অসীম ডোমেনের সাথে সীমাবদ্ধ ওয়ানওয়ে অনুমতি utation

যাক $\pi \colon \{0,1\}^* \to \{0,1\}^*$ একটি বিন্যাস করা। নোট করুন যে while যখন অসীম ডোমেনে কাজ করে তবে এর বিবরণ সীমাবদ্ধ হতে পারে। বিবরণ দ্বারা , আমি একটি প্রোগ্রাম যা that এর কার্যকারিতা বর্ণনা করে mean (যেমন কলমোগোরভ জটিলতায়)) নীচে ব্যাখ্যা দেখুন। $\pi$ $\pi$

উদাহরণস্বরূপ, নোট ফাংশনটি হ'ল এরকম একটি অনুক্রম:

ফাংশন নয় (এক্স)
    যাক y = x
    I = 1 থেকে | x | এর জন্য
        Y এর ith বিটটি ফ্লিপ করুন
    y ফেরান

$\pi_k(\cdot)$ নীচে সংজ্ঞায়িত , অন্য একটি মামলা:

ফাংশন pi_k (এক্স)
    এক্স + কে (মোড 2 ^ | এক্স |) রিটার্ন করুন

আমার প্রশ্ন হ'ল একটি বিশেষ শ্রেণীর ক্রমবিজ্ঞানের বিষয়ে, যাকে ওয়ান-ওয়ে ক্রমুটিশন বলা হয় । অনানুষ্ঠানিকভাবে বলতে গেলে, এগুলি হ'ল অনুমতিগুলি সহজেই গণনা করা সহজ তবে বিবর্তন করা শক্ত (একটি মেশিনের জন্য)। একতরফা অনুমতিগুলির নিছক অস্তিত্ব হ'ল ক্রিপ্টোগ্রাফি এবং জটিলতা তত্ত্বের দীর্ঘস্থায়ী উন্মুক্ত সমস্যা, তবুও বাকী অংশে, আমরা ধরে নেব যে সেগুলির অস্তিত্ব রয়েছে। $\rm{BPP}$

উদাহরণ হিসাবে, কেউ আরএসএ বিবেচনা করতে পারে : আসুন কে ব্লাম পূর্ণসংখ্যা হিসাবে ধরা যাক এবং । দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়: । $n = pq$ $e = 65537$ $\pi_n(x) = x^e \bmod n$

দ্রষ্টব্য যে আরএসএ সীমাবদ্ধ ডোমেন over উপর সংজ্ঞায়িত । বস্তুত, অসীম ডোমেইন বিন্যাস প্রাপ্ত, এক বিবেচনা করা হয়েছে পরিবার আরএসএ একাধিক বিন্যাসন , যেখানে Blum পূর্ণসংখ্যার অসীম সেট। মনে রাখবেন যে হ'ল পরিবারের বর্ণনা এবং সংজ্ঞা অনুসারে এটি অসীম। $\mathbb{Z}_n$ $\{\pi_n\}_{n\in D}$ $D$ $D$

আমার প্রশ্নটি (একমুখী অনুমানের অস্তিত্ব অনুমান করে):

অসীম ডোমেনের উপরে কি সীমাবদ্ধ-বর্ণিত একমুখী অনুমতি রয়েছে ?

উত্তর ভিন্ন হতে পারে: এটি ইতিবাচক, নেতিবাচক বা উন্মুক্ত হতে পারে (হয় ইতিবাচক হতে পারে , বা নেতিবাচক হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে )।

পটভূমি

প্রশ্ন উঠেছে যখন আমি একটি ASIACRYPT 2009 এর কাগজটি পড়ছিলাম । সেখানে লেখক স্পষ্টতই (এবং কিছু প্রমাণের প্রসঙ্গে) ধরে নিয়েছিলেন যে এই জাতীয় একতরফা অনুমতি রয়েছে exist

সত্যই যদি এই ঘটনাটি ঘটে তবে আমি খুশি হব, যদিও আমি কোনও প্রমাণ পাইনি।

— এমএস দৌস্তি
সূত্র

আমরা কি চূড়ান্তভাবে বর্ণনা করতে পারি না ? কিছু ইনপুট সংখ্যার চেয়ে বৃহত্তর ব্লাম নম্বর সন্ধানের জন্য সীমাবদ্ধ অ্যালগরিদম রয়েছে, সুতরাং কম্পিউটিং উদাহরণস্বরূপ বর্ণিত হতে পারে "ক্ষুদ্রতম ব্লাম সংখ্যা চেয়ে বড় , তারপরে গণনা "। তবুও, এটি আমার কাছে স্পষ্ট নয় যে আপনি এর অসীম সংখ্যার একসাথে করে যে ফাংশনটি পাবেন তা অগত্যা একটি হতে হবে। আপনি ব্যাখ্যা করতে পারেন?

