্রত্যাশিত $\mathrm{lg}(n!)+o(n)$ তুলনা সহ গড় ক্ষেত্রে যথেষ্ট পরিমাণে যথেষ্ট হয় । তাৎপর্য $\mathrm{lg}(n!)+o(n)$ এটি হয় $o(n)$ অনুকূল থেকে তুলনা, শুধুমাত্র গড়ে নষ্ট $o(1)$ উপাদান প্রতি তুলনা।

যেহেতু আমার কাছে ইতিমধ্যে এই জাতীয় অ্যালগরিদম রয়েছে, তাই আমি এটিকে উত্তর হিসাবে অন্তর্ভুক্ত করছি ( কিউ / এ ফর্ম্যাট ব্যবহার করে ), তবে আমি অন্যান্য অ্যালগরিদম সহ অতিরিক্ত উত্তরগুলি স্বাগত জানাই, যেমন অ্যালগোরিদম ইতিমধ্যে জানা ছিল, ও ( এন ) উন্নত করে $o(n)$এবং সবচেয়ে খারাপ- কেস $\mathrm{lg}(n!)+o(n)$ ।

পূর্ববর্তী কাজ:
মার্জ সাজানোর ক্ষেত্রে তুলনা (এমনকি সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রেও) ব্যবহৃত হয়। মার্জ-সন্নিবেশ সাজান (যা ফোর্ড – জনসন সাজান নামে পরিচিত) এছাড়াও তুলনা ব্যবহার করে তবে smaller এ অনেক ছোট ধ্রুবক সহ । তুলনা-ভিত্তিক বাছাইয়ের জন্য উন্নত গড় জটিলতা (কাজুও ইওয়ামা এবং জুনিচি তেরুয়ামার দ্বারা) - তাদের (1,2) সন্নিবেশ আলগোরিদিমটি নীচের আমার উত্তরের একটি অংশের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ।$\mathrm{lg}(n!)+ Θ(n)$
$\mathrm{lg}(n!)+ Θ(n)$$Θ(n)$

Comments

এই প্রশ্নটি সর্বোত্তম র্যান্ডমাইজড তুলনা বাছাইয়ের সাথে ওভারল্যাপ হয়ে গেছে , তবে আলাদা জোর দেওয়া হয়েছে (এখানে নির্দিষ্ট অ্যাসিপোটিক আচরণ - জ্ঞানের সাধারণ অবস্থা বনাম, সমস্ত ইনপুট আকার এবং সেখানে সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি থেকে পৃথক), আমি একটি নতুন প্রশ্ন ব্যবহার করে স্থির হয়েছি।

— Dmytro তারানভস্কি

Answer 1

আপডেট: আমি এই উত্তরটি একটি কাগজে প্রসারিত করেছি গড়ে তুলনা করে সাজান$\mathrm{lg}(n!)+o(n)$ ।

হ্যাঁ, এই জাতীয় একটি অ্যালগরিদম বিদ্যমান। আমি কেবল আবদ্ধ প্রমাণ করব, তবে একটি সম্ভাব্য র্যান্ডমাইজেশন অনুমানের অধীনে আমরা । আমি এবং জন্য একটি প্রচেষ্টাও বর্ণনা করব ।l g ( n ! ) + o ( n ) l g ( n ! ) + O ( n 1 - ε ) n 0.5 + o ( 1 ) ও ( এন 0.5 - ε$\mathrm{lg}(n!)+o(n)$$\mathrm{lg}(n!)+O(n^{1-ε})$$n^{0.5+o(1)}$$O(n^{0.5-ε})$

আমরা অনুমান করতে পারি যে সমস্ত উপাদানগুলি স্বতন্ত্র, প্রয়োজনে তাদের উল্লেখ করে; গড় ক্ষেত্রে এলোমেলো ক্রমে পৃথক উপাদান ব্যবহার করে। আমরা ন্যায্য মুদ্রা ব্যবহারের তুলনায় প্রতিটি তুলনার জন্য এনট্রপি ক্ষতি যুক্ত করে তুলনাগুলির গড় সংখ্যার গণনা করতে পারি।

