একটি গাণিতিক সার্কিটের বহুমাত্রিক মূল্যায়ন?

যাক একটি ক্ষেত্রের উপর কোফিসিয়েন্টস সঙ্গে একটি মাল্টি-variate বহুপদী হতে । এর multilinearization , দ্বারা প্রকাশ , বারবার প্রতিস্থাপন প্রতিটি ফল সঙ্গে দ্বারা । ফলাফলটি অবশ্যই বহুমাত্রিক বহুবর্ষীয় is $p(x_1,\ldots,x_n)$ $F$ $p$ $\hat{p}$ $x_i^d$ $d > 1$ $x_i$

নিম্নলিখিত সমস্যা বিবেচনা করুন: একটি গাণিতিক বর্তনী দেওয়া উপর এবং প্রদত্ত ক্ষেত্র উপাদান , কম্পিউট । $C(x_1,\ldots,x_n)$ $F$ $a_1,\ldots,a_n$ $\hat{C}(a_1,\ldots,a_n)$

প্রশ্ন: ধরে নেওয়া ক্ষেত্র-পাটিগণিত ইউনিট টাইমে করা যেতে পারে, এর জন্য কি বহু-কালীন অ্যালগরিদম আছে? পরে যুক্ত করা হয়েছে: আমি সেই বিশেষ ক্ষেত্রেও আগ্রহী যেখানে আসলে একটি সূত্র (ফ্যান-আউট একটি সার্কিট )। $C$ $1$

cc.complexity-theory polynomials

— slimton
সূত্র

কেন এটি একটি ক্লোজড সার্কিটের আউটপুট গণনার সমান হবে? সমস্যা আমি সম্মুখীন হচ্ছি বর্তনী একটি ইনপুট থেকে টুকরো করা পাথ থাকতে পারে যে

বিভিন্ন অভ্যন্তরীণ গুণ নোড, এবং যারা অভ্যন্তরীণ গুণ নোড প্রতিটি এক মূল্যায়নের প্রতিস্থাপন করতে হবে

দ্বারা

এক পথে এবং দ্বারা

অন্য । পাথের ক্ষতিকারক সংখ্যার একটি সার্কিটে দেখে মনে হচ্ছে যত্ন নেওয়ার মতো ক্ষতিকারক সংখ্যা রয়েছে।

x_{i}

$x_i$

x_{i}

$x_i$

a_{i}

$a_i$

1

$1$

— স্লিমটন

@ কাভেঃ আমি পেলাম না। সার্কিটটি দেখুন

। আপনি শুধু ইনপুট নোড প্রতিস্থাপন যদি

মান একটি নোড দ্বারা

এবং স্ট্যান্ডার্ড ভাবে মূল্যায়ন আপনি ফিরে শেষ পর্যন্ত

পরিবর্তে

। গণনার মডেল: ট্যুরিং মেশিনে কেবলমাত্র সাধারণ বহুপদী সময়। ক্ষেত্রটি

হিসাবে সংক্ষিপ্ততার জন্য ভাবেন , যদি আপনি চান।

(x * x)

$(x * x)$

x

$x$

a

$a$

a^{2}

$a^2$

a

$a$

Z / 3 Z

$Z/3Z$

— স্লিমটন

@ কাভাহ: এই ধরণের অ্যালগোরিদম আপনার বক্তব্যকে কীভাবে বোঝায় তা আমি বুঝতে পারি না, তবে এটি পাটিগণিত সার্কিট জটিলতায় একটি সাধারণ অনুমানের বিরোধিতা করে: স্থায়ী কোন পলি-আকারের গাণিতিক সার্কিট (এফ 3 ব্যতীত অন্য ক্ষেত্রগুলিতে) নেই। বহুপদী

। এই বহুভুজের মাল্টলাইনারি অংশ

বৈশিষ্ট্যটি রয়েছে যে এর সর্বোচ্চ ডিগ্রি (

) অংশটি কেবল

p = \prod_{i} (\sum_{j} x_{i j} y_{j})

$p=\prod_i(\sum_j x_{ij} y_j)$

q

$q$

= 2 n

$=2n$

। যদি একটি ছোট পাটিগণিত সার্কিট কম্পিউটিং

তবে যে কেউ একটি ছোট পাটিগণিত সার্কিট কম্পিউটিং

আছে তা দেখাতে পারে।

r = y_{1} y_{2} \dots y_{n} P e r (x_{11}, \dots, x_{n n})

$r = y_1y_2\cdots y_n Per(x_{11},\ldots,x_{nn})$

q

$q$

r

$r$

— শ্রীকান্ত

@ শ্রীকান্ত: আমার উত্তর পোস্ট করার আগে আমি আপনার মন্তব্যটি দেখিনি (যা আপনি আপনার মন্তব্যে যে একই নির্মাণ করেছেন) আমি তখন থেকে আমার উত্তরটি মুছে ফেলেছি, এবং আপনার উত্তর হিসাবে আপনার মন্তব্য পোস্ট করা উচিত।

