মোড_এম গেটগুলি আকর্ষণীয় কেন?

39

রায়ান উইলিয়ামস সবেমাত্র দুদকের উপর তার নিম্ন সীমানা পোস্ট করেছেন , এমন সমস্যা শ্রেণীর যেগুলি অসীম ফ্যান-ইন এবং ফটকগুলি সহ অবিচ্ছিন্ন গভীরতার সার্কিট রয়েছে এবং সমস্ত সম্ভাব্য মিটারের জন্য অ্যান্ড, ও, না এবং এমওডি_এম রয়েছে।

এমওডি_এম গেটস সম্পর্কে এত বিশেষ কী?

তারা যেকোন রিং Z_m এর উপরে পাটিগণিত অনুকরণ করতে দেয়।
রায়ান এর ফলাফলের আগে, এমওডি_এম গেটগুলি মিশ্রণে নিক্ষেপ করে প্রথম শ্রেণি দেওয়া হয়েছিল যার জন্য পরিচিত নিম্ন সীমাটি কাজ করে না।

এমওডি_এম গেটগুলি অধ্যয়ন করার জন্য অন্য কোনও প্রাকৃতিক কারণ আছে?

— ডানা মোশকভিত্জ
সূত্র

39

$ACC^0$ একটি প্রাকৃতিক জটিলতা শ্রেণি।

1) ব্যারিংটন দেখিয়েছেন যে অ দ্রবণীয় মনোয়েডগুলির তুলনায় $NC^1$ অধিবেশনযোগ্য যখন মনোনিবেশযোগ্য মনোয়েডস $ACC^0$ ।

2) সম্প্রতি, হ্যানসেন এবং কৌকি একটি সুন্দর ফলাফল প্রমাণ করেছেন যে পলি-আকারের ধ্রুবক প্রস্থের প্ল্যানার শাখার প্রোগ্রামগুলি হ'ল $ACC^0$ । পরিকল্পনার শর্ত ছাড়াই আমরা অবশ্যই ব্যারিংটনের ফলাফল এর বৈশিষ্ট্য পেয়েছি $NC^1$ ।

সুতরাং $ACC^0$ এবং মধ্যে পার্থক্যটি $NC^1$ একদিকে গ্রুপ-তাত্ত্বিক এবং অন্যদিকে টপোলজিক্যাল।

$S_4$

পরিকল্পনার ভিত্তিতে, কেউ বিশ্বাস করতে চায় যে পরিকল্পনাগুলি তথ্যের প্রবাহে বিধিনিষেধ / বাধা সৃষ্টি করতে পারে। এটি সর্বদা সত্য নয়: উদাহরণস্বরূপ, প্ল্যানার 3 এসএটির বিভিন্নতা এনপি-সম্পূর্ণ হিসাবে পরিচিত। যাইহোক, ছোট শ্রেণিতে, এই বিধিনিষেধগুলি অধিকতর "সম্ভবত" ধরে রাখা।

অনুরূপ শিরাতে, উইগডারসন বিচ্ছিন্নতা লেমা ব্যবহার করে এনএল / পলি = ইউএল / পলি প্রদর্শন করেছিলেন। আমরা কীভাবে এনএল = ইউএল পেতে স্বেচ্ছাসেবক ডিএজিগুলির চেয়ে পৃথকীকরণের লিমাটিকে অবরুদ্ধ করতে পারি তা আমরা জানি না, তবে পরিকল্পনাকারী ডিএজিগুলি কীভাবে তা করতে হয় তা আমরা জানি ।

— ভি বিনয়
সূত্র

1

N C^{1}

$NC^1$

A C C

$ACC$

7

A C^{0}

$AC^0$

A C^{0}

$AC^0$

@ ভিনয়ে: আপনি কি নিশ্চিত যে উইগডারসনের কারণে এনএল / পলি = ইউএল / পলির ফলাফল হয়েছে?

