শিফট-চেইনগুলি কি দ্বি-আকর্ষণীয়?

Question

জন্য বোঝাতে দ্বারা a_i আমি ^ {ম} এর ক্ষুদ্রতম উপাদান একটি ।$A\subset [n]$$a_i$$i^{th}$$A$

দুটি $k$ এলিমেট সেটগুলির জন্য, $A,B\subset [n]$ set সাবসেট [এন] , আমরা বলি যে $A\le B$$a_i\le b_i$লে বি যদি প্রতি $i$ জন্য a_i \ le b_i ।

একটি $k$ ইউনিফর্ম হাইপারগ্রাফ ${\mathcal H}\subset [n]$ ম্যাথ্যাকাল এইচ} \ সাবসেট [এন] যাকে কোনও হাইপারডিজ, এ, বি \ th \ ম্যাথ্যাকাল এইচ \ এর জন্য একটি শিফট-চেইন বলা হয় , আমাদের A \ লে বি বা বি লে লে রয়েছে । (সুতরাং একটি শিফ্ট-চেইনে সর্বাধিক কে (এনকে) +1 হাইপারজেড রয়েছে))$A, B \in {\mathcal H}$$A\le B$$B\le A$$k(n-k)+1$

আমরা বলি যে একটি হাইপারগ্রাফ ${\mathcal H}$ ম্যাথ্যাকাল এইচ two দ্বি-কলয়েবল (বা এটিতে প্রপার্টি বি রয়েছে) যদি আমরা এর লম্বগুলি দুটি বর্ণের সাথে রঙ করতে পারি যে কোনও হাইপারডেজ একরঙা নয়।

এটি কি সত্য যে $k$ যথেষ্ট বড় হলে শিফট-চেইনগুলি দ্বি-বর্ণযুক্ত ?

মন্তব্য. আমি এই সমস্যাটি প্রথম গণিতফ্লোতে পোস্ট করেছি , তবে কেউই এ নিয়ে মন্তব্য করেননি।

কিছু আংশিক ফলাফলের জন্য 1 ম Emlektabla কর্মশালায় সমস্যাটি তদন্ত করা হয়েছিল, পুস্তিকাটি দেখুন ।

প্রশ্নটি উত্তল আকারের অনুবাদ করে বিমানের একাধিক আচ্ছাদনকে পচিয়ে উত্সাহিত করা হয়, এই ক্ষেত্রে অনেকগুলি মুক্ত প্রশ্ন রয়েছে। (আরও তথ্যের জন্য, আমার পিএইচডি থিসিস দেখুন ।)

জন্য $k=2$ সেখানে তুচ্ছ counterexample হল: (12), (13), (23)।

কম্পিউটার প্রোগ্রামের সাথে রেডোস্লাভ ফুলেক $k=3$ জন্য একটি খুব জাদুকরী কাউন্টারিক নমুনা দিয়েছেন :

(123), (124), (125), (135), (145), (245), (345), (346), (347), (357),

(367), (467), (567), (568), (569), (579), (589), (689), (789)।

যদি আমরা হাইপারগ্রাফটিকে দুটি শিফট-চেইনের (একই ক্রম সহ) একত্রিত করার অনুমতি দিই, তবে যে কোনও জন্য একটি পাল্টা ।$k$

হালনাগাদ. আমি সম্প্রতি দেখাতে পেরেছি যে শিফট-চেইনের আরও সীমিত সংস্করণ এই প্রিন্টে দ্বি-রঙিন ।

স্থায়ী অনুগ্রহ! আমি যে কোনও সময় সমাধানের জন্য 500 বন্টি প্রদান করে খুশি!

Comments

সম্পত্তি বি আরও বেশি বলা হয় 2-কলরবিলিটি।

— কলিন ম্যাককুইলান

@ কলিন ম্যাককুইলান: আমিও তাই ভেবেছিলাম কারণ "সম্পত্তি বি" নামটি কখনও শুনিনি। তবে, মনে হয় যে "সম্পত্তি বি" সাহিত্যের একটি সাধারণ নাম। en.wikedia.org/wiki/Property_B

— Tsuyoshi Ito

আমি সংশোধন করেছি. আমি আমার ভুল উত্তরটিও মুছে ফেলেছি।

— কলিন ম্যাককুইলান

Answer 1

এটি কোনও উত্তর নয়। নিম্নলিখিতটি একটি সাধারণ প্রমাণ যা k = 3 এর জন্য নির্মাণ প্রকৃতপক্ষে একটি পাল্টা নমুনা। আমি মনে করি যে প্রশ্নকারী এই প্রমাণটি জানে, তবে আমি যেভাবেই পোস্ট করব কারণ প্রমাণটি দুর্দান্ত এবং লোকে আরও বড় কে এর ক্ষেত্রে বিবেচনা করলে এটি কার্যকর হতে পারে ।