— জোশুয়া গ্রাচো

@ জোশুয়া: কাভের নির্মাণ কেন কাজ করছে তা আমি বুঝতে পারছি না বলে আমি উত্তর হিসাবে আমার মন্তব্য যুক্ত করি নি। আমি দেখতে পেয়েছি যে পাটিগণিত সার্কিট এমন একটি বহুবচনকে গণনা করে যা সমস্ত ইনপুটগুলিতে মাল্টলাইনারিকরণের সাথে একমত হয় তবে আমি নিশ্চিত নই যে এটি প্রদত্ত বহুবর্ষের আনুষ্ঠানিকভাবে বহুভাষিকাকে গণনা করে (কাভেহের উত্তরের পরে আমার মন্তব্য দেখুন)। আমার নির্মাণ (এবং আপনার) ধরে নিচ্ছে যে বহুমাত্রিকাকে আনুষ্ঠানিকভাবে গণনা করা হয়েছে।

— শ্রীকান্ত

উত্তর:

ক্ষেত্রে ক্ষেত্র কমপক্ষে আকারের ক্ষেত্রে , আমি মনে করি এই সমস্যাটি শক্ত। আরও সুনির্দিষ্টভাবে, আমি মনে করি যে উপরেরগুলিতে যদি এই বড় জন্য দক্ষতার সাথে সমাধান করা যায় তবে সিএনএফ-স্যাটের দক্ষ র্যান্ডমাইজড আলগোরিদিম রয়েছে। বলুন আমাদের একটি সিএনএফ সূত্র দেওয়া হয়েছে । এক সহজে একটি গাণিতিক বর্তনী সঙ্গে আসা পর্যন্ত করতে পারেন যে `arithmetization '' নির্ণয় এর , যেখানে বহুপদী সূত্র সঙ্গে একমত উপর - ইনপুট। Multilinearization বিবেচনা এর । নোট করুন যে $F$ $2n$ $F$ $\varphi$ $C$ $p$ $\varphi$ $p$ $\varphi$ $0$ $1$ $q$ $p$ $q$ সঙ্গে সম্মত তাই উপর । $p$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$

আমি দাবী করে যে অ শূন্য iff Satisfiable হয়। স্পষ্টতই, যদি , তবে সন্তুষ্ট হতে পারে না। বিপরীতটি, কারো দেখাতে পারেন যে কোনো নন-জিরো multilinear বহুপদী সব বিলুপ্ত করতে পারবে না । এর অর্থ এমন একটি নন-জিরো (এবং অত: পর সংশ্লিষ্ট ) কিছু ইনপুট এ বিলুপ্ত না । $q$ $\varphi$ $q=0$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$ $q$ $\varphi$ $\{0,1\}^n$

অতএব, এর satisfiability চেক পরীক্ষণ সমতূল্য যদি অ শূন্য। বলুন, এখন, আমরা একটি বড় ক্ষেত্র উপর মূল্যায়ন করতে পারি । তারপরে, শোয়ার্জ-জিপ্পেল লেমা ব্যবহার করে, আমরা একটি দক্ষ র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদম ব্যবহার করে সনাক্তকরণ-পরীক্ষা করতে পারি এবং এটি শূন্য পলিনোমিয়াল কিনা তা পরীক্ষা করতে পারি ( শোয়ার্জ-জিপ্পেল লেমায় আকারটি ত্রুটির উপরের দিকে আবদ্ধ করতে ব্যবহৃত হয়)। $\varphi$ $q$ $q$ $F$ $q$ $F$

— Srikanth
সূত্র

এটি আমার কাছে মনে হয় যে এফ একটি স্থির ক্ষেত্র, কারণ ইনপুটটিতে এফ-কে নির্দিষ্ট করার মতো কিছুই নেই Also এছাড়াও নোট করুন যে প্রশ্নটি ধরে নিয়েছে যে ফিল্ড অপারেশনগুলি ইউনিট সময় নেয়।

— কাভেহ

ধন্যবাদ শ্রীকান্ত। কাভাহ যেমন অনুমান করেছিলেন আমি স্থির সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে সত্যই আগ্রহী, তবে আপনি যে উত্তর দিয়েছেন তা আমাকে প্রশ্নটি আরও ভালভাবে বুঝতে সহায়তা করে।

— স্লিমটন

ধরে নেই polytime অ্যালগরিদম প্রদত্ত এবং বহু একরৈখিকরণ ফল নির্ণিত তে । (আমি wlog অনুমান করবে আউটপুট একটি ভেক্টর হতে হবে বাইনারি সংখ্যার -বিট হয় iff অন্যতম।) $C(\vec{x}) \in F(\vec{x})$ $\vec{a}$ $C$ $\vec{a}$ $\vec{b}$ $p$ $b_i$ $k$ $b_{i,k}$