শুরুর স্থান যেখানে সাজানো উপসেট মধ্যে পরবর্তী উপাদান সন্নিবেশ করার সিদ্ধান্ত নেন একটি বাইনারি সন্ধানের সাথে সন্নিবেশ সাজান । কখন , সন্নিবেশ সর্বাধিক তুলনা ব্যবহার করে , যা (এনট্রপির ক্ষেত্রে) একটি অ্যাডিটিভ ফ্যাক্টর (এবং গড়-কেস জটিলতার জন্য, কাজ করে)। এখন, কখন২ এর শক্তির কাছাকাছি নয়, একটি উপাদান সন্নিবেশ হ'ল suboptimal (এমনকি গড় ক্ষেত্রে এবং আমরা প্রতিটি ক্যোয়ারীতে কীভাবে ভারসাম্য বোধ করি তা নির্বিশেষে), তবে তুলনা নষ্ট করলে আমরা প্রায় একটি অভিন্ন বিতরণে চালিত করতে পারি একটি অন্তর উপরএস ( 1 - ε ) 2 মি ≤ | এস | ≤ 2 মি - 1 মি হে ( ε ) 2 মি ≤ | এস | ≤ ( 1 + ε ) 2 মি | এস | এ ও ( 1 ) এ $S$$(1-ε)2^m ≤ |S| ≤ 2^m-1$$m$$O(ε)$$2^m ≤ |S| ≤ (1+ε) 2^m$$|S|$$A$$o(1)$$A$$S$দৈর্ঘ্যের এর 2 এর পাওয়ার খুব কাছে, আমরা পছন্দসই সর্বোত্তমতা পাই।

আমরা ব্যাচে উপাদান যোগ করে এই অর্জন, এবং কখনও কখনও দক্ষতার একে অপরের সাথে ব্যাচ উপাদান তুলনা, এই ধরনের ব্যবধান যে একটি উপাদান সংশ্লিষ্ট এবং একটি আপাতদৃষ্টিতে র্যান্ডম পদ্ধতিতে কমে যায় (এর সম্ভাব্যতা বিতরণের সঙ্গে বিরতি ভিতরে প্রায় অভিন্ন), এবং যখন অন্তর দৈর্ঘ্য 2 এর শক্তির নিকটবর্তী হয়, সন্নিবেশ করানোর জন্য বাইনারি অনুসন্ধান করে ।এস এ এ $S$$A$$A$$A$

সাধারণ নির্মাণ

আমরা একটি উপসেট রাখা হবে সাজানো উপাদানের, এবং প্রতিটি পাঁচমিশালী উপাদান জন্য , আমরা সংক্ষিপ্ত বিরতি ট্র্যাক রাখতে হবে এর যেখানে অবস্থিত হওয়া জন্য পরিচিত। এর দৈর্ঘ্য ; পরিচয় দ্বারা হয়।এস এ আই এ এস এ | আমি আ | I A I A = I $S$$A$$I_A$$S$$A$$|I_A|$$I_A$$I_A=I_B$

যাক হতে: তুলনা সঙ্গে , এবং তারপর (র্যান্ডম ক্রম) তুলনা এবং সংশ্লিষ্ট উপাদানের বিরুদ্ধে পর্যন্ত তাদের অন্তর টুকরো করা হয় (অথবা দৈর্ঘ্য 1 থাকে)। তুলনামূলক সম্ভাব্যতা যতটা সম্ভব 1/2 এর কাছাকাছি করার জন্য এর উপাদানটি বেছে নেওয়া হয়েছে (ধারাবাহিকভাবে), যখন ধরে নেওয়া হয় যে called বলা হয়, সমানভাবে বিতরণ করা হয় । শেষ পর্যন্ত বিশৃঙ্খলার কারণে, অভিন্নতা অনুমান সংরক্ষণ করে।সি ণ মি পি একটি দ ই ( একটি , বি ) একটি বি একটি বি এস এস সি ণ মি পি একটি দ ই ( একটি , বি ) আমি একজন ⨯ আমি বি সি ণ মি পি একটি দ $\mathrm{Compare}(A,B)$$A$$B$$A$$B$$S$$S$$\mathrm{Compare}$$(A,B)$$I_A⨯I_B$$\mathrm{Compare}$

