2-CNF বা 2-SAT- এ স্পষ্টত বৈশিষ্ট্য

কীভাবে কেউ দেখায় যে একটি নির্দিষ্ট সম্পত্তি 2-CNF (2-SAT) এ প্রকাশ করা যায় না? এমন কোনও গেমস রয়েছে, যেমন নুড়ি খেলা? দেখে মনে হচ্ছে ক্লাসিকাল কালো নুড়ি খেলা এবং কালো-সাদা নুড়ি খেলাটি এর জন্য অনুপযুক্ত (তারা পিএসপিএসিই সম্পূর্ণ, হার্টেল এবং পিটাসি অনুসারে, কম্পিউটারের সিয়াম জেএম, ২০১০)।

বা গেম ছাড়া অন্য কোন কৌশল?

সম্পাদনা : আমি এমন বৈশিষ্ট্যগুলির কথা ভাবছিলাম যা কোনও অজানা শিকারীর গণনা (বা কার্ডিনালিটি) জড়িত ( এসও প্রিকেট, যেমন সীমাবদ্ধ মডেল তাত্ত্বিকরা বলবেন)। উদাহরণস্বরূপ, যেমন চক্র বা অপরিচ্ছন্ন ম্যাচিংয়ের মতো। (ক) চক্র : প্রদত্ত গ্রাফ এমন একটি চক্র রয়েছে যে কিছু প্রদত্ত নম্বর ? (খ) মেলা : একটি মেলা এ যেমন যে ? $C$ $G$ $|C| \ge$ $K$ $~$ $M$ $G$ $|M| \ge K$

2-স্যাট গণনা করা যাবে? এটির একটি গণনা প্রক্রিয়া আছে? সন্দেহজনক মনে হয়।

sat lower-bounds combinatorial-game-theory

— সমীর গুপ্ত
সূত্র

আমি বুঝতে পেরেছি যে সীমাবদ্ধ মডেল তত্ত্বে এহরনফিউচ্ট – ফ্রেসস গেম (এফওর জন্য) এবং আজতাই-ফাগিন গেম (একজাতীয় এসও এর জন্য) রয়েছে। তবে তারা এখানে যথেষ্ট কিনা তা নিশ্চিত নয়। এছাড়াও এফএমটি-তে গেমগুলি অর্ডারযুক্ত কাঠামোগুলির সাথে জটিল হয়ে যায়, তাই না?

— সমীর গুপ্ত

@ মারজিও কিছু প্রমাণের মতো বলে মনে হচ্ছে যে সমস্ত বুলিয়ান ফাংশন 2CNF- তে প্রকাশযোগ্য নয় কারণ আপনি এই প্রশ্নের উত্তরটি দেবেন (আসলে এটি সম্পর্কে নিশ্চিত নয়, এটিকে সুস্পষ্ট হিসাবে দেখবেন না)। কী প্রমাণ? এটি কোথাও প্রকাশিত হয়?

— vzn

@vzn: একটি তুচ্ছ বুলিয়ান ফাংশন যা 2-সিএনএফ-তে প্রকাশযোগ্য নয়:

(x_{1} \lor x_{2} \lor x_{3})

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$

— মারজিও ডি বিয়াসি

@ সমীরগুপ্ত: সংস্কারের পরে প্রশ্নটি কঠিন হয়ে পড়ে :-); প্রকৃতপক্ষে

, যেখানে

দুটি ভেরিয়েবল সঙ্গে ক্লজ সীমাবদ্ধ (এসও-Krom) যেমনটি উপরে স্ট্রাকচার আদেশ NL, যখন অস্তিত্ববাদের তাই যেমনটি দ্বারা NP। স্পষ্টতই FO 2-SAT এর মধ্যে সীমাবদ্ধ গণনা করা যায় না (এবং এহরনফুচ্ট – ফ্রেসï গেম বা কমপ্যাক্টনেস কৌশলগুলি যথেষ্ট পরিমাণে যথেষ্ট, কারণ আপনি এগুলি ব্যবহার করতে পারেন তা প্রমাণ করার জন্য যে প্যারিটি FO নির্ধারণযোগ্য নয়)।

\exists P_{1} . . . \exists P_{n} \forall \bar{z} φ (P_{1}, . . ., P_{n}, \bar{z})