$P \subseteq P/poly$ $M$

$C$ $M$ $C$

$F_p$ $x^{p-1}$ $1$ $0$ $p-1$ $f \land g$ $f.g$ $f \lor g$ $f+g-f.g$ $\lnot f$ $1-f$

$F_p$ $b_i$ $\sum_{0 \leq k \leq p-1}{kb_{i,k}}$

$F_p$ $\bmod 3$ $2x(x+1)$ $2x(x+2)$ $x \in F_3$

এই মিশ্রন আমরা ধরে একটি গাণিতিক বর্তনী আছে কম্পিউটিং বহু একরৈখিকরণ আকার মাপ polynomail সঙ্গে । $F_p$ $C$ $C$

— Kaveh
সূত্র

আপনি যে গাণিতিক সার্কিটটি বর্ণনা করেছেন তা কেন বহুতরঙ্গীকরণকে গণ্য করে বা প্রকৃতপক্ষে একটি বহুমাত্রিক বহুভুজকে কেন গণ্য করে তা আমার কাছে পরিষ্কার নয় । আমি কেবল দেখতে পাচ্ছি যে পাটিগণিতের সার্কিট এমন কয়েকটি বহুপদীকে গণনা করে যা - ইনপুটগুলিতে এর বহুলাইনীকরণের সাথে একমত হয় ।

C

$C$

C

$C$

0

$0$

1

$1$

— শ্রীকান্ত

@ শ্রীকান্ত: বুলিয়ান সার্কিট পাটিগণিত সংস্করণ (কিছু ইনপুট স্থির করে) বহু লাইন সংস্করণ গণনা করে , এটি কোনও বহুমাত্রিক হওয়ার দরকার নেই। তারপরে একমাত্র সমস্যা হ'ল ইনপুট / আউটপুটটি বাইনারিতে চেয়ে বেশি নয় , সুতরাং আমাকে কেবল বাইনারি থেকে আসল ইনপুট এবং আউটপুট মানগুলিতে ইনপুট / আউটপুটের জন্য এনকোডিংটি ঠিক করতে হবে। ফলস্বরূপ সার্কিট হল একটি গাণিতিক সার্কিট যা ভেরিয়েবলের মান পায় , তাদের বাইনারিতে এনকোড করে, সেই ইনপুটগুলির উপর এর বহুভুক্তির মান গণনা করে এবং বাইনারিতে উত্তর আউটপুট দেয় এবং তারপরে অনুবাদ করে ।

M

$M$

C

$C$

F_{p}

$F_p$

C

$C$

C

$C$

F_{p}

$F_p$

— কাভেহ

[অব্যাহত] ফলাফলের এটি একই ভেরিয়েবল যে সঙ্গে একটি গাণিতিক বর্তনী হয় আছে, এবং একই আউটপুট সঙ্গে, এবং এটি multilinearization কম্পিউটিং হয় ।

C

$C$

C

$C$

— কাভেহ

@Kaveh: আপনি অধিকৃত যে বুলিয়ান বর্তনী ইনপুট আছে আউটপুট হিসাবে একই ফর্ম হল ? যাই হোক না কেন, আমি এখনও নিশ্চিত নই। এটি একটি গাণিতিক বর্তনী একটি বহুপদী গনা জন্য পুরোপুরি সম্ভব করে একটি বহুপদী সঙ্গে সম্মত মাঠ থেকে সমস্ত ইনপুট এবং এখনো এ । উদাহরণস্বরূপ, বহুপদী সমস্ত ইনপুটগুলিতে সাথে একমত হয় এবং তবুও তারা বহুবচন হিসাবে সমান নয়। আপনি কীভাবে জানবেন যে সার্কিট কেবল একটি বহুমাত্রিক বহুমাত্রিক গণনা করছে না যা সমস্ত ইনপুটগুলিতে এর বহুলাইনীকরণের সাথে একমত ?

M

$M$

M

$M$

f

$f$

g

$g$

f \neq g

$f\neq g$

x^{p}

$x^p$

x

$x$

M

$M$

C

$C$

— শ্রীকান্ত

@ শ্রীকান্ত: আমি আমার উত্তরে ইনপুট এবং আউটপুটের রূপটি বর্ণনা করেছি। ইনপুটটি বাইনারি হয়, এর আউটপুট উপরে বর্ণিত ফর্ম হয়। আমি এটা বলিনি যে এটি বহুজাতিক, আমি কেবল বলেছি যে এটি এর বহুলাইনীকরণের গণনা করে ।

M

$M$

M

$M$ $C$

— কাভেহ