নিম্নলিখিত বিভাগগুলি একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে পড়া যায়।

A algorithm$\mathrm{lg}(n!)+o(n)$

প্রদত্ত: একটি বাছাই করা তালিকা , এবং ছাঁচে না থাকা উপাদানগুলির একটি ব্যাচ ; ; নিরবচ্ছিন্ন উপাদানগুলি এর সাথে এলোমেলো ।এস এম এম ∈ ω ( 1 ) ∩ ও ( | এস | ) $S$$m$$m∈ω(1)∩o(|S|)$$S$

সম্ভব হওয়ার সময় পুনরাবৃত্তি করুন (1) - (3):
1. দিয়ে ব্যাচ থেকে দুটি উপাদান এবং বেছে নিন (যে কোনও পছন্দ কার্যকর হবে)। 2. চালান । 3. যদি2 একটি ক্ষমতা পাসে যথেষ্ট হয় ^{(নোট 1)} অপসারণ ব্যাচ থেকে (বিস্মরণ ছাড়া ); এবং সাথে একইভাবে করুন । শেষ অবধি: এসগুলিতে সমস্ত উপাদান In এবং সাজান সম্পূর্ণ করুন।এ বি আই এ = আই বি সি ও এম পি এ আর ই ( এ , বি ) | আমি আ | এ আই এ বি $A$$B$$I_A=I_B$
$\mathrm{Compare}(A,B)$
$|I_A|$$A$$I_A$$B$
$S$

দ্রষ্টব্য 1: "পর্যাপ্ত নিকটবর্তী" এর জন্য, যে কোনও আপেক্ষিক ত্রুটি ( ফাংশন হিসাবে) কাজ করবে যতক্ষণ উপাদান পদক্ষেপে সরানো হবে (4) (নোট 2 দ্বারা সম্ভব)। একটি অনুমানযুক্ত র্যান্ডমাইজেশন অনুমানের অধীনে, আপেক্ষিক ত্রুটি উপাদানগুলি ক্যাপচার করে, একটি গড় তুলনা বাছাই অ্যালগরিদম।o ( 1 ) মি মি - ও ( এম ) সি লগ লগ এম / লগ এম এম ( 1 - লগ - Θ ( সি ) এম ) এল জি ( এন ! ) + ও ( এন লগ লগ এন / লগ এন $o(1)$$m$$m-o(m)$$c \log \log m / \log m$$m(1-\log^{-Θ(c)}m)$$\mathrm{lg}(n!)+O(n \log \log n / \log n)$

দ্রষ্টব্য 2: যেহেতু তুলনার একই ক্রম একই বাউন্ডিং ব্যবধানে নিয়ে যায়, প্রায় সমস্ত উপাদান পদক্ষেপ (1) বারের মধ্য দিয়ে যাবে (4 ধাপে সরিয়ে না দেওয়া)) শুরুতে, যদি এবং আমরা বাছাই করি তবে আমরা সাথে উপাদান তুলনা করি এবং প্রতিটি পদক্ষেপের (3) সাথে হ্রাস হওয়ার সম্ভাবনামধ্যে বার। এখন প্রতিটি অনুপাতের জন্য যা 2 এর যৌক্তিক শক্তি নয়, আমাদের , এবং তাই আমরা পাইLog ( লগ এম ) এ < বি এ এ এস [ ≈ ( 1 - 1 / $Ω(\log m)$$A < B$$A$$A$2 )| এস| ]এও(1)| আমিআ| ≈1/(1-1/$S[≈(1-1/\sqrt{2})|S|]$$A$$O(1)$$|I_A|$2 )এ>1∀ε>0∀d>0∃এম,এন∈$≈1/(1-1/\sqrt{2})$$a>1$1 - ε < ক মিd 2 n <1+εo(n$∀ε>0 ∀d>0 ∃m,n∈\mathbb{N} \,\, 1-ε < \frac{a^m}{d2^n} < 1+ε$$o(n)$ আবদ্ধ.

