পারমিতেশন ম্যাট্রিক্সের জন্য কভার সেট করুন

Question

এনএক্সএন পারমিউটেশন ম্যাট্রিক্সের সেট এস দেওয়া (যা এন এর সম্ভাব্য পারমিটেশন ম্যাট্রিক্সের কেবলমাত্র একটি ছোট ভগ্নাংশ), আমরা কীভাবে এস এর ন্যূনতম-আকারের উপগ্রহগুলি খুঁজে পেতে পারি যে টির ম্যাট্রিকগুলি যুক্ত করতে প্রতিটি অবস্থানে কমপক্ষে 1 থাকে?

আমি এই সমস্যাটিতে আগ্রহী যেখানে এস S_n এর একটি ছোট উপগোষ্ঠী। আমি ভাবছি যে লোভী অ্যালগরিদমের তুলনায় অনেক দ্রুত (প্রায়শই) এবং এটি 'ভাগ্যবান' না হওয়া পর্যন্ত অনেকবার চালানো সম্ভব (প্রায়শই! ছোট ক্ষেত্রে) বা অপ্রয়োজনীয়তা গ্যারান্টি দেয় কিনা তা আমি পারি না।

এই সমস্যাটি সম্পর্কে কয়েকটি সহজ তথ্য: যথাক্রমে অনুকূলিতকরণের ম্যাট্রিক্সের একটি দৈর্ঘ্যের এন চক্রীয় গ্রুপ এই সমস্যাটি সমাধান করে। (কমপক্ষে এন ম্যাট্রিক্সের প্রয়োজন কারণ প্রতিটি ক্রমান্বয়ে ম্যাট্রিক্সের এন রয়েছে এবং সেখানে এন ^ 2 রয়েছে)

আমি যে সেটগুলির মধ্যে আগ্রহী সেগুলির মধ্যে একটি এন-চক্রীয় গোষ্ঠী নেই।

এই সমস্যাটি সেট কভারের একটি খুব বিশেষ ক্ষেত্রে। প্রকৃতপক্ষে, আমরা যদি x the 2 উপাদানগুলির সাথে (1,2, ... n) * (1,2, ... n) সেট করে রাখি তবে প্রতিটি ক্রমান্বয়ে ম্যাট্রিক্স একটি আকার n উপসেটের সাথে মিলে যায় এবং আমি এক্সটি কভার করা এই সাবসেটগুলির মধ্যে ক্ষুদ্রতম উপবৃত্তের সন্ধান করছি Set সেট কভার নিজেই এই সমস্যাটি দেখার পক্ষে ভাল উপায় নয়, কারণ সাধারণ সেট কভার সমস্যার সমাপ্তি।

লোভী দৃষ্টিভঙ্গি ব্যবহার করে এই সমস্যাটি খুব বেশি ধীর না হওয়ার একমাত্র কারণ হ'ল পারমিটেশন গ্রুপের প্রতিসাম্যতা অনেক বেশি বাড়াবাড়ি দূর করতে সহায়তা করে। বিশেষত, যদি এস একটি উপগোষ্ঠী হয়, এবং টি একটি ছোট উপসেট হয় যা নূন্যতম আচ্ছাদন সেট হয়, তবে সেটগুলি এসটি (গ্রুপের কোনও উপাদান দ্বারা টি গুণিত) এখনও এস এ রয়েছে এবং এখনও একটি আচ্ছাদন সেট রয়েছে (অবশ্যই একই আকারের, তাই এখনও ন্যূনতম।) আপনি যদি ভাবছিলেন যে সফল ক্ষেত্রে n ~ 30 এবং | S | ~ 1000 রয়েছে, ভাগ্যবান লোভী ফলাফলের সাথে | টি | ~ 37। এন ~ 50 এর ক্ষেত্রে বেশ কিছু দুর্বল সীমানা পেতে খুব দীর্ঘ সময় লাগে।

সংক্ষেপে বলছি, আমি যদি ভাবছি যে এই সমস্যাটির সান্নিধ্যের পদ্ধতি আছে বা এটি এখনও কিছু সাধারণভাবে প্রচ্ছন্নতার তাত্ত্বিকের মধ্যে উপযুক্ত enough যেমন সাধারণ সেট কভার সমস্যার জন্য রয়েছে। অনুশীলনে আনুমানিক সম্পর্কিত সমস্যার জন্য কোন অ্যালগরিদম ব্যবহার করা হয়? দেখে মনে হচ্ছে যে সাবসিটগুলি একই আকারের এবং প্রতিটি উপাদান একই ছোট ফ্রিকোয়েন্সি 1 / n এ উপস্থিত হওয়ায় সম্ভবত কিছু সম্ভব হতে পারে।