D

$D$

π (x)

$\pi(x)$

b

$b$

x

$x$

π_{b} (x)

$\pi_b(x)$

π_{b}

$\pi_b$

— ক্যারোলিনা সোটিস

@ কারোলিনা: প্রতিক্রিয়াটির জন্য ধন্যবাদ। আমি মনে করি অ্যালগরিদম "ক্ষুদ্রতম ব্লাম নম্বর চেয়ে চেয়ে বড় খুঁজে বের করবে , তারপরে গণনা " অবশ্যই সম্পর্কে অতিরিক্ত তথ্য যেমন এর ফ্যাক্টরাইজেশন প্রদর্শন করবে। অতএব, এই জাতীয় অ্যালগরিদমটি একমুখী অনুমতিগুলি বর্ণনা করতে ব্যবহার করা যায় না । তুমি কি একমত?

b

$b$

x

$x$

π_{b} (x)

$\pi_b(x)$

b

$b$

— এমএস দৌস্তি

ঠিক আছে, আমি মনে করি আমি এটি পেয়েছি - আপনি সহজেই গণনা করার জন্য ফাংশনটির বর্ণনা দিতে সীমাবদ্ধ বর্ণনা চান। আমি মনে করি আমরা এনকোড পারে যেকোনো তথ্যের প্রকাশ ছাড়া অংশ "ক্ষুদ্রতম Blum সংখ্যা ... এটি" (ঠিক জন্য বলপূর্বক অনুসন্ধান বাস্তবায়ন ), কিন্তু তারপর, এটা দক্ষতার গণনীয় হবে না।

b

$b$

b

$b$

— ক্যারোলিনা সোটিস

হতে পারে এই প্রশ্নটি ধারণাগুলি সাহায্য করবে: cstheory.stackexchange.com/questions/1378

— ম্যাট গ্রাফ

@ ম্যাট: ধন্যবাদ এই প্রশ্নে, শর্তটি "গণনা করা সহজ তবে উল্টানো পক্ষে শক্ত" পলি-টাইম বাউন্ডেড মেশিনগুলির ক্ষেত্রে সম্মানজনক নয়।

— এমএস দৌস্তি

কাগজ 1-1 একমুখী কার্যাবলী নির্মাণের উপর কিভাবে কনস্ট্রাক্ট দৈর্ঘ্য অসীম ডোমেইন এবং সসীম বর্ণনা দিয়ে 1-1 ফাংশন সংরক্ষণের জন্য, Goldreich, লেভিন ও নিশান শো দ্বারা। ফাংশনগুলিকে উল্টানোর কঠোরতা জনপ্রিয় অনুমানগুলির উপর ভিত্তি করে, যেমন আরএসএ ইনভার্ট করার কঠোরতা বা স্বতন্ত্র লোগারিদমগুলি সন্ধান করা।

তাদের নির্মাণ একটি পরিবার, রূপান্তর সহজবোধ্য ধারণা একটি রজ্জু হয় , সেটিং দ্বারা একটি একক একমুখী ফাংশন মধ্যে একমুখী ফাংশন যেখানে হল যদৃচ্ছতা সূচক বাছাই করার জন্য ব্যবহার করা এবং করা হয় ইনপুট নির্বাচন করতে ব্যবহৃত যদৃচ্ছতা (INDEX দেওয়া )। $\{f_i\}_i$ $f(r,s) = f_i(x)$ $r$ $i$ $s$ $x$ $i$

উপরের ধারণাটির সাথে সমস্যাটি হ'ল অগত্যা 1-1 নয়। তারা এ সমস্যাটিকে কিছুটা সংশোধন করে এবং তর্ক করে বলেছেন যে পরিবারের নির্দিষ্ট শর্তে , নতুন সত্যই 1-1। তারপরে তারা দেখিয়ে যান যে এই শর্তগুলি আরএসএ / বিযুক্ত-লগ ভিত্তিক ফাংশনগুলির দ্বারা সন্তুষ্ট। $f(r,s)$ $f(r,s)$ $\{f_i\}_i$

— অ্যালন রোজেন
সূত্র

অ্যালন ধন্যবাদ আপনার দুর্দান্ত উত্তরের জন্য। অফ-বিষয়: আমি আপনাকে এখানে দেখে খুব খুশি। আমি আপনার বই & কাগজপত্র ভালবাসেন সমবর্তী শূন্য জ্ঞান !

— এমএস দৌস্তি

থানস, সাদেক। আপনি এটি পছন্দ করেছেন শুনে খুশি :-)

— অ্যালন রোজেন