সম্ভবত একটি অ্যালগরিদম$\mathrm{lg}(n!)+O(n^{1-ε})$

মডেলো একটি র‌্যান্ডমাইজেশন অনুমান হিসাবে, আমরা নিম্নরূপে গড় তুলনাগুলি অর্জন করতে পারি th গণিত ।$\mathrm{lg}(n!)+O(n^{1-ε})$

• এলোমেলোভাবে আইটেম এলোমেলো, এবং একটি তালিকায় প্রথমার্ধে সাজাতে , যখন একটি পাঁচমিশালী ব্যাচ হিসাবে দ্বিতীয়ার্ধে রাখা।$S$

• ব্যাচ পর্যন্ত একই পদ্ধতি পুনরাবৃত্তি করুন ফাঁকা:
  এলোমেলোভাবে একটি চয়ন করুন । যাক । তাহলে খালি, অপসারণ ব্যাচ এবং মধ্যে সন্নিবেশ থেকে । অন্যথায়:এ ∈ ব্যাচ জি = { বি ∈ ব্যাচ : | পি ( এ < বি ) - 0.5 | < এন - 0.51 ε } জি একজন $A∈\text{batch}$$G = \{ B∈\text{batch}: |P(A < B) - 0.5| < n^{-0.51ε} \}$$G$$A$$S$
  

  1. তাহলে আছে যেমন যে সম্ভাবনা সঙ্গে (বলুন ≥0.05), তোলেমধ্যে 2 একটি ক্ষমতা আপেক্ষিক ত্রুটি, চালানোর এবং যদি সফল (অর্থাত মধ্যে 2 একটি ক্ষমতা আপেক্ষিক ত্রুটি) , ব্যাচ থেকে সরান এবং মধ্যে into ।বি ∈ জি Θ ( 1 ) সি ও এম পি এ আর ই ( এ , বি ) | আমি আ | এন - ε সি ণ মি পি একটি দ ই ( একটি , বি ) | আমি আ | n - ε এ $B∈G$$Θ(1)$$\mathrm{Compare}(A,B)$$|I_A|$$n^{-ε}$$\mathrm{Compare}(A,B)$$|I_A|$$n^{-ε}$$A$$S$
     
  2. যদি এই ধরনের কোন , রান একটি র্যান্ডম জন্য ।B ∈ G C o m p a r e ( A , B ) বি ∈ $B∈G$$\mathrm{Compare}(A,B)$$B∈G$

যদি আমাদের র্যান্ডমাইজেশন অনুমান কাজ করে (যেমন অন্তরালের দৈর্ঘ্য এবং অবস্থানগুলির বিতরণ যথেষ্ট পরিমাণে এলোমেলো), তবে প্রক্রিয়াটির বেশিরভাগ অংশে একটি সাধারণ সাথে উপাদানগুলির ( সাথে তুলনা করা যেতে পারে বিভিন্ন অন্তর দৈর্ঘ্য)। সুতরাং, আমরা সাধারণত উপরে জন্য (1) একটি তুলনা চয়ন করতে পারেন, এবং যদি আমরা তুলনা ফলাফল নিয়ে অপয়া হয়, আমরা এখনও পেতে সম্ভাবনা, এইভাবে অর্জনের (যদি ছোট যথেষ্ট, 0.01 বলতে) একটি তুলনা অ্যালগরিদম। কিছু পরিবর্তন এবং আনুমানিকতার সাথে মোট গণনাটি ক্যাসিলিনায়ার করা যায়: একটি উপাদানএকটি এন Θ ( 1 $A$$n^{Θ(1)}$ n Θ ( 1 ) Θ ( লগ এন ) ε l g ( n ! ) + ও ( এন 1 - ε ) এ $n^{Θ(1)}$$Θ(\log n)$$ε$$\mathrm{lg}(n!)+O(n^{1-ε})$$A$, প্রতিশ্রুতিমূলক ব্যবধান দৈর্ঘ্য গণনা করুন এবং তারপরে এর সন্ধান করুন সঠিক আনুমানিক কেন্দ্র এবং অন্তর দৈর্ঘ্যের সাথে।$B$

