কোনও গ্রাফের চয়নযোগ্যতা নিম্ন-সীমাবদ্ধ করতে কতটি স্বতন্ত্র রঙের প্রয়োজন?


39

একটি গ্রাফ হয় -choosable (নামেও পরিচিত -list-মেকী যদি, যে ফাংশন জন্য) যে সংকলনের জন্য ছেদচিহ্ন মানচিত্র রং, সেখানে একটি রং নিয়োগ হয় যেমন যে, সব ছেদচিহ্ন , এবং এর মতো, সমস্ত প্রান্তের জন্য , ।k f k c v v c ( v ) f ( v ) v w c ( v ) c ( w )kkfkcvc(v)f(v)vwc(v)c(w)

এখন যে অনুমান করা গ্রাফ নয় -choosable। অর্থাৎ সেখানে একটি ফাংশন বিদ্যমান করার ছেদচিহ্ন থেকে রং করে একটি বৈধ রঙ নিয়োগ করা নেই -tuples । আমি যা জানতে চাই তা হল, মোট কয়েকটি রঙের প্রয়োজন কী? How কত ছোট হতে পারে? এমন কি একটি ( স্বতন্ত্র এমন একটি নম্বর রয়েছে যা আমাদের কেবলমাত্র স্বতন্ত্র রং ব্যবহার করে এমন একটি বেয়াদবি খুঁজে পাওয়ার নিশ্চয়তা দেওয়া যেতে পারে ?k f k c v G f ( v ) N ( k ) G f N ( k )GkfkcvGf(v)N(k)GfN(k)

সিএসের সাথে প্রাসঙ্গিকতা হ'ল যদি বিদ্যমান থাকে, তবে আমরা একক-তাত্পর্যপূর্ণ সময়ে ধ্রুবক -এর জন্য ছোসিবিলিটিটি পরীক্ষা করতে পারি (কেবলমাত্র সমস্ত পছন্দগুলি চ চেষ্টা করে এবং প্রত্যেকের জন্য এটি পরীক্ষা করুন যে এটি সময়ের সাথে রঙিন হতে পারে ^ nn ^ {O (1 ) whereas) অন্যথায় কিছুটা দ্রুত n {{n} এর মতো বাড়ার প্রয়োজন হতে পারে।কে কেN(k)kk(N(k)k)nfknnO(1)nkn


1
এন (কে)> 2 কে -1 যখন কোনও উদাহরণ রয়েছে?
ইয়ারোস্লাভ বুলাটোভ

1
আমার প্রথম ধারণাটি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফগুলিতে নির্বিচারে-উচ্চ-তালিকা-ক্রোম্যাটিক সংখ্যা থাকতে পারে এমন আদর্শ উদাহরণটিতে প্রয়োজনীয় রঙগুলির সংখ্যা কম করার চেষ্টা করা। যাইহোক, এই নির্মাণের তালিকার রঙগুলির সংখ্যা অর্জন করা k । নিম্ন সীমাটি প্রমাণ করার জন্য আমি যথেষ্ট সময় নিইনি (তবে এটি কোনও উত্তর নয় ...)।
ডেরিক স্টোলি

1
ম্যাথওভারফ্লোতেও এই দুর্দান্ত প্রশ্নটি পোস্ট করার উপযুক্ত হতে পারে ...
ফ্রেঞ্চোইস জি

সেটিং দেয় k=1 সম্পুরক 1.4 মধ্যে এখানে আপনার প্রশ্নের অন্তত অংশ কি উত্তর টা?
অ্যারন স্টার্লিং

@ অ্যারন: আপনার অর্থ কী তা আমি নিশ্চিত নই। যদি আমি সেই করোলারিতে কে = 1 সেট করে থাকি তবে মনে হয় যে পছন্দ নম্বরটি লোগ ফ্যাক্টরের বেশিরভাগ ক্রোম্যাটিক সংখ্যার বার; তবে পছন্দসই সংখ্যার জন্য কতগুলি স্বতন্ত্র রঙের প্রয়োজন তা সম্পর্কে বেশি কিছু বলে মনে হচ্ছে না।
ডেভিড এপস্টিন

উত্তর:


21

ড্যানিয়েল ক্রল এবং জিয়া এসগাল আপনার প্রশ্নের উত্তরটিকে নেতিবাচক বলেছিলেন। তাদের কাগজের বিমূর্ততা থেকে:

একটি গ্রাফ মনে করা হয় -choosable তার ছেদচিহ্ন কোনো তালিকা থেকে রঙ্গিন করা যাবে যদি সঙ্গে , সব জন্য , এবং । প্রতি , আমরা একটি গ্রাফ করি যা ইল -ছূছযোগ্য তবে ইল -ছোসেবল।G(k,)L(v)|L(v)|kvV(G)|vV(G)L(v)|3kG( কে , + )(k,)(k,+1)

সুতরাং, হলে অস্তিত্ব নেই । Král এবং Sgall এছাড়াও দেখায় । অবশ্যই ।N(k)k3N(2)=4N(1)=1

ড্যানিয়েল ক্রল, জিয়া এসগাল: তাদের ইউনিয়নের সীমিত আকারের তালিকা থেকে গ্রাফগুলি রঙ করুন । গ্রাফ থিওরি 49 এর জার্নাল (3): 177-186 (2005)


কি দারুন. নেতিবাচক হলেও এটি প্রশ্ন নিষ্পত্তি করে। ধন্যবাদ @ সার্জ! এবং আমি আশা করি আমি ড্যানিয়েল এবং জিওকেও ধন্যবাদ জানাতে পারি!
হিসিয়েন-চিহ চাং 之 之

আমি প্রশ্নের ইতিবাচক উত্তর পছন্দ করতাম।
সার্জ গ্যাসপার্স

8

কিছুটা বিব্রত স্ব-প্রচারের হিসাবে, মার্থ বনোমি এবং আমি আরও নেতিবাচক উত্তর পেয়েছি। বিশেষত, http://arxiv.org/abs/1507.03495 এর থিওরেম 4 কিছু ক্ষেত্রে ক্রল এবং এসগালের পূর্বোক্ত ফলাফলের সাথে উন্নতি করে। আমরা যে উদাহরণগুলি ব্যবহার করি তা হ'ল সম্পূর্ণ দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ, যেখানে আমরা বিশ্লেষণের জন্য কিছু ব্যতিক্রমী সমন্বয়কারী ব্যবহার করেছি।

এই টিসিএস ওভারফ্লো প্রশ্নটি দিয়ে অংশটি অনুপ্রাণিত হয়েছিল।

আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.