সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য প্রমাণের সমতা?

Question

আমি জানতে চাই যে একই প্রস্তাবের দুটি সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য প্রমাণের সমতার ডিসিডেবিলিটি ইন্ডাকটিভ কনস্ট্রাকশনস ক্যালকুলাসে কোনও অতিরিক্ত অক্ষর ছাড়া প্রমাণ করা যায় কিনা।

বিশেষত, আমি জানতে চাই যে এটি কোকের কোনও অতিরিক্ত অ্যাকিমিয়াম ছাড়াই সত্য if

$$\forall P: \texttt{Prop}, P \vee \neg P \Rightarrow (\forall p_1 : P, \forall p_2: P, \{p_1 = p_2\} \vee \{p_1 \neq p_2\})$$

ধন্যবাদ!

ত্রুটিটি সংশোধন করার জন্য সম্পাদিত: Propআরও সুস্পষ্ট করতে 2 সম্পাদনা করুন

Comments

আপনি যা লিখেছেন তা বোধগম্য নয়। যদি$P$ তখন একটি প্রস্তাব $p : P$ এটি একটি প্রমাণ, এবং আপনি গঠন করতে পারবেন না $p \lor \lnot p$। আপনি কি আপনার হাইপোথিসিসটি বোঝাতে চেয়েছিলেন?$P \lor \lnot P$ পরিবর্তে $p \lor \lnot p$যেমন, "$P$সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য "?

— আন্দ্রেজ বাউর

দুঃখিত, আমি অনুমানটি বোঝাতে চেয়েছিলাম "$P$ সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য ", অর্থাৎ $P \vee \neg P$

— আদম বারাক

গ্রহণ করা $P$ হতে $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$, এবং বিবৃতিটি মিথ্যা, যেহেতু আপনি সহজেই বসবাস করতে পারেন $(\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \vee \lnot(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$ সঙ্গে $\mathsf{inl}(\lambda x.\;x)$, এবং ফাংশন সমতুল্যতা অবশ্যই স্পষ্টত অনির্বচনীয়। অন্য কোন শর্ত আছে$P$আপনার মনে আছে?

— নীল কৃষ্ণস্বামী

পি একটি প্রস্তাব করা উচিত। (প্রকৃতপক্ষে, আমার বিকাশে, আমি ইতিমধ্যে কার্যকরী এক্সটেনসিলিটি ব্যবহার করি, যাতে বিবৃতিটি এখনও আমার পক্ষে ধরে রাখতে পারে তবে আসুন আপাতত কার্যকরী / প্রস্তাবিত এক্সটেনশিলিটি উপেক্ষা করুন)।

— আদম বারাক

ফাংশনটির সম্প্রসারণযোগ্যতা বোঝায় না যে ফাংশনটির সমতাটি নির্ধারণযোগ্য ... এবং নীলের উত্তরটি সাধারণ ক্ষেত্রে নিষ্পত্তি করে: পি যদি কোনও (আবাসিত) অসীম ধরণের হয় (যার মধ্যে কিছু ধরণের প্রপোজেশন অন্তর্ভুক্ত থাকে তবে অতিরিক্ত অক্ষগুলি অন্তর্ভুক্ত না করা হয়), তবে জড়িত ব্যর্থতা জন্য রাখা $P\rightarrow P$।

— કોડি

Answer 1

নীল যেমনটি নির্দেশ করে যে আপনি যদি "প্রস্তাবগুলি প্রকারভেদগুলি" এর অধীনে কাজ করেন তবে আপনি সহজেই এমন একটি প্রকারের সাথে আসতে পারেন যার সাম্যতা নির্ধারণযোগ্য হিসাবে দেখানো যায় না (তবে এটি অবশ্যই ধরণের যে সামঞ্জস্যপূর্ণ যে সমস্ত ধরণের সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য সাম্য আছে) যেমন, $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$।