তুলনা অপ্টিমাইজ করার জন্য অনেকগুলি উপায় রয়েছে তবে প্রতিবন্ধকতাটি হ'ল প্রতি তুলনাটি দুর্ভাগ্যজনক হতে পারে এবং আমাদের তুলনা একটি সীমিত সংখ্যক। অপ্টিমাইজেশনের পরে, যদি গড়ে 4 টি তুলনা করে এবং 1/4 সম্ভাব্যতার সাথে 'সফল' হয়, আমরা ।সি ণ মি পি একটি দ ই ( একটি , বি ) ε ≈ ( 1 - ε ) / 4 / লগ ইন করুন 4 / 3 2 ≈ $\mathrm{Compare}(A,B)$$ε≈(1-ε)/4/\log_{4/3} 2 ≈ 0.09$

একটি সম্ভবত আরও ভাল পদ্ধতির মধ্যে অপেক্ষা করা হয় যতক্ষণ না কোনও বিরতি 2 এর শক্তির নিকটবর্তী হয়, স্বতন্ত্র বিরতির দৈর্ঘ্য নয় দৈর্ঘ্যের বিতরণকে নিয়ন্ত্রণ করে।

একটি অ্যালগরিদমের একটি প্রচেষ্টা$\mathrm{lg}(n!)+n^{0.5+o(1)}$

ধরুন যে এবং আমরা একটি পাঁচমিশালী ব্যাচ দেওয়া হয় অন্তর উপাদানের সঙ্গে, এছাড়াও দেওয়াসাধারণত এবং সাথে সমানভাবে বিতরণ করা হয়েছে (এলোমেলো ত্রুটি অবধি, এবং তে শর্তযুক্ত হলেও যথাযথ নির্ভুলতার সাথে ধরে রাখা )। তারপরে, আমরা নীচে গড় তুলনাগুলি নষ্ট করে আইটেমগুলি বাছাই করতে পারি : (*) সমস্ত উপাদানকে তাদের প্রাথমিক । যখন তাদের বিরতি দৈর্ঘ্য 2 এর শক্তির নিকটে থাকে তখন সমস্ত উপাদান inোকানো হয়।| এস | = n n আমি এ | আমি আ | n 1 - o ( 1 ) | আমি আ $|S|=n$$n$$I_A$$|I_A|$$n^{1-o(1)}$2 ⌊ এল জি | আমি আ | ⌋ এ<এস[আই]এন0.5+ও(1)| আমিআ$\frac{|I_A|}{2^{\lfloor \mathrm{lg} |I_A| \rfloor}}$$A < S[i]$$n^{0.5+o(1)}$
$\frac{|I_A|}{2^{\lfloor \mathrm{lg} |I_A| \rfloor}}$

বাছাইকরণ অ্যালগরিদমটি হ'ল: এলোমেলোভাবে তালিকাটি স্থানান্তরিত করুন এবং প্রথমার্ধের বাছাই করুন । দ্বিতীয়ার্ধটি সন্নিবেশ করতে, বিতরণটি ঠিক করুন এবং উপরে (*) করুন do$S$

