এটি সমস্যার জটিলতার কোনও উত্তর নয়, তবে এটি কমপক্ষে দেখায় যে জটিলতাটি অযৌক্তিক হওয়ার সুযোগ রয়েছে: এটি একটি ঘন গ্রাফের উদাহরণ যা পথ এবং নখগুলিতে বিভক্ত হতে পারে না।
(উত্স: uci.edu )
এর তিনটি লবগুলির প্রতিটিটির মধ্যেই কোনও পাথ এবং নখায় বিভাজন কেবল সাতটি প্রান্তের মধ্যে ছয়টি ব্যবহার করতে পারে। বাকি ছয়টি কেন্দ্রীয় প্রান্ত প্রতিটি প্রান্তকে বিভাজনযুক্ত একটি নখর আকারে গ্রহণ করে, যা পাথ এবং নখায় ভাগ করা যায় না।
ইটিএ : উপরের দেখানো গ্রাফটি নিখুঁত মিল না রেখে কিউবিক গ্রাফের উদাহরণ হিসাবে বেশি বিখ্যাত। তবে নিখুঁত মিলের সাথে প্রতিটি ঘন গ্রাফের পাথগুলি পচে যায় (এমনকি কোনও নখর ব্যবহার করে না)। কনিগের উপপাদ্য অনুসারে এটিতে সমস্ত ঘন দ্বিদলীয় গ্রাফ রয়েছে এবং পিটারসেনের উপপাদ্যটিতে এটিতে সমস্ত ব্রিজহীন ঘন গ্রাফ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, মন্তব্যে জোসেফ মালকেভিচের একটি প্রশ্নের উত্তর দেওয়া হয়েছে।
প্রমাণটি খুব সহজ: যদি এম কিউবিক গ্রাফের মধ্যে একটি নিখুঁত মিল হয় তবে এম-এর অপসারণটি একটি 2-নিয়মিত গ্রাফ ছেড়ে যায়, এটি চক্রের একটি পৃথক ইউনিয়ন। প্রতিটি চক্রকে নির্বিচারে ওরিয়েন্ট্ট করুন এবং এম এর প্রতিটি প্রান্ত uvকে চক্রের প্রান্তগুলিতে যুক্ত করুন যা ইউ এবং ভি অনুসরণ করে তাদের চক্রের অরিয়েন্টেশনগুলিতে।
অন্য দিকে, যদি পাথগুলিতে একটি ক্ষয় উপস্থিত থাকে, তবে সেখানে একটি নিখুঁত মিল রয়েছে: প্রতিটি পাথের মাঝের প্রান্তটি অবশ্যই একটি মিল হতে পারে কারণ কোনও দুটি মাঝারি প্রান্ত একটি ডিগ্রি-থ্রি শীর্ষটি ভাগ করতে পারে না।
(অস্বীকৃতি: এই ধারণাটি ইতিমধ্যে কারডেন টমাসসেনের জিডি ২০১০-তে আমন্ত্রিত বক্তৃতায় উপস্থিত থাকতে পারে, যা এই ধরণের গ্রাফ পচন সমস্যা সম্পর্কে ছিল।)
(অস্বীকৃতি ছাড়াও (অ্যান্টনি ল্যাবারে লিখেছেন): পার্টিশনের সাথে পার্টিশনের সাথে নিখুঁত মিলের পথে যাওয়ার পথে "ওরিয়েন্টেশন আইডিয়া" জ্যাঞ্জার, রিইনেল্ট এবং পুললেব্ল্যাঙ্ক এই গবেষণাপত্রে প্রকাশ করেছেন , যিনি এটিকে ডাব্লুএইচ কানিংহামকে দায়ী করেছেন।)