ভেক্টরগুলির ডট পণ্যের পরিবর্তনের ইউনিট ভেক্টরগুলির সমস্ত বিতরণের চেয়ে সর্বনিম্ন কত?

Question

আমি $n$ এলোমেলো ভেক্টরগুলির উপর একটি বিতরণ সন্ধান করার চেষ্টা করছি , মাত্রিক ইউনিট গোলকের (যেখানে ) যা \ সর্বোচ্চ_ {i \ neq জে \ \ ম্যাথর্ম {ভার} (x_i) ^ টি x_j) বাধা subject mathbb {E} [x_i ^ Tx_j] = 0 এর সাপেক্ষে ।$x_1,\ldots, x_n$$k$$n > k$$\max_{i\neq j} \mathrm{Var}(x_i^T x_j)$$\mathbb{E}[x_i^Tx_j]=0$

আমি কিছু ডিস্ট্রিবিউশন চেষ্টা এবং তাদের প্রায় সব ভ্যারিয়েন্স আছে $1/k$ । উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি x_i এর প্রতিটি সমন্বয় $x_i$independent বাম \ {- 1 / q sqrt {k}, 1 / \ sqrt {k} \ ডান \ from থেকে বিতরণ এবং বিতরণ উভয়ই $\left\{-1/\sqrt{k}, 1/\sqrt{k}\right\}$বিতরণ যেখানে প্রতিটি x_i কে- ডাইমেনশনাল ইউনিট গোলকের $x_i$একটি স্বতন্ত্র ইউনিফর্ম ভেক্টর যা ভেরিয়েন্স 1 / কে থাকে ।$k$$1/k$

1 / কে কি $1/k$সমস্ত বিতরণের মধ্যে ন্যূনতম বৈকল্পিক?

Comments

আপনি কতটা বেঁধে আগ্রহী? অর্থাৎ, 1 / 100k এর নীচের সীমানাটি কেবল n> 100k এর জন্য কাজ করে তা আকর্ষণীয় হবে কি না?

— ড্যানিয়েলো

@ লাডিয়েলো, আপনি কি নীট বাউন্ড 1 / সি কে এর জন্য এন> সিকে যেখানে সি কিছু ধ্রুবক? কীভাবে প্রমাণ করবেন?

— পেং করুন

প্রশ্নটিতে আমি বুঝতে পারি না এমন কিছু: শুরুর দিকে আপনি ইউনিট ভেক্টরগুলির উপর বিতরণ বলছেন , তবে আপনি যে সমস্ত বন্টন বলেছিলেন ইউনিট ভেক্টর জেনারেট করার চেষ্টা করেছেন ... তার অর্থ কি আপনি সব , ? $x_i$$E[|x_i|] = 1$

— ড্যানিয়েলো

@ এডেনেলো, আমি সমস্ত ভেক্টরকে "ইউনিট" করার সিদ্ধান্ত নিয়েছিলাম .. দুঃখিত, আমি "গাউসিয়ান" ভেক্টরকে নরমালাইজেশন করতে ভুলে গেছি, নরমালাইজেশন পরে, এটি ইউনিফর্ম ভেক্টরের মতোই হবে। এই ভুলটি নির্দেশ করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ।

— পেং

Answer 1

আমি সমস্যার সমতুল্য কিন্তু সরল-সন্ধানী সূত্রটি উপস্থাপন করব এবং ( এন / কে - 1) / ( এন −1) এর নিম্ন সীমাটি দেখাব । আমি কোয়ান্টাম তথ্যের একটি উন্মুক্ত সমস্যার সাথে একটি সংযোগও দেখাই। [সংশোধন 3 এ সম্পাদনা করুন: পূর্ববর্তী সংশোধনগুলিতে, আমি দাবি করেছি যে নীচের নীচে দেখানো নীচের সীমানা প্রাপ্ত মামলাগুলির একটি নিখুঁত বৈশিষ্ট্য সম্ভবত কঠিন হতে পারে কারণ জটিল মামলায় একটি সাদৃশ্যযুক্ত প্রশ্নে এসআইসি-পিওভিএম সম্পর্কে একটি উন্মুক্ত সমস্যা রয়েছে কোয়ান্টাম তথ্য। তবে এসআইসি-পিওভিএম-এর এই সংযোগটি ভুল ছিল। বিশদগুলির জন্য, "কোয়ান্টাম তথ্যে এসআইসি-পিওভিএমগুলির সাথে ভুল সংযোগ" বিভাগটি দেখুন]]