করতে বিতরণ অধিকার, আমরা একটি 'এলোমেলো' বিতরণ করতে পারি এবং তারপরে প্রত্যেকের জন্য উপাদানগুলির সঠিক ভগ্নাংশটি আটকে রাখতে পারি the এলোমেলো করার সময় (প্রয়োজনে পুনরাবৃত্তি করা)। তবে এটি যখন বিশ্বব্যাপী, আমরা এটি প্রয়োজনীয় নির্ভুলতার সাথে স্থানীয়ভাবে নিয়ন্ত্রণ করা যায় কিনা (তাই উপরে "প্রচেষ্টা" শব্দটি) জানি না।| আমি আ |2 ⌊ এল জি | আমি আ | ⌋ | আমিআ| /2⌊এলজি| আমিআ| ⌋| আমিআ$\frac{|I_A|}{2^{\lfloor \mathrm{lg} |I_A| \rfloor}}$$|I_A|/2^{\lfloor \mathrm{lg} |I_A| \rfloor}$$\frac{|I_A|}{2^{\lfloor \mathrm{lg} |I_A| \rfloor}}$

একটি 'র্যান্ডম' বন্টন করতে, আমরা এলোমেলোভাবে ব্যবহার করতে পারেন সঙ্গে , যে প্রাথমিক ছাড়া সব অভিন্ন, আমরা র্যান্ডোমাইজেশন একটি sublogarithmic গভীরতায় আশা করবেন না (অর্থাত্ সহ যথেষ্ট দীর্ঘ)। যাইহোক, আমি অনুমান যে আমরা সরলীকরণ ব্যবহার (সম্ভবত কোন যুক্তিসঙ্গত পছন্দ কাজ করবে) একটি sublogarithmic গভীরতায় র্যান্ডোমাইজেশন পেতে থেকে উপাদান: যদি আমরা রাখা উপাদান বিজড়িত (অর্থাত তুলনা ফলাফল) ব্যবহার সংযুক্ত, আমরা যে বিষয়ে থাকা উচিত সঙ্গে প্রতিটি তুলনা জন্য noncommuting পছন্দ । এটি$\mathrm{Compare}(A,B)$ পি ( একটি < বি ) ≈ 0.5 আমি একজন আমি একজন সি ণ মি পি একটি দ ই ট = ω ( 1 ) ট = ω ( 1 ) ট এস হে ( লগ ট এন + + লগ ট ) ট Θ ( লগ ট $P(A < B)≈0.5$$I_A$$I_A$$\mathrm{Compare}$$k=ω(1)$$k=ω(1)$$k$$S$$O(\log_k n + \log k)$র্যান্ডোমাইজেশন গভীরতা কাঙ্ক্ষিত (যে অভিমানী না খুব বড় হিসাবে আমরা গভীরতা প্রয়োজন উপাদান distentangle করার জন্য)। আমি প্রত্যাশা করি যে কম পরিমাণে ব্যবহার করলে গণনাটি কোসিলিনিয়ার তৈরি করা যায় ।$k$$Θ(\log k)$$k$

যেহেতু 1/2 হ্যাঁ সম্ভাবনা কেবল এনট্রোপিকে নষ্ট করে তাই প্রাথমিক র্যান্ডমাইজেশন এবং তাদের বেঁধে অন্তরগুলিতে সামান্য সাম্প্রদায়িকতার প্রয়োজন কেবল এন্ট্রপি বর্জ্য। যদি বিতরণকে আকার দেওয়ার পক্ষে যথেষ্ট পরিমাণে সাফল্য হয় তবে এন্ট্রপি বর্জ্যটি মূলত (*) এর সময় অন্তর দৈর্ঘ্যের সাথে মিল নেই (সুতরাং )।)।1 / 2 + + N - 0.5 হে ( 1 / এন ) এন ণ ( 1 ) এন 0.5 + + ণ ( 1 $1/2+n^{-0.5}$$O(1/n)$$n^{o(1)}$$n^{0.5+o(1)}$

