কঙ্কাল ধারণার সাথে ক্যাটাওগ্রিজগুলির একটি তত্ত্বের সাথে অবিচ্ছিন্নতা সম্পর্কিত

Question

বলুন যে আমি হোমোপি টাইপ তত্ত্বে কাজ করি এবং আমার পড়াশোনার একমাত্র বিষয়গুলি প্রচলিত বিভাগসমূহ categories

সমতুল্যতা এখানে ফ্যান্ট্যাক্টর এবং যা বিভাগগুলির সমতা প্রদান করে ime । প্রাকৃতিক আইসোর্ফিজমগুলি রয়েছে এবং যাতে এই ফান্টেক্টর এবং "বিপরীত" ফান্ট্যাক্টর থাকে ইউনিট ফান্টারে রূপান্তরিত হয়।$F:{\bf D}\longrightarrow{\bf C}$$G:{\bf C}\longrightarrow{\bf D}$ ${\bf C} \simeq {\bf D}$$\alpha:\mathrm{nat}(FG,1_{\bf C})$$\beta:\mathrm{nat}(GF,1_{\bf D})$

এখন univalence পরিচয় টাইপ equivalences সম্পর্কিত ইচ্ছাকৃত টাইপ তত্ত্ব আমি আরও কথা বলার জন্য বাছাই করেছেন। যেহেতু আমি কেবল বিভাগগুলির সাথেই ডিল করি এবং সেগুলির সমতুল্য যদি তাদের আইসোমোরফিক কঙ্কাল থাকে তবে আমি বিস্মিত হই আমি বিভাগগুলির কঙ্কালের কাছে যাওয়ার ক্ষেত্রে অদ্বিতীয়তার অক্ষটি প্রকাশ করতে পারি কিনা।${\bf C}={\bf D}$

অথবা, অন্যথায়, আমি পরিচয়ের ধরণটি সংজ্ঞায়িত করতে পারি, অর্থাত্ সিনট্যাকটিক এক্সপ্রেশন এমনভাবে যা মূলত বলে যে "এখানে একটি কঙ্কাল আছে (বা আইসোমর্ফি) এবং এবং both উভয়ই এর সমতুল্য? "${\bf C}={\bf D}:=\dots$${\bf C}$${\bf D}$

(উপরোক্ত ক্ষেত্রে ধরণের তাত্ত্বিক ধারণাগুলির সংজ্ঞা হিসাবে ব্যাখ্যা করা সহজ - বিভাগের তাত্ত্বিক ধারণাগুলি সম্পর্কে আমি এই বিষয়ে চিন্তা করি কারণ নৈতিকভাবে, আমার কাছে মনে হয় যে অক্ষরটি হার্ড-কোডিং দ্বারা ইচ্ছাকৃত ধরণের তত্ত্বটি "সংশোধন" করে) সমানতা নীতি যা ইতিমধ্যেই বিষয়শ্রেণীতে তাত্ত্বিক বিবৃতি তৈয়ার প্রাকৃতিক অংশ, যেমন নির্ধারণ শুধুমাত্র পদ সার্বজনীন বৈশিষ্ট্য বস্তু।)

Comments

আপনি কি এইচটিটি বইয়ের 9 তম অধ্যায়টি পড়েছেন? এটি বিভাগের তত্ত্ব সম্পর্কে।

— আন্দ্রেজ বাউর

Answer 1

আমি আপনাকে HoTT বইয়ের 9 অধ্যায়টি উল্লেখ করি । বিশেষ করে, একটি বিভাগ এমনভাবে isomorphic বস্তু সমান দেখুন সংজ্ঞায়িত করা হয় সংজ্ঞা 9.1.6 । উদাহরণ হিসাবে 9.1.15 উল্লেখ করেছে, সত্যই "হকিট" এর " কঙ্কালতা " এর যুক্তিসঙ্গত ধারণা নেই। এটি এতটা কারণ সমতা এতটাই দুর্বল যে এর ইতিমধ্যে "আইসোমোরফিক" অর্থ।

তদ্বিতীয়ত , উপপাদ্য 9.4.16 বলেছে

উপপাদ্য 9.4.16: যদি$A$ এবং $B$ বিভাগ তারপর ফাংশন

$$(A = B) \to (A \simeq B)$$ (পরিচয় ফান্টারে অন্তর্ভুক্তির দ্বারা সংজ্ঞায়িত) হ'ল প্রকারের সমতুল্য।

উপপাদ্যটি আমাদের জানায় যে ইউনিভ্যালেন্স অ্যাক্সিয়াম আমাদেরকে এক ধরণের ক্যাটারি তাত্ত্বিকের স্বপ্ন দেয়: সমমানের বিভাগগুলি সমান।

আপনি বিভাগ সম্পর্কে একটি বিবৃতিতে ইউনিভ্যালেন্স অ্যাক্সিয়ামটি হ্রাস করতে পারবেন কিনা তা জিজ্ঞাসা করুন। কঙ্কাল ব্যবহার করার চেষ্টাগুলি কাজ করবে না কারণ "কঙ্কাল" বলার ভাল উপায় নেই। আমরা জিজ্ঞাসা করতে পারি যে উপপাদ্য 9.4.16 ইউনিভ্যালেন্স অ্যাক্সিয়ামটি বোঝায়। এটি কেস হিসাবে চলবে না, যতদূর আমি দেখতে পাচ্ছি, কারণ একটি বিভাগে আছে$1$বস্তুর টাইপ (গ্রুপয়েড) এবং ক $0$রূপের সেট-টাইপ (সেট), সুতরাং উপপাদ্য 9.4.16 শুধুমাত্র 1-প্রকারের জন্য ইউনিভ্যালেন্স অ্যাক্সিয়ামের মতো কিছুতে আসে।