সমতুল্য সূত্র

প্রথমত, ড্যানিয়েলোর জবাব হিসাবে ইতিমধ্যে চিহ্নিত করা হয়েছিল, নোট করুন যে ভার ( x _আমি ^টি x _জে ) = ই [( x _আমি ^টি x _জে ) ² ] - ই [ x _আমি ^টি এক্স _জে ] ² = ই [( x _আমি ^টি x _জ ) ² ]। সুতরাং উত্তরের বাক্সে, আমরা বৈসাদ্যগুলি ভুলে গিয়ে পরিবর্তে সর্বোচ্চ _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] হ্রাস করতে পারি ।

এরপরে, একবার আমরা সিদ্ধান্ত নিই যে _আমি সর্বোচ্চ _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] হ্রাস করতে পারি, আমরা E [ x _i ^T x _j ] = 0. যে প্রতিবন্ধকতা এড়াতে পারি তা এড়াতে পারি কারণ এটি আমাদের এলোমেলোভাবে থাকলে ইউনিট ভেক্টর x ₁ ,…, এক্স _এন , তখন আমরা তাদের প্রতিটিকে ই-সন্তুষ্ট করার জন্য সম্ভাব্যতা 1/2 এর সাথে স্বতন্ত্রভাবে প্রত্যাখ্যান করতে পারি [ x _i ^T x _j ] = 0 উদ্দেশ্য উদ্দেশ্য ফাংশনের মান পরিবর্তন না করে সর্বোচ্চ _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j) ² ]।

তদুপরি, সর্বোচ্চ _{i ≠ j} E [( x _i ^T x _j ) ² ] থেকে (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ J} E [( x _i ^T x _j ) ² ] এ অবজেক্টিভ ফাংশন পরিবর্তন করা হচ্ছে সর্বোত্তম মান পরিবর্তন করে না। দ্বিতীয়টি বেশিরভাগ প্রাক্তন কারণ গড় সর্বাধিক সর্বোচ্চ। যাইহোক, আমরা সবসময় ই মান নিশ্চিত করতে পারেন [( এক্স _আমি ^টি এক্স _ঞ ) ² ] এর (বিভিন্ন পছন্দ জন্য আমি , ঞ ) ( আমি ≠জ ) এন ভেক্টর এক্স ₁ ,…, এক্স _এন এলোমেলোভাবে অনুমতি দিয়ে সমান ।

সুতরাং যে কোনও এন এবং কে- র ক্ষেত্রে, সমস্যার সমাধানের সর্বোত্তম মানটি সর্বনিম্ন (1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ J} E [( x _i ^T x _j ) ² ] যেখানে x ₁ ,…, এক্স _এন হল এলোমেলো ভেরিয়েবল যা ইউনিট ভেক্টরকে মান হিসাবে ℝ ^{k তে নেয়} ।

তবে, প্রত্যাশার রৈখিকতার দ্বারা, এই উদ্দেশ্য কার্যটি প্রত্যাশিত মান E [(1 / ( n ( n −1))) ∑ _{i ≠ j} ( x _i ^T x _j ) ² ] এর সমান । সর্বনিম্ন সর্বমোট গড় হওয়ায় সম্ভাব্যতা বিতরণকে আর বিবেচনা করার দরকার নেই। অর্থাৎ উপরের সমস্যার সর্বোত্তম মানটি নিম্নলিখিতগুলির সর্বোত্তম মানের সমান:

ইউনিট ভেক্টর বাছাই করুন এক্স ₁ , ..., x এর _এন ∈ ℝ ^ট কমানোর জন্য (1 / ( এন ( এন -1))) Σ _{আমি ≠ ঞ} ( এক্স _আমি ^টি এক্স _ঞ ) ² ।

নিম্ন সীমা

এই সমতুল্য সূত্রটি ব্যবহার করে, আমরা প্রমাণ করব যে সর্বোত্তম মানটি কমপক্ষে ( এন / কে - 1) / ( এন −1)।

1≤ i ≤ n এর জন্য , এক্স _i = x _i x _i ^T ইউনিট ভেক্টর x _{i এর} সাথে সম্পর্কিত র‌্যাঙ্ক -1 প্রজেক্টর হতে দিন । তারপরে, এটি ধরে রাখে যে ( x _i ^T x _j ) ² = Tr ( X _i X _j )।

যাক Y = ∑ _i এক্স _i । তারপরে, এটি ধারণ করে যে ∑ _{i ≠ j} Tr ( X _i X _j ) = ∑ _{i , j} Tr ( X _i X _j ) - n = Tr ( Y ² ) - n ।

কোশি-কালো বৈষম্য যে বোঝা Tr ( ওয়াই ² ) ≥ (tr ওয়াই ) ² / K = ঢ ² / K , সেইজন্য এবং Σ _{আমি ≠ ঞ} Tr ( এক্স _আমি এক্স _ঞ ) = Tr ( ওয়াই ² ) - এন ≥ এন ² / কে - এন । N ( n −1) দিয়ে ভাগ করে আমরা জানতে পারি যে উদ্দেশ্য মানটি কমপক্ষে ( n / k - 1) / ( n −1)।

বিশেষত, যখন এন = কে +1 হয়, ড্যানিয়েলোর উত্তরটি সর্বোত্তম মান থেকে 2 এর একটি ফ্যাক্টরের মধ্যে থাকে।

এই নিম্ন সীমা কখনই অর্জনযোগ্য?

এই নিম্ন স্তরের ( এন / কে - 1) / ( এন −1) প্রাপ্তি ওয়াই = ( এন / কে ) আই করার সমতুল্য । আমি যখন এটি অর্জনযোগ্য তখন সঠিক চরিত্রায়ন জানি না তবে নিম্নলিখিত পর্যায়ে শর্ত বিদ্যমান:

• যখন এন = ট + 1, এটা বিবেচনা করে লভ্য ট + 1 ইউনিট ভেক্টর যা নিয়মিত গঠন ট -simplex মূলবিন্দুতে কেন্দ্রিক, 2 / (থেকে উন্নতি ট ( ট অনুকূল 1 / থেকে daniello এর উত্তর +1)) ট ^ঘ ।
• যখন এন এর গুণিতক হয় ট , এটা পরিষ্কারভাবে ℝ একজন orthonormal ভিত্তিতে স্থাপন দ্বারা লভ্য ^ট এবং ভিত্তি ভেক্টর প্রতিটি বরাদ্দ এন / ট এর V ₁ , ..., বনাম _এন ।
• শেষ বুলেট পয়েন্টের চেয়ে সাধারণত, যদি এটি কে এবং কিছু পছন্দ এন = এন ₁ এবং এন = এন _{2 দিয়ে প্রাপ্ত হয়} তবে এটি একই কে এবং এন = এন ₁ + এন _{2 এর} পক্ষেও অর্জনযোগ্য । বিশেষত, যদি এন = ক কে + বি হয় যেখানে a এবং b এর পূর্ণসংখ্যা হয় একটি ≥ b ≥0 হয় ain

যদিও আমি বিশদটি পরীক্ষা করে নিই না, মনে হয় যে কোনও গোলাকৃতির 2-ডিজাইন এই নিম্ন সীমাটি অর্জনের সমাধান দেয়।