একটি সম্ভাব্য সংমিশ্রণ:$\mathrm{lg}(n!)+O(n^{0.5-ε})$ যদি বিতরণের আকারটি যথেষ্ট ভাল কাজ করে এবং আমরা ব্যাচের আকারকে সমান করে তুলি এবং নির্বাচিতভাবে (*) (উপরে) এর মধ্যে উপাদানগুলিকে প্রত্যাখ্যান করুন , আমরা সাথে এই অন্তর্ভুক্ত করতে পারি যেমন অনুসরণ করে। স্প্লিট মধ্যে প্রায় সমান অন্তর, এবং যখন সন্নিবেশ সময়, একটি বিরতি উপর সমস্যা সমাধান প্রত্যাখ্যান (অর্থাত সন্নিবেশ বাতিল) যদি বিরতি অতি দীর্ঘ, এইভাবে এই অন্তর এর লেন্থ তারতম্য হ্রাস | এস | + এন 0.5 + ε ≈ n 0.5 + ε ≈ n 0.5 + ε n 0.5 - ε / 2 + ও ( 1 ) এস এন ε আই এ Θ ( এন ε / 2 ) এন 1 - ও $|S|+n^{0.5+ε}$$≈n^{0.5+ε}$$≈n^{0.5+ε}$$n^{0.5-ε/2+o(1)}$$S$$n^ε$$I_A$$Θ(n^{ε/2})$বার, যেটা ঘুরে ফিরে র্যান্ডম দৈর্ঘ্য দৈর্ঘ্য বৈচিত্র হ্রাস মধ্যে অন্তর হিসাবে প্রয়োজন, বার। এখন আমরা উপরে ব্যবহার করতে পারেন আলগোরিদিম সঙ্গে অবশিষ্ট উপাদান সন্নিবেশ করতে অপচয় যদি ছোট যথেষ্ট. 1 ) এন ε / 2 - ও ( 1 $n^{1-o(1)}$$n^{ε/2-o(1)}$ এল জি ( এন ! ) + ও ( এন 1 - ε ) ও ( এন 0.5 - ε ′ ) $\mathrm{lg}(n!)+O(n^{1-ε})$$O(n^{0.5-ε'})$$ε$

বাছাইয়ের সবচেয়ে খারাপ জটিলতা: সম্ভবত, সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে তুলনা সহ একটি বাছাই করা অ্যালগরিদম রয়েছে । মিডিয়ান সন্ধানের জন্য, গড় কেস ( তুলনা) এবং সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে (কমপক্ষে তুলনা) এর মধ্যে একটি রৈখিক ব্যবধান রয়েছে । তবে, বাছাইয়ের জন্য, তুলনা ব্যবস্থা করার জন্য এবং নতুন বাছাই করা অ্যালগরিদমগুলি সন্ধান করার জন্য প্রচুর স্বাধীনতা রয়েছে।l g ( n ! ) + o ( n ) 1.5 n + o ( n ) ( 2 + ε ) n - O ( 1 $\mathrm{lg}(n!)+o(n)$$1.5n+o(n)$$(2+ε)n-O(1)$

Comments

আমি মনে করি আপনার এটি কাগজ হিসাবে লেখা উচিত should

— এমিল জ্যাবেক

@ এমিলজেবেক সম্মত হয়েছেন। গবেষণা-স্তরের সাইট হিসাবে, এখানে অনেক প্রশ্ন ও উত্তর মিনি-পেপার, তবে এখানে দৈর্ঘ্য এবং গুরুত্বের সাথে একটি আনুষ্ঠানিক কাগজ আকাঙ্খিত। কাগজে কোন অংশগুলি প্রসারিত করা উচিত (আমাকে এই উত্তরটি সংক্ষিপ্ত সংস্করণ হিসাবে রেখে দেওয়া হবে) সম্পর্কে বিনা দ্বিধায় আমাকে ([e-mail] এ) অবহিত করুন।

— Dmytro তারানভস্কি