-B

Comments

আপনি সত্যিই যুক্ত মানে? আমি ধরে নিচ্ছি যে আপনি এর পরিবর্তে এক ধরণের 'ইউনিয়ন', বা সত্যিই কোনও ওআরিং? কারণ অন্যথায় আপনি একটি এন্ট্রি 2 দিয়ে শেষ হতে পারে।

— সুরেশ ভেঙ্কট

ইউনিয়ন ঠিকঠাক কাজ করে। যদি আমি যুক্ত করি তবে প্রতিটি প্রবেশে আমার কমপক্ষে '1' পাওয়া দরকার। আমি এটিকে যুক্ত হিসাবে যুক্ত করার কারণটি কারণ হ'ল সত্যই আমি একজন গণিতবিদ, এবং এখনও গ্রুপ উপাদান যুক্ত করার গাণিতিক অর্থ রয়েছে (যা গ্রুপকে পারমিটেশন ম্যাট্রিক হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা হচ্ছে তার উপর নির্ভর করে না) তবে ম্যাট্রিকগুলি 'ইউনিয়ন' করার ক্ষেত্রে নয়।

— ব্র্যাডেন ওয়েয়ার

তবে এই শর্তটি জানানোর কোনও কার্যকর উপায় নেই পারমিটেশন ম্যাট্রিক্সগুলি ছাড়া একত্রিত হওয়ার বিষয়ে নির্দ্বিধায়। 2s (এবং 3শ্বর 3 বা তার বেশি বাধা দেয়) কেবলমাত্র সেই মার্কার হিসাবে পরিবেশন করবে যা আমরা ঠিক 1 ম্যাট্রিক্সের সমস্ত 1 ম্যাট্রিক্সে যুক্ত করতে না, 2s এর সংখ্যা এবং উচ্চতর পরিমাপক মাত্র কতগুলি অতিরিক্ত ম্যাট্রিক ব্যবহার করেছি। (প্রতিটি অতিরিক্ত ম্যাট্রিক্স শেষে মোট যোগফলকে যোগ করে))

— ব্রেডেন ওয়ার

Answer 1

এখানে কেস যেখানে জন্য approximability প্রায় আঁট বিশ্লেষণ এস হয় না প্রতিসম দলের উপগোষ্ঠী হওয়া প্রয়োজন।

এই সমস্যাটি সেট কভারের একটি বিশেষ কেস এবং এখানে একটি সাধারণ লোভী আনুমানিক অ্যালগরিদম [জন ]৪] রয়েছে। যদি আমরা এইচ _কে = ∑ _{আই = 1} ^কে 1 / আই হিসাবে কে থার্ড সুরেলা সংখ্যাটি চিহ্নিত করি তবে লোভী অ্যালগরিদম একটি আনুমানিক অনুপাত H _n = ln n + Θ (1) অর্জন করে। (এখানে একটি অ্যালগরিদম আছে [DF97] যার ফলে কিছুটা আরও ভাল অনুমানের হার H _n −1/2 পাওয়া যায়।) ( সম্পাদনা : 2 এবং পূর্বে লোভী অ্যালগরিদমের আনুমানিক অনুপাতটি সঠিক মানের চেয়েও খারাপ বলেছিল।)

তদতিরিক্ত, নিম্নলিখিত অর্থে এটি প্রায় অনুকূল:

উপপাদ্য । পারমুয়েশন ম্যাট্রিক্সের জন্য সেট কভার কোনও ধ্রুবক 0 < ε <1 এনপি ⊆ ডিটিটাইম ( এন ^{ও (লগ এন )} ) না করে একটি অনুমানের অনুপাতের (1− ε ) ln n এর মধ্যে আনুমানিক অনুমান করা যায় না ।

এখানে একটি প্রমাণের স্কেচ দেওয়া হল। আমরা [ n ] = {1,…, n write লিখি } আমরা সেট কভার থেকে হ্রাস তৈরি করব:

কভার
তাত্ক্ষণিকতা সেট করুন : একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা মি এবং [ এম ] এর সাবসেটের সংগ্রহ সি । সমাধান : একটি উপসেট ডি এর সি যেমন মধ্যে সেট ইউনিয়ন যে ডি [সমান মি ]। উদ্দেশ্য : ন্যূনতম | ডি |

এটা তোলে Feige [Fei98] এর দ্বারা একটি বিখ্যাত ফল সেট কভার একটি পড়তা অনুপাত (1- মধ্যে আনুমানিক করা যাবে না ε ) Ln মি কোনো ধ্রুবক 0 জন্য < ε <1 যদি না দ্বারা NP ⊆ DTIME ( এন ^{হে (লগ লগ এন )} )।

( মি , সি ) সেট কভারের উদাহরণ হতে পারে। পারমিটেশন ম্যাট্রিক্সের জন্য সেট কভারের একটি উদাহরণ ( এন , এস ) তৈরি করব।

$\pmatrix{0 & 1 \\ 1 & 0}$$\pmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1}$i ≤ n (যেখানে সূচক i +2 মডুলো এন হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয় )। 0≤ জে ≤ এম এর জন্য , এস _জে = { পি _ই কি ^জে : ই ∈ সি ∪ {{ এম +1}}} এবং এস = এস ₀ ∪… ∪ এস _{এম নির্ধারণ করুন} ।

দাবি । সি এর সর্বনিম্ন কভার [ এম ] এর আকার হতে যাক k । তারপরে এস- এর সর্বনিম্ন কভারের আকার ( k +1) ( মি +1) এর সমান ।

প্রুফ স্কেচ । যদি ডি ⊆ সি [একটি কভার হয় মি ], আমরা একটি কভার গঠন করা যেতে পারে টি ⊆ এস (| আকারের ডি (+ 1 |) মি দ্বারা +1 টি) টি = { পি _ই প্রশ্ন ^ঞ : ই ∈ এস ∪ {{ মি +1 টি}}, 0≤ ঞ ≤ মি }।

অন্যদিকে, টি ⊆ এসকে একটি প্রচ্ছদ হতে দিন । নোট করুন যে এস ₀ এর সমস্ত ম্যাট্রিকগুলি 2 size 2 আকারের ব্লক সহ ব্লক ডায়াগোনাল এবং এস এর অন্যান্য ম্যাট্রিকগুলিতে এই ব্লকগুলিতে 0 থাকে। অতএব, টি ∩ এস ₀ এই ব্লকগুলি কভার করে। তদ্ব্যতীত , টি ∩ এস ₀ তে পি _{{ এম +1} contains রয়েছে কারণ অন্যথায় (2 মি +1, 2 মি +2) -তন্ত্রটি আচ্ছাদিত হবে না। লক্ষ্য করুন ( টি ∩ এস ₀ ) ∖ { পি _{{ এম +1}}in সি এর একটি সেট কভারের সাথে মিলে যায় । অতএব, | টি ∩ এস ₀ | ≥ কে +1। একইভাবে, যে কোনও 0≤ j ≤ m , | টি ∩ এস _জ | ≥ কে +1। অতএব, | টি | ≥ ( কে +1) ( মি +1)। দাবির প্রমাণ স্কেচের সমাপ্তি ।

দাবি অনুসারে, উপরে নির্মিত হ্রাস প্রায় অনুপাত সংরক্ষণ করে। বিশেষত এটি উপপাদ্য প্রতিষ্ঠা করে।

তথ্যসূত্র

[DF97] Rong-Chii Duh এবং মার্টিন ফেরার। আধা-স্থানীয় অপ্টিমাইজেশান দ্বারা কে- সেট কভারের আনুমানিক । ইন কম্পিউটিং এর তত্ত্ব (STOC) এ ঊনত্রিশ বার্ষিক এসিএম সিম্পোজিয়াম প্রসিডিংস , পিপি। 256-264, মে 1997 http://dx.doi.org/10.1145/258533.258599

[Fei98] ইউরিয়েল ফিগ সেট কভার আনুমানিক জন্য ln n এর একটি প্রান্তিক । এসিএমের জার্নাল , 45 (4): 634–652, জুলাই 1998. http://dx.doi.org/10.1145/285055.285059