কোয়ান্টাম তথ্যে SIC-POVMs এর সাথে ভুল সংযোগ

পূর্ববর্তী সংশোধনগুলিতে, আমি বলেছি:

আমি সন্দেহ করি যে এর সম্পূর্ণ উত্তর দেওয়া একটি কঠিন প্রশ্ন। কারণটি হ'ল আমরা যদি পরিবর্তে জটিল ভেক্টর স্পেস- ^কে বিবেচনা করি তবে এই প্রশ্নটি কোয়ান্টাম তথ্যের একটি উন্মুক্ত সমস্যার সাথে সম্পর্কিত।

তবে এই সম্পর্কটি ভুল ছিল। আমি ব্যাখ্যা করব কেন।

আরও স্পষ্টভাবে, নিম্নলিখিত সমস্যাটি বিবেচনা করুন:

চয়ন করুন ইউনিট ভেক্টর এক্স ₁ , ..., x এর _এন ∈ ℂ ^ট কমানোর জন্য (1 / ( এন ( এন -1))) Σ _{আমি ≠ ঞ} | x _আমি ^* x _জ | ^ঘ ।

উপরের নীচের দিকে আবদ্ধ সমানভাবে এই জটিল সংস্করণে রয়েছে। জটিল সংস্করণে এন = কে ² কেসটি বিবেচনা করুন । তারপরে নিম্ন সীমাটি 1 / ( কে +1) এর সমান ।

এখনও পর্যন্ত, এটি সঠিক ছিল।

একটি সেট ট ² ইউনিট ভেক্টর এক্স ₁ , ..., x এর _{ট ²} ∈ ℂ ^ট লোয়ার বাউন্ড একটি বলা হয় অর্জনের এসআইসি-POVM মাত্রা মধ্যে ট ,

এই অংশটি ভুল ছিল। একটি এসআইসি-পিওভিএম হল কে ² ইউনিটের ভেক্টর x ₁ ,…, x _n ∈ ℂ ^কে একটি সেট যা এর জন্য | x _আমি ^* x _জ | ² = 1 / ( ট + 1) সবার জন্য আমি ≠ ঞ । মনে রাখবেন যে এখানে প্রয়োজনীয় সমস্ত জোড় i ≠ j রাখতে হবে , কেবলমাত্র সমস্ত জোড় i ≠ j এর চেয়ে গড় নয় । "সমতুল্য সূচনা" বিভাগে, আমরা সর্বোচ্চ হ্রাস এবং গড়কে হ্রাস করার মধ্যে সমতা দেখিয়েছিলাম, তবে এটি সম্ভব হয়েছিল কারণ x ₁,…, এক্স _এন ছিল ইউনিট ভেক্টরগুলি নিয়ে এলোমেলো পরিবর্তনশীল। এখানে এক্স ₁ ,…, এক্স _এন কেবলমাত্র ইউনিট ভেক্টর, তাই আমরা একই কৌশলটি ব্যবহার করতে পারি না।

Answer 2

$v_1, v_2, \ldots, v_k$$\{1,2,\ldots,k+1\}$$x_i = x_j = v_1$$x_t$$t \notin \{i,j\}$$v_2, \ldots, v_k$$t \in \{1,\ldots,k+1\}$$x_i$$-x_i$$\frac{1}{2}$

$E[x_a \cdot x_b] = 0$$x_a$$x_b$$\frac{1}{2}$

$Var[x_a \cdot x_b] = E[(x_a \cdot x_b)^2]$$(x_a \cdot x_b)^2 = 1$$\{a,b\} = \{i,j\}$$\frac{1}{k+1 \choose 2}$$(x_a \cdot x_b)^2 = 0$$a$$b$

$$Var[x_a \cdot x_b] = E[(x_a \cdot x_b)^2] = \frac{1}{k+1 \choose 2}$$

$x_i$