প্রাকৃতিক এনপি-সম্পূর্ণরূপে "বড়" সাক্ষীদের সমস্যা problems

Question

" এনপি লিনিয়ার সাইজের সাক্ষীদের মধ্যে সীমাবদ্ধ কী? " ক্লাসেওরিয় প্রশ্নটি লাইনারি সাইজের সাক্ষীদের মধ্যে সীমাবদ্ধ এনপি ক্লাস সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করে , তবে$O(n)$

সেখানে আছেন প্রাকৃতিক দ্বারা NP-সম্পূর্ণ সমস্যার যা (হ্যাঁ) আকার দৃষ্টান্ত চেয়ে আকার তদ্বুর্ধ্ব সাক্ষী প্রয়োজন এন ?$n$$n$

স্পষ্টতই আমরা কৃত্রিম সমস্যাগুলি তৈরি করতে পারি যেমন:

• $L = \{ 1^nw \mid w \text{ encodes a satisfiable formula and } |w|=n \}$
• $L = \{ \varphi \mid \varphi \text{ is SAT formula with more than } |\varphi|^2 \text{ satisfying assignments}\}$

জি অ্যান্ড জেতে একটি তাত্ক্ষণিকভাবে দেখার পরে, প্রতিটি প্রাকৃতিক এনপিসি সমস্যার কাছে এন থেকে কম সাক্ষী রয়েছে (কঠোরভাবে) $n$।

এটির জন্য কি কোনও "কারণ / ব্যাখ্যা" আছে?

Comments

গ্রাফ আইসোমর্ফিিজম এবং হ্যামিলটোনীয় পাথের মতো অনেক সমস্যার সাক্ষী আকার । আপনি কি পলিগ উপাদানগুলি বাদ দিতে চেয়েছিলেন, বা উত্তর হিসাবে গণনা করে? $\Theta(n \log n)$

— জোশুয়া গ্রাচো 26'14

আসলে, গ্রাফ Isomorphism এবং হ্যামিল্টনিয়ান পথের দিকে সাক্ষী আকার হিসেবে দেখা যেতে পারে sublinear (প্রদত্ত যে ইনপুট হয় ইনপুটে $n \times n$ গ্রাফ অন্তিক ম্যাট্রিক্স)।

— রায়ান উইলিয়ামস

ওহ, ঠিক ...

— জোশুয়া গ্রাচো

@ মারজিওডিবিবিসি আমি মনে করি আপনার প্রাকৃতিক এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা সংজ্ঞায়িত করার জন্য ছোট সাক্ষীদের পর্যবেক্ষণ ব্যবহার করা উচিত ।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

@ মারজিওডিবিবিসি - আমি সম্মত হই যে সন্তোষজনক কার্যভারের তালিকা যথেষ্ট, তবে আপনি কি প্রমাণ করতে পারবেন যে সমস্যার কোনও সংক্ষিপ্ত সাক্ষী নেই? (সম্ভবত প্রয়োজনীয় কার্যভারগুলি উপস্থাপনের একটি সফল উপায়) maybe

— আরবি

Answer 1

ঘন গ্রাফে (কিন্ত ক্রোমাটিক সূচক ) প্রান্তের বর্ণ সংখ্যাটি কীভাবে হবে ? আপনাকে একটি ভার্টেক্স গ্রাফের সংলগ্ন ম্যাট্রিক্স দেওয়া হয়েছে ( বিট ইনপুট), তবে বর্ণ বর্ণিত প্রাকৃতিক সাক্ষীর আকার । অবশ্যই, ভাইজিংয়ের উপপাদ্যটিতে ক্লাস 1 গ্রাফের জন্য আরও ছোট প্রমাণ থাকতে পারে ।এন 2 এন 2 লগ $n$$n^2$$n^2\log n$