$\exists P_1...\exists P_n \forall \bar{z} \varphi( P_1,...,P_n, \bar{z})$

φ

$\varphi$

— মারজিও ডি বায়াসি

ঠিক আছে. কিছু সাধারণ তত্ত্ব আছে বলে মনে হয় যে

এস্যাট ধ্রুবক

জন্য সমস্ত বুলিয়ান ফাংশন প্রকাশ করতে পারে না । তত্ত্বটি কী? এই প্রশ্নটি বিশেষ

সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করে । দ্রষ্টব্য যে সিসিটিন রূপান্তর মাধ্যমে

- এস্যাটকে 3-স্যাট-তে "হ্রাস" করার একটি ধারণা রয়েছে । মনোোটোন সার্কিট লোয়ার বাউন্ডস প্রুফ (রাজবরোভ) এ একইরকম ধারণাটি দেখা গেছে seen

k

$k$

k

$k$

k = 2

$k=2$

n

$n$

— vzn

উত্তর:

বিটভেেক্টরগুলির একটি পরিবার হ'ল 2-স্যাট সমস্যার সমাধানের শ্রেণি যদি হয় এবং কেবল যদি এর মাঝারি সম্পত্তি থাকে: আপনি যদি কোনও তিনটি সমাধানে বিটওয়াইজ সংখ্যাগরিষ্ঠ ফাংশনটি প্রয়োগ করেন তবে আপনি অন্য সমাধান পান। যেমন https://en.wikedia.org/wiki/Median_ographic#2- সন্তোষজনকতা এবং এর উল্লেখগুলি দেখুন। সুতরাং যদি আপনি তিনটি সমাধান খুঁজে পেতে পারেন যার জন্য এটি সত্য নয় তবে আপনি জানেন যে এটি 2-সিএনএফ-তে প্রকাশ করা যায় না।

— ডেভিড এপস্টিন
সূত্র

ডেভিড, ধন্যবাদ, এটি সন্ধান করবে। @vzn - ডেভিডের উত্তর কি 2 দিনের আগে আপনি চ্যাট সাইটে মন্তব্য করেছিলেন, যে বিট ভেক্টরগুলির সমস্ত সেটগুলির জন্য 3 এসএটি সূত্র বিদ্যমান এবং বিট-ভেক্টর সেটগুলি সম্পর্কে 2 স্যাট সূত্রের ফলাফল অনুসন্ধান করছে তার সাথে কি সম্পর্কিত?

— সমীর গুপ্ত

ডেভিড, ইউভাল - কেউ যদি একই ভেরিয়েবলের সেট ব্যবহার করে তবে অবশ্যই আপনার প্রমাণগুলি কাজ করবে। তবে কী ব্যবহৃত যদি ভেরিয়েবলের সেটটি সম্পূর্ণ আলাদা হতে পারে? মার্টিন সিমুরের উত্তরটি এখানে দেখুন: cstheory.stackexchange.com/questions/200/… - কে-ক্লিক বা কে-ম্যাচিং থেকে 2SAT- তে কোনও সমান-সন্তোষজনক হ্রাস (পছন্দমত লগস্পেস) নেই তা দেখানোর জন্য আলাদা প্রমাণের প্রয়োজন হবে । থটস?

— সমীর গুপ্ত

সহায়ক ভেরিয়েবলগুলি যুক্ত করা এবং তারপরে তাদের প্রজেক্ট করা কোনও উপকারে আসবে না, কারণ যদি ভেরিয়েবলগুলির বর্ধিত সিস্টেমের জন্য মাঝারি সম্পত্তিটি সত্য হয় তবে এটি প্রক্ষেপণে এখনও সত্য।

— ডেভিড এপস্টিন

এটা বলতে আরেকটা যে-উপায়ে মধ্যমা (অথবা সংখ্যাগরিষ্ঠ) একটি হল পলিমরফিজম 2SAT সীমাবদ্ধতার জন্য। প্রকৃতপক্ষে, এটি জানা যায় যে কোনও সিএসপি (এমনকি নন-বুলিয়ান) পলিমারফিজম হিসাবে সংখ্যাগরিষ্ঠ রয়েছে

(ডালমাউ-ক্রোখিন '08)।

N L \subseteq P

$\mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$

— অর্ণব

যাক উপর একটি সম্পত্তি হতে ভেরিয়েবল। ধরুন একটি 2CNF সূত্র নেই যেমন যে $P(x_1,\ldots,x_n)$ $n$ $\varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m)$ আমরা দাবি করি যে 2CNF সূত্রের সমতুল্য কেবলমাত্র জড়িত। এই প্রমাণ করার জন্য, এটা নিষ্কাশন কিভাবে দেখানোর জন্য যথেষ্ট । লিখুন

P (x_{1}, \dots, x_{n}) \Leftrightarrow \exists y_{1} \dots \exists y_{m} φ (x_{1}, \dots, x_{n}, y_{1}, \dots, y_{m}) .