— দাই লে

17

$\bmod m$ $m$ $\bmod p$

ধ্রুব গভীরতা সার্কিট যে গঠিত বর্গ বিবেচনা শুধুমাত্র এর পাতার এ দ্বার ও ইনপুট এবং ধ্রুবক। তারপরে, কেউ সহজেই দেখাতে পারে যে ওআর ক্রিয়াটি (উদাহরণস্বরূপ) সার্কিটের আকার নির্বিশেষে এ জাতীয় সার্কিটগুলির দ্বারা গণনা করা যায় না। (এটি কারণ এই জাতীয় কোনও সার্কিট একটি নিম্ন ডিগ্রি বহুপদীকে , এবং OR এর ডিগ্রি চেয়ে বেশি গণনা করে )। $\bmod p$ $\mathbb{F}_p$ $n$

তবে, যদি আমরা কেবলমাত্র গেটগুলি সার্কিটগুলি বিবেচনা করি যেখানে এর কমপক্ষে দুটি স্বতন্ত্র প্রধান উপাদান থাকে তবে ওআর ফাংশনের জন্য গভীরতা সার্কিট ( আকারের) থাকে। $\bmod m$ $m$ $2$

আর ফলাফলের আগে, আমি অনুমান করছিলাম যে ক্ষুদ্রতম শ্রেণীর জন্য আমাদের কোনও শালীন নিম্ন সীমানা নেই। $AC^0[\bmod 6]$

— রামপ্রসাদ
সূত্র

1

শেষ বাক্যে সংযোজন: এটি ইতিমধ্যে জানা গিয়েছিল যে , ও, না, এবং গেটগুলি প্রাইমস ব্যবহার করে ধ্রুবক-গভীরতার সার্কিটের সাথে গণনা করার জন্য একটি সংখ্যক গেটের প্রয়োজন। (তুলনামূলকভাবে প্রাইম কম্পোজিটগুলিতেও একটি এক্সটেনশন রয়েছে)) যেহেতু 6 দুটি স্বতন্ত্র প্রাইমগুলির মধ্যে সর্বনিম্ন সংমিশ্রণ, তাই হ'ল "সবচেয়ে সহজ" -গণনা ফাংশন যার জন্য কোনও লোয়ার বাউন্ডের জন্য পরিচিত ছিল না।

M O D_{q}

$MOD_q$

M O D_{p}

$MOD_p$

p \neq q

$p \ne q$

M O D_{6}

$MOD_6$

— ড্যানিয়েল আপন

14

আপনার দুটি পয়েন্ট কেবল ব্যাখ্যা করতে:

আমরা যদি গণনা বোঝার ব্যবসায়ের সাথে থাকি, মডিউলার গণনা আমাদের বোঝার অন্যতম অগ্রভাগ। মড্যুলার গণনা গণনার একটি সর্বাধিক সহজ এবং প্রাকৃতিক ঘটনা, তবুও আমরা এ সম্পর্কে খুব কমই বুঝতে পারি বলে মনে হয়। আমরা এই সম্ভাবনাটি উড়িয়ে দিতে পারি না যে কেবলমাত্র Mod6 গেট সহ বহুভুজ আকারের গভীরতা 3 সার্কিট এনপি-র প্রতিটি ফাংশন গণনা করতে পারে। তবে এটি অনুমান করা হয় যে এই জাতীয় সার্কিটগুলি কেবলমাত্র বড় আকারের আকারের ফাংশনগুলি গণনা করতে পারে এবং তাই এএনএডি এর মতো খুব সাধারণ ফাংশন গণনা করতে পারে না। উপরের গণ্ডিতে পরিস্থিতি একই রকম, আমাদের কোনও তুচ্ছ ফলাফল নেই results

খালি গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে এই প্রশ্নগুলি খুব আকর্ষণীয় কারণ তারা জেড_এম এর মাধ্যমে বহুভুজ এবং ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে খুব প্রাকৃতিক প্রশ্নের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে লিঙ্কযুক্ত। একটি উদাহরণ দেওয়ার জন্য, আমাদের কাছে Z_6 এর চেয়ে nxn কোডিয়াগোনাল ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্কের জন্য ভাল নিম্ন সীমানা নেই। একটি কোডিয়োনোনাল ম্যাট্রিক্সে 0 টি সেঙ্কোনাল এবং নোনজারোগুলি তির্যক বন্ধ রয়েছে।

— Aada
সূত্র

"প্রাইম বনাম কম্পোজিট মডুলো" এর প্রতি আগ্রহী তাদের ভিন্স গ্রোলমুজের হোম পেজটি পরীক্ষা করা উচিত: grolmusz.pitgroup.org

— স্ট্যাসিস