এটি সম্ভবত সম্পর্কিত সম্পর্কিত প্রশ্নটিও দেখুন

Comments

এটি একটি ভাল উদাহরণ বলে মনে হচ্ছে! কেবল একটি নোট: সমস্যাটি কিউবিক গ্রাফের জন্য এনপি-সম্পূর্ণ; সেক্ষেত্রে আমাদের কাছে আকার একটি সাক্ষী রয়েছে বিটগুলি যথেষ্ট (প্রতিটি প্রান্তের জন্য দুটি বিট) যা আমরা যদি সংলগ্ন ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা ব্যবহার করি তবে চেয়ে কম এবং আমি সন্দেহ করি যে এটি কিউবিক গ্রাফের জন্য আমরা যুক্তিসঙ্গত এনকোডিংটি ব্যবহার করি না কেন উদাহরণের আকারের চেয়ে কম। এন $2|E|$$n^2$

— মারজিও ডি বায়াসি

Answer 2

আমি বেশ কয়েকটি প্রাকৃতিক এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা নিয়ে এসেছি যার জন্য আপাতদৃষ্টিতে দীর্ঘ সাক্ষীর প্রয়োজন রয়েছে। পূর্ণসংখ্যা এবং দ্বারা পরামিতিযুক্ত সমস্যাগুলি নিম্নরূপ:$C$$D$

ইনপুট: একটি এক-টেপ টিএম প্রশ্ন: some তে কিছু , যেমন দৈর্ঘ্য এর কিছু পদক্ষেপের চেয়ে আরও বেশি করে তোলে ?এন ∈ এন এম সি এন + ডি $M$
$n\in\mathbb{N}$$M$$Cn+D$$n$

কখনও কখনও সমস্যার পরিপূরকটি বলা সহজ: একটি প্রদত্ত ওয়ান-টেপ টিএম সময় মতো চালায় কি না । এটা সর্বাধিক না করা আকারের সমস্ত ইনপুট উপর পদক্ষেপ , সব জন্য ?সি এন + ডি সি এন + ডি এন $M$$Cn+D$$Cn+D$$n$$n$

সম্পূর্ণ ফলাফল এখানে উপস্থাপন করা হয় । মূলত, এটি প্রদর্শিত হয় যে যদি আমরা একটি টেপ টিএম সময় চালিত কিনা তা যাচাই করতে চাই , আমাদের কেবল এটি by দ্বারা আবদ্ধ দৈর্ঘ্যের ইনপুটগুলিতে যাচাই করতে হবে , যেখানে সংখ্যাটি ইনপুট টিএম এর রাজ্যগুলির। সুতরাং সাক্ষী দৈর্ঘ্যের the এর ইনপুট হবে যার জন্য সময়সীমাটি লঙ্ঘন করা হয়েছে। রেফারেন্সে এটিও দেখানো হয়েছে যে এই সমস্যাগুলি সমস্ত - এবং জন্য এনপি-সম্পূর্ণ ।কুই হে ( সি ) কুই কুই হে ( সি ) সি ≥ 2 ডি ≥ $Cn+D$$q^{O(C)}$$q$$q^{O(C)}$$C\geq 2$$D\geq 1$

এখন যদি সাক্ষী কোনও চলমান সময় লঙ্ঘন করে এমন ইনপুট হয় তবে এটি সাধারণভাবে length হওয়া উচিত । এবং ইনপুটটি দৈর্ঘ্যের । ও ( কিউ 2$q^{\Omega(C)}$$O(q^2)$

Comments

ধন্যবাদ! তবে, সত্যি কথা বলতে, আমি সমস্যাটি আরও "প্রাকৃতিক" খুঁজে পেয়েছি (আমি জানি এটি কোনও আনুষ্ঠানিক ধারণা নয়) সমস্যাটি: "একটি সূত্র দেওয়া হয়েছে , এটির কমপক্ষে সন্তোষজনক অ্যাসাইনমেন্ট রয়েছে কিনা তা স্থির করুন " :-)| φ | $\varphi$$|\varphi|^2$