$P(x_1,\ldots,x_n) \Leftrightarrow \exists y_1 \cdots \exists y_m \varphi(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_m).$

φ

$\varphi$

ψ

$\psi$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\ldots,x_n$

y_{m}

$y_m$

যেখানে

লিটারেল, আর

সঙ্গে যুক্ত নয়

। সূত্র

সমতূল্য

φ = χ \land ⋀_{k = 1}^{s} (y_{m} \lor U_{k}) \land ⋀_{ℓ = 1}^{t} (\bar{y_{m}} \lor V_{ℓ}),

$\varphi = \chi \land \bigwedge_{k=1}^s (y_m \lor U_k) \land \bigwedge_{\ell=1}^t (\overline{y_m} \lor V_\ell),$

U_{k}, V_{ℓ}

$U_k,V_\ell$

χ

$\chi$

y_{m}

$y_m$

φ

$\varphi$

যখন দাবিটি প্রমাণিত করে যখন

ইউনিট ধারাতে উপস্থিত না হয়; যদি এটি হয়, আমরা সরাসরি এটি নির্মূল করতে পারি।

χ \land (\bar{y_{m}} \Rightarrow ⋀_{k = 1}^{s} U_{k}) \land (y_{m} \Rightarrow ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land (⋀_{k = 1}^{s} U_{k} \lor ⋀_{ℓ = 1}^{t} V_{ℓ}) ⟺ χ \land ⋀_{k = 1}^{s} ⋀_{ℓ = 1}^{t} (U_{k} \lor V_{ℓ})

$\chi \land (\overline{y_m} \Rightarrow \bigwedge_{k=1}^s U_k) \land (y_m \Rightarrow \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land (\bigwedge_{k=1}^s U_k \lor \bigwedge_{\ell=1}^t V_\ell) \\ \Longleftrightarrow \\ \chi \land \bigwedge_{k=1}^s \bigwedge_{\ell=1}^t (U_k \lor V_\ell)$

y_{m}

$y_m$

$P(x_1,\ldots,x_n)$ $\psi(x_1,\ldots,x_n)$ $P$ $P$ $K$ $K$ $n$

— যুবাল ফিল্ম
সূত্র

y_{i}

$y_i$

ψ

$\psi$

x_{1}

$x_1$

x_{2}

$x_2$

\dots

$\cdots$

x_{n}

$x_n$

ϕ_{1}

$\phi_1$

ϕ_{2}

$\phi_2$

ϕ_{2}

$\phi_2$

y_{i}

$y_i$

y_{i}

$y_i$

$L$ $-$ $L$

(হ্যাঁ, আমি জানি যে সংযোজন, গুণ এবং গণনা গণনা ফাংশন, তবে তাদের তাদের নিজ নিজ সমস্যার সিদ্ধান্ত সংস্করণে রূপান্তর করা সহজ))

$L \subseteq NL$ $NL$ $AC^0$ $AC^0$

(গ) সুতরাং গণনা করার জন্য , যদিও আপনি ২-সিএনএফ-তে সমতা প্রকাশ করতে অক্ষম হতে পারেন, (বি) এ বর্ণিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করে, আপনি একটি সামঞ্জস্যযোগ্য 2-সিএনএফ এক্সপ্রেশন পেতে পারেন।

হ্যাঁ, 2-স্যাট গণনা করতে পারে ।

$NL$ $|M|$ $NL$

— মার্টিন সিমুর
সূত্র

পুনরায় (সি), আপনি যদি আমার উত্তর বিশ্বাস করেন তবে একটি সমতুল্য 2-সিএনএফ এক্সপ্রেশনটিকে বোনাই ফাইড সমতুল্য 2-সিএনএফ এক্সপ্রেশনে রূপান্তর করা যেতে পারে।

— যুবাল ফিল্মাস

-

$-$

$~$

আপনি আমার উত্তরটি পড়তে পারেন এবং নিজের জন্য দেখতে পারেন। মনে রাখবেন যে এই ক্ষেত্রে কোনও সময় / জায়গার সীমা নেই।

— যুবাল ফিল্মাস

L

$L$

{A C}^{0}

$\mathrm{AC}^0$

f

$f$

x \in L

$x\in L$

f (x)

$f(x)$

ϕ

$\phi$

x_{i}

$x_i$

ϕ

$\phi$

-

$-$

x_{i}

$x_i$

$~$