যদি আমরা "প্রস্তাব" আরও সীমাবদ্ধ ধরণের ধরণের হিসাবে বুঝতে পারি, তবে উত্তরটি আমাদের সুনির্দিষ্টভাবে কী বোঝাতে চাইছে তার উপর নির্ভর করে। আপনি যদি কোনও Propধরণের সাথে নির্মাণের ক্যালকুলাসে কাজ করে থাকেন তবে আপনি এখনও সিদ্ধান্ত নিতে পারবেন না যে সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য প্রস্তাবগুলি ডেসেজেবল সমতা রয়েছে। এটি এমন কারণ কারণ Propপ্রুফ-প্রাসঙ্গিক ধরণের মহাবিশ্বের সাথে সমান করার জন্য এটি নির্মাণের ক্যালকুলাসে সামঞ্জস্যপূর্ণ , সুতরাং আপনারা সকলেই জানেন Propযে এর মধ্যে এমন কিছু থাকতে পারে$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$। এটি আপনাকে বোঝায় যে কোকের ধারণার জন্য আপনার উপপাদ্যটি প্রমাণ করতে পারবেন না Prop।

তবে যে কোনও ক্ষেত্রে, সেরা উত্তরটি হোমোপি টাইপ তত্ত্ব থেকে আসে। একটি প্রস্তাব একটি প্রকার হয়$P$ যা সন্তুষ্ট

$$\forall x, y : P \,.\, x = y.$$ এটি হ'ল, একটি প্রস্তাবের সর্বাধিক একটি উপাদান থাকে (এটি যদি প্রুফ-অপ্রাসঙ্গিক সত্যের মূল্য হিসাবে বোঝা উচিত তবে তা হওয়া উচিত)। এই ক্ষেত্রে উত্তরটি অবশ্যই অবশ্যই ইতিবাচক কারণ প্রস্তাবের সংজ্ঞাটি অবিলম্বে বোঝায় যে এর সমতাটি নির্ধারিত।

"প্রস্তাব" দ্বারা আপনি কী বোঝাতে চেয়েছেন তা জানতে আগ্রহী।

Comments

আপনি কিভাবে হবে $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ভিতরে Prop? ধন্যবাদ!

— আদম বারাক

নির্মাণের ক্যালকুলাসে এমন কিছু নেই যা প্রতিরোধ করে $\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}$, আছে?

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

এখানে বিভ্রান্তি "কোক সিস্টেম" বলতে কী বোঝায় তা নিয়ে। যদি এটি "নির্মাণের ক্যালকুলাস" হয়, তবে$\mathtt{Prop=Set=Type}$। যদি আরও সঠিক "1 টি ইমপ্রেডিকটিভ ইউনিভার্স সহ ইন্ডাকটিভ কনস্ট্রাকশনের ক্যালকুলাস" হয় তবে$\mathtt{Type}$মহাবিশ্ব স্তরের টিকা ছাড়া অর্থহীন। যতদুর আমি জানি,$\mathtt{Type_1=Prop}$এটি একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ অক্ষ (যদিও সূক্ষ্ম কারণে EM এর সাথে বেমানান)।

— কোডি

অবশ্যই, আমাদের একটি সূচক পরীক্ষা করতে হবে $\mathtt{Type}$। @ অ্যাডামবারকের বোঝার মূল বিষয়টি হ'ল: কারণ$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$ কক-এ কোনও দ্বন্দ্ব বাড়ে না, আমরা কোকে কিছু করতে পারি না তা দেখিয়ে বোঝাতে পারি যে এটি বৈপরীত্যের দিকে নিয়ে যায় যদি আমাদেরও থাকে $\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$।

— আন্দ্রেজ বাউর

এখনও পুরোপুরি ঠিক নয়, কারণ কক-তে আমরা যে কার্যকরী সমতা অনস্বীকার্য তা দেখাতে পারি না। বিবৃতি "সমতা উপর$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য "মার্টিন এসকার্ডো একটি গঠনমূলক ট্যাবু বলেছিলেন: এটি কক-তে প্রমাণিত বা অস্বীকার করা যায় না। সুতরাং সঠিক যুক্তিটি হ'ল: $\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$ তারপর $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ একটি প্রস্তাব, এবং বিবৃতি "সমতা চালু $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ এটি সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য নয় "(যেমন আপনি বলেছেন: এবং বিবৃতি" সমতা চালু রয়েছে) $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$এটি নির্ধারণযোগ্য "মিথ্যা)"

— আন্দ্রেজ বাউর