— মারজিও দে বায়াসি

আমি বুঝেছি :). অন্যদিকে, সম্পর্কে সমস্যাটিতে প্রশ্নের মধ্যে সাক্ষীর দৈর্ঘ্য রয়েছে, অন্যদিকে টিএমএস সংক্রান্ত সমস্যা প্রমাণের সাথে সাক্ষীর দৈর্ঘ্য পায়। আরও কী, সাক্ষীর দৈর্ঘ্য ইচ্ছাকৃতভাবে সমস্যার সাথে সংহত করা হয় না । $\varphi$

— ডেভিড জি

Answer 3

এখানে একটি উদাহরণ রয়েছে, যা একটি প্রাকৃতিক সমস্যা দেখা দেয়।

উদাহরণ: ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যা, , এবং , সমস্ত উপরের থেকে দ্বারা আবদ্ধ । কে $d_1,\ldots,d_n$$k$$n$

প্রশ্ন: ডিগ্রি সিকোয়েন্স সহ কোনও সাবলীল গ্রাফ রয়েছে ?d 1 , … , d $k$$d_1,\ldots,d_n$

এখানে ইনপুটটিকে বিট দিয়ে বর্ণনা করা যেতে পারে তবে সাক্ষীর জন্য বিট লাগতে পারে ।Ω ( এন 2$O(n\log n)$$\Omega(n^2)$

মন্তব্য: আমার নির্দিষ্ট উল্লেখ নেই যে এই বিশেষ সমস্যাটি সত্যই এনপি-সম্পূর্ণ। তবে রঙের প্রয়োজনের প্রয়োজনীয়তা অন্য কোনও এনপি-সম্পূর্ণ শর্ত দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে; সমস্যাটি সম্ভবত কোনও শর্তের জন্য এনপি-সম্পূর্ণ হয়ে উঠবে, যদি এটির জন্য না হয়।$k$

Comments

আমার কাছে, এই সমস্যাটির ভুল ধরণের কাঠামোটিকে এনপি-সম্পূর্ণ হতে হবে, যদি না পি = এনপি। প্রতিটি ডিগ্রি সিকোয়েন্স দ্বারা সংজ্ঞায়িত গ্রাফগুলির শ্রেণিগুলি খুব বড় হতে পারে এবং তাদের মধ্যে অনেকের মধ্যে একটি তুচ্ছ কারণের জন্য রঙযোগ্য উপাদান থাকতে পারে । $n$

— আন্দ্রেস সালামন

@ অ্যান্ড্রেসালামন প্রকৃতপক্ষে, আমি জানি না এই সমস্যার জটিলতা কী, বা রঙিনযোগ্যতার পরিবর্তে কোনও উপযুক্ত শর্ত বেছে নিয়ে এটিকে এনপি-সম্পূর্ণ করা যায় কিনা। অন্যদিকে, আমি অবাক হব যদি প্রতিটি পলটাইম চেকযোগ্য সম্পত্তি জন্য নিম্নলিখিত সমস্যাটি পি তে থাকে : সেখানে কোনও প্রদত্ত ডিগ্রি ক্রম সহ একটি গ্রাফ উপস্থিত রয়েছে, যেমন এটিতেও সম্পত্তি ? কিউ $k$$Q$$Q$

— আন্দ্রেস ফারাগো

আমি সম্মত হই যে এটি সম্ভবত অসম্ভব মনে হয় যে ডিগ্রি সিকোয়েন্স + সম্পত্তি সর্বদা পিতে থাকে তবে এর মধ্যে কিছু এনপি-মধ্যবর্তী অবস্থানের প্রার্থী?