[জন 74] ডেভিড এস জনসন। সংযুক্তি সমস্যাগুলির জন্য আনুমানিক অ্যালগরিদম। কম্পিউটার ও সিস্টেম সায়েন্সেস জার্নাল , 9 (3): 256–278, ডিসেম্বর। 1974. http://dx.doi.org/10.1016/S0022-0000(74)80044-9

Comments

সোসোশি, আপনার উত্তরগুলি ইদানীং বেশ চিত্তাকর্ষক হয়েছে। কোনও এক দিন, এই সাইটে আপনার প্রমাণগুলির মধ্যে একটিটিকে ইটো লেমমা হিসাবে উল্লেখ করা হবে। :-)

— অ্যারন স্টার্লিং

@ অ্যারন: আপনার ভাল মন্তব্য করার জন্য ধন্যবাদ। নোট করুন যে প্রশ্নের সবচেয়ে কঠিন বিষয়, যেমন একটি উপগোষ্ঠীর ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধতা, এই উত্তরে সম্পূর্ণ উপেক্ষা করা হয়েছে। এবার ভাববার সময়!

— Tsuyoshi Ito

@Aaron: আমি যদি আপনি যে ইচ্ছাকৃতভাবে বলেন জানি না, কিন্তু ইটো এর থিম নিয়ে যাওয়া হয় ( en.wikipedia.org/wiki/Ito_lemma )।

— রবিন কোঠারি

Answer 2

ব্রাসেলসে দুপুরের খাবারের সময় আমরা প্রমাণ করেছি যে এই সমস্যাটি এনপি-হার্ড হ'ল 3 এস্যাট থেকে মোটামুটি স্বল্প হ্রাস reduction আমাদের প্রমাণটি একটি অযৌক্তিকরূপে ফলাফলের দিকে নিয়ে যায় না (এখনও)। আমরা এটি সম্পর্কে আরও চিন্তা করব।

মোটামুটিভাবে, আপনি একটি 3-SAT দৃষ্টান্তটি (এন ভেরিয়েবল এবং সি ক্লজ সহ) নিম্নলিখিত কাঠামোগত ধারাবাহিক ক্রিয়াকলাপে রূপান্তরিত করেছেন:

ভেরিয়েবল গ্যাজেট n + 2 দ্বারা ব্যবহৃত n + 1, n + 3 ব্যবহার করার জন্য 1 ... n 1 ম ধারাটি উপস্থাপন করছে ... n + 2j, n + 2j + 1 জেথ ক্লজ এন + 2 সি + 2 উপস্থাপন করছে আবর্জনা সংগ্রহকারী দ্বারা ব্যবহৃত

ভেরিয়েবল xi হ'ল পারমিটেশন 1, ..., আই -1, এন + 1, আই + 1, ..., এন, আই, ... এবং প্রতিটি অনুচ্ছেদের জন্য এন + 2 জে + 1, এন + 2 জ সোপিং দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় যেখানে জে XI প্রদর্শিত হবে; এবং ক্রমশক্তি 1, ..., আই -1, এন + 1, আই + 1, ..., এন, আই, ... এবং এন + 2 জে + 1, এন + 2 জে জে যেখানে যেখানে রয়েছে - xi হাজির।

তারপরে আমরা আবর্জনা সংগ্রহকারীকে প্রতিটি নম্বর এমন অবস্থানে রাখার জন্য ব্যবহার করি যেখানে এটি অন্যথায় উপস্থিত হতে পারে না। এক্স পজিশনে y রাখার জন্য, আমরা y কে n + 2c + 2 এবং n + 2c + 2 পজিশনে রেখেছি x আমাদের প্রতিটি ভেরিয়েবলের জন্য হ'ল এন + 2 সি-1 এবং এই ধরণের জন্য 2 (এন + 2 সি -1) আবশ্যক garbage 3 এসএটি সন্তুষ্টযোগ্য যদি আমরা প্রতিটি চলকটির জন্য 2 ক্রমের মধ্যে ঠিক একটি বেছে নিতে পারি, যদি বিভাজন সেট কভারের আকার এন + (এন + 2 সি -1) (এন + 2 সি) এর সমাধান থাকে।

ছোট উদাহরণগুলির জন্য সম্ভবত কিছু ছোটখাটো বিবরণ অনুপস্থিত রয়েছে।

স্টিফান।