মার্টিন-লফ টাইপ তত্ত্বের ন্যূনতম স্পেসিফিকেশন

Question

আমি মার্টিন-লফস টাইপ থিয়োরির ( হওটিটি বইয়ের পরিশিষ্ট ) এর আনুষ্ঠানিক উপস্থাপনাটি পড়ছি । লেখক বিশ্বজগতের, তারপর একটি অনুক্রমের পরিচয় করিয়ে এবং ডব্লিউ -types সেইসাথে স্বাভাবিক সংখ্যার এন (inductively মাধ্যমে 0 এবং গুলি তোমার দর্শন লগ করা গ গ )। অবশেষে তারা উচ্চতর প্ররোচক ধরনের যুক্ত করে।$\Pi, \Sigma,+, {\bf 0}, {\bf 1}$$W$$\mathbb N$$0$$succ$

তবে আমি ভাবছি তত্ত্বের বিশদকরণে কেন করা দরকার । না 1 এবং + + এবং বীজগাণিতিক থাকার অবতার ডাটা ধরনের, ডব্লিউ -types, চলা এটি সেট আপ করতে? যেমন প্রাথমিক বীজগণিত পদ্ধতির সাথে। (বা কমপক্ষে আমরা এমএলটিটি থেকে HoTT তে প্রেরণামূলক প্রকারের পরে - সর্বোপরি, পূর্ণসংখ্যা জেডটি তত্ত্বের মধ্যে সার্কেল টাইপ এস এর মোটরগাড়ি গ্রুপ হিসাবে আত্মপ্রকাশ করে।)$\mathbb N$${\bf 1}$$+$$W$$\mathbb Z$$\mathbb S$

বা আমাদের প্রথম থেকেই আদিম পুনরাবৃত্তি হওয়া দরকার যা প্রেজেন্টেশনে ঠিক পাশেই সংজ্ঞায়িত হয়েছে ? এটি আমার কাছে একটি ধারণা যা আমি জানি না যে এই কাঠামোটিতে কীভাবে "সংজ্ঞা সংজ্ঞায়িত করা হয়", বা ভাষা কীভাবে প্রসারিত হয় তা আনুষ্ঠানিকভাবে। আমি যুক্ত করতে পারি যে আমি স্বীকৃতি দিয়েছি যে মহাবিশ্বের শ্রেণিবিন্যাস সংজ্ঞায়িত করা হলে সংখ্যার কমপক্ষে একটি অনানুষ্ঠানিক ধারণা এবং "বৃহত্তর" ইতিমধ্যে ব্যবহৃত হয়।$\mathbb N$

যদি কেউ বাঁচাতে পারে এবং স্পেসিফিকেশনটি কেবল ন্যূনতম নয়, অন্য আইটেমগুলি কি নীতিগতভাবে ড্রপ হতে পারে? যেমন আমি কল্পনা করতে পারে 2 এবং তারপর + + কিছু সমন্বয় থেকে আসছে Π , Σ , 0 , 1 , কিন্তু আমি তা করতে পারল না।$\mathbb N$$\bf 2$$+$$\Pi, \Sigma, {\bf 0}, {\bf 1}$

Answer 1

এইচটিটি বইয়ের পরিশিষ্টে বর্ণিত সিস্টেমটির উদ্দেশ্যটি এমন কিছু উপস্থাপন করা যা বইটি ব্যবহৃত ব্যবহারের সাথে মিলে যায়। বইটি শিক্ষাগত হওয়ার লক্ষ্যে রয়েছে। সুতরাং সর্বনিম্নবাদী উপায়ে সবকিছু করা খারাপ ধারণা হবে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা আলাদাভাবে পরিচয় করিয়ে দিয়েছি কারণ এটি একটি পরিচিত ক্ষেত্রে ইন্ডাকটিভ নির্মাণগুলি কীভাবে কাজ করে তা দেখার নির্দেশিক।$\mathbb{N}$

আপনি পুরোপুরি সঠিক, প্রস্তাবনামূলক ধরনের তিড়িং লাফ-শুরু থেকে সাধারণ -types আপনি শুধু প্রয়োজন 0 এবং 2 । আপনি অবিলম্বে পেতে 1 যেমন 0 → 0 , এবং আপনি পেতে + + থেকে 2 এবং Σ । আপনার কাছে একবার এটি হয়ে গেলে, আপনি সমস্ত সসীম পরিমাণ 1 + 1 + ⋯ + 1 পাবেন । এই সময়ে সাধারণ বীজগণিত ডেটাটাইপগুলি করা সহজ।$W$$0$$2$$1$$0 \to 0$$+$$2$$\Sigma$$1 + 1 + \cdots + 1$

যদি আপনি ড্রপ করেন , তাই আপনি Π , Σ , 1 এবং 2 থেকে শুরু করেন , তবে আপনি 0 ফিরে পেতে পারবেন না কারণ আপনার তৈরি প্রতিটি ধরণের লোকেরা বাস করবে।$0$$\Pi$$\Sigma$$1$$2$$0$

মনে করুন আপনার কাছে কেবল , Σ , 0 এবং 1 রয়েছে । তারপরে আপনি 2 করতে পারবেন না কারণ আপনি দেখিয়ে দিতে পারেন যে আপনার তৈরি প্রতিটি নির্মাণ আপনাকে 0 বা 1 প্রদান করে । আসলে, আপনি মোটেও কোনও আকর্ষণীয় নির্ভর পরিবার তৈরি করতে পারবেন না। প্রকারের বৃহত্তর পরিবার যা Π , Σ , 0 এবং 1 এর অধীনে বন্ধ থাকে তবে এতে 2 থাকে না তা হ'ল ( - 1 ) -প্রকার (প্রস্তাব)।$\Pi$$\Sigma$$0$$1$$2$$0$$1$$\Pi$$\Sigma$$0$$1$$2$$(-1)$

Comments

ঠিক আছে, উত্তরের জন্য ধন্যবাদ। আমি অনুমান সম্ভবত কাঠামোর মধ্যে কারণে হয় ( λ এক্স । এক্স ) : ( 0 → 0 ) সংজ্ঞা প্রতি সম্ভব হচ্ছে Π । যদিও এই ফাংশনটি λ x । এক্স যা কোনও যুক্তি গ্রহণ করবে না তা বিশ্রী k ${\bf 1}\equiv({\bf 0}\to {\bf 0})$$(\lambda x.x):({\bf 0}\to {\bf 0})$$\Pi$$\lambda x.x$

— নিকোলাজ-কে

$W$

${\bf 0}$${\bf 1}=_U{\bf 2}$

$0$$1 =_U 2$$U$$0$

$0$$\Pi$$\Sigma$$1$$2$$0$$\Pi$