— আন্দ্রেস সালামন

@ অ্যান্ড্রেসালামন হ্যাঁ, আমি খুব ভাল করেই ধারণা করতে পারি যে তাদের মধ্যে কিছুতে এনপিআই স্ট্যাটাস রয়েছে।

— আন্দ্রেস ফারাগো

Answer 4

হতে পারে এটি একটি নির্লিপ্ত "কারণ / ব্যাখ্যা", তবে অনেক এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার জন্য সমাধান হ'ল ইনপুটটির একটি উপসেট (ন্যাপস্যাক, ভার্টেক্স কভার, চক্র, প্রভাবশালী সেট, স্বতন্ত্র সেট, সর্বোচ্চ কাট, উপসেট যোগ, ... ) বা ইনপুটটির একটি উপসেটের অনুমতি বা অ্যাসাইনমেন্ট (হ্যামিলটোনিয়ান পাথ, ট্র্যাভেল সেলসম্যান, স্যাট, গ্রাফ আইসোমর্ফিিজম, গ্রাফ কালারিং, ...)।

আমরা এটির চেয়ে আরও বেশি পড়ার চেষ্টা করতে পারি, বা আরও দৃ .়তার সাথে যুক্ত কারণ নিয়ে আসতে পারি, তবে আরও গভীর কিছু চলছে কিনা তা আমি নিশ্চিত নই।

Comments

আমি সত্যিই এটি একটি সূক্ষ্ম "প্রথম ধারণা" বলে মনে করি। কখনও কখনও সমস্যাগুলি পরিষ্কারভাবে শ্রেণিবদ্ধ করা যায় না। উদাহরণস্বরূপ, স্যাট একটি সাবসেট সমস্যাও হতে পারে ("সত্য ভেরিয়েবলগুলির একটি উপসেট চয়ন করুন")। বা হ্যামসাইক্ল কি শীর্ষে একটি ক্রমশক্তি সমস্যা, বা প্রান্তগুলিতে একটি উপসেট সমস্যা? (বিটিডাব্লু, সম্ভবত "অ্যাসাইনমেন্ট সমস্যাগুলি" সত্যিই "পার্টিশনের সমস্যা" হতে পারে, 3-বর্ণ বলার কথা ভাবেন)।

— জুহো

Answer 5

আপনার প্রথম প্রশ্নের কথা হিসাবে, অ্যালেন্ডার ( স্ব-হ্রাসযোগ্যতার অর্থ দ্বারা লোয়ার সীমানা প্রশস্তকরণে ) লিখেছেন যে কোনও প্রাকৃতিক এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা এনটিটাইমের (এন) এর বাইরে থাকা বলে জানা যায় না। এর অর্থ হ'ল সমস্ত পরিচিত প্রাকৃতিক এনপি-সম্পূর্ণ সেটগুলিতে রৈখিক আকারের সাক্ষী রয়েছে।

Comments

নোটডেস্টেমিনিস্টিক টিউরিং মেশিনে দীর্ঘতম গ্রহণযোগ্য পাথের দৈর্ঘ্য সাক্ষীর আকারের সাথে মিলে যায় তা নোট করুন।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি 21

Answer 6

MAXCLIQUE সমস্যার নিম্নলিখিত রূপটি বিবেচনা করুন ।

$C$$2n$$n$$2^n$$n$$2n$$C$$G(C)$$n$$C$

$G(C)$$n^k$$k$

নোট:

1. $NP$$N=2n^k$$G(C)$$N$$N$$C$$C$$n$$N$$N/2$$N$$N$$N$$N=2n^k$

2. $n^k$$O(n^{k+1})$$n$$n^k$$k$$C$$n$$k$$C$

3. সমস্যাটি প্রাকৃতিক হিসাবে দেখা যায়, যেহেতু এটি MAXCLIQUE এর বৈকল্পিক ।

4. $NTIME(n)$

Comments

$n$

$G'$$N=2n^k$$C$$(u,v)$$u\leq N, \; v\leq N$$(u,v)\in E(G')$$C$$C$$G(C)$$G'$$N$$2^n-N$$G(C)$$n^k$$G'$একটি অর্ধ চক্র আছে।

— আন্দ্রেস ফারাগো