এটি যা শিফট-চেইন তা যাচাই করা সহজ। আসুন দেখান যে এটিতে বি বি নেই

প্রকৃতপক্ষে, সাবহাইপারগ্রাফ {(123), (145), (245), (345), (346), (347), (357), (367), (467), (567), (568), (9 56৯), (9 78৯) Property ইতিমধ্যে সম্পত্তি বি সন্তুষ্ট করতে ব্যর্থ হয়েছে এটি দেখার জন্য, ধরুন এই হাইপারগ্রাফের একটি 2- বর্ণ রয়েছে এবং সি _{আমি i} শীর্ষবিন্দুর রঙ হতে দেব i । তিনটি হাইপারডিজ (145), (245), (345) দেখুন। যদি সি ₄ = সি ₅ , তারপরে 1, 2 এবং 3 এর সবগুলি অবশ্যই গ ₄ এর বিপরীত রঙ হতে পারে তবে এটি একরঙা হাইপারজ (123) দেয়। সুতরাং, এটি অবশ্যই সি ₄ ≠ সি _{5 হওয়া উচিত} । একইভাবে,

• সি ₃ ≠ সি ₄ তিনটি হাইপারডিজ (345), (346), (347) তুলনা করে এবং একটি হাইপারডিজ (567) লক্ষ্য করে।
• সি ₆ ≠ সি ₇ তিনটি হাইপারডিজ (367), (467), (567) তুলনা করে এবং একটি হাইপারডিজ (345) লক্ষ্য করে
• সি ₅ ≠ সি ₆ তিনটি হাইপারডিজ (567), (568), (569) তুলনা করে এবং একটি হাইপারডিজ (789) লক্ষ্য করে

অতএব, আমাদের সি ₃ ≠ সি ₄ ≠ সি ₅ ≠ সি ₆ ≠ সি _{7 রয়েছে} । তবে এর দ্বারা সি ₃ = সি ₅ = সি ₇ বোঝানো হয় , হাইপারডিজ (357) একরঙা তৈরি হয়। এটি 2-বর্ণের অনুমানের সাথে বিরোধিতা করে।

Comments

খুব সুন্দরভাবে বলতে গেলে প্রশ্নকারী আপনার প্রমাণটি পছন্দ করে likes এটি লেখার জন্য ধন্যবাদ!

— ডোমোটরপ

Answer 2

সম্ভবত আমি কিছু মিস করছি তবে আমি মনে করি সম্ভাব্য পদ্ধতির সাথে একটি ভাল নিম্ন আবদ্ধ রয়েছে:

আপনি প্রতিটি প্রান্তবিন্দু সম্ভাব্যতা সঙ্গে indepedently রঙ যদি তারপর প্রতিটি রঙের জন্য আপনার সম্ভাবনা সঙ্গে একটি একরঙা প্রান্ত 2 ⋅ ( $1/2$। লোভাস স্থানীয় লিমারসাথেআপনি পাবেন যে শিফট-চেইনেবি বি রয়েছেযদি কে(এন-কে)+1≤2 কে - $2 \cdot (\dfrac{1}{2})^k = 2^{-k+1}$$B$ আমি এই বৈষম্যটি সরাসরি সমাধান করতে পারি না তবে আপনার যদিকে=Ω(লগ(এন)) থাকেতবে আপনি বাম দিকে কিছুটাএনলগ(এন) এর মতোএবং ডানদিকেএনসি(তাই) পেতে পারেন বৈষম্যটিযথেষ্ট বড়n এরক্ষেত্রে সত্য)।

$$k(n-k)+1 \leq \dfrac{2^{k-1}}{e}-1.$$ $k = \Omega(\log(n))$$n \log(n)$$n^c$$n$

একটা হল ভাল আবদ্ধ এর $O(\sqrt{k/\ln(k)} \cdot 2^k)$$k$$B$

Comments

আপনি ঠিক বলেছেন যে এন এর তুলনায় কে যদি যথেষ্ট পরিমাণে বড় হয় তবে বিবৃতিটি সত্য (যেমন, কে = এন তুচ্ছ)। সমস্যাটি প্রমাণ করতে হবে যে যদি কে কিছু নিরঙ্কুশ ধ্রুবক, অর্থাৎ 4 এর চেয়ে বড় হয়, তবে বিবৃতিটি প্রতিটি এন এর পক্ষে সত্য।

— ডোমোটরপ

ঠিক আছে, তবে কেবল উত্তরটি উপেক্ষা করুন :)

— মার্ক বুরি