চিগার কি ধ্রুব

Question

আমি প্রচুর নিবন্ধে পড়েছি যে কোনও গ্রাফের চিগার ধ্রুবক নির্ধারণ করা হয় $\mathsf{NP}$ হার্ড। এটি একটি লোক উপপাদ্য বলে মনে হয়, তবে আমি এই বক্তব্যের কোনও উদ্ধৃতি বা প্রমাণ পাইনি। আমি কাদের কৃতিত্ব দেব? একটি পুরানো কাগজে (আইসোপরিমিত্রিক নাম্বার অফ গ্রাফ, জে কম্ব। থিওরি বি, 1989) মোহার কেবল এই দাবিটি "একাধিক প্রান্তযুক্ত গ্রাফের জন্য" প্রমাণ করেছেন।

Answer 1

আমি খুব এই সমস্যা সম্মুখীন যখন আমি একটি কাগজ যে প্রান্ত সম্প্রসারণ (অথবা Cheeger ধ্রুবক) এর কঠোরতা করার জন্য একটি তলব প্রয়োজন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা লিখছিলাম । বিভাজনকারীদের উপর লেইটন এবং রাওর ক্লাসিক পেপারে ( http://dl.acm.org/citation.cfm?id=331526 ) উল্লেখ করা হয়েছে যে এটি একটি কঠিন সমস্যা এবং গ্যারি, জনসন এবং স্টকমেয়ারের কাগজকে বোঝায় ( http: / /www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397576900591$\min_{S \subset V, |S| \leq |V|/2} |\delta(S)|/|S|$)। উল্লেখিত কাগজে প্রান্ত বিস্তারের কোনও উল্লেখ না থাকায় তারা কী উল্লেখ করছে তা আমি কিছুক্ষণের জন্য বুঝতে পারি না। আমি এভি অ্যাভিগডারসনের সাথে যোগাযোগ করেছি। পরিশেষে এটি স্থানান্তরিত হয়েছে যে গ্যারি এট আল পেপারে তুলনামূলকভাবে সহজেই দেখানো যায় যে প্রান্ত-প্রসারণটি শক্ত। আমি এখনই বিশদগুলি ভুলে গেছি তবে এটি পুনরায় তৈরি করা কঠিন হবে না। কোনও গ্রাফ সুপারকেনসেটেরেটর কিনা তা পরীক্ষা করার কঠোরতার উপর ব্লুম এটেলের কাগজটি প্রান্তের প্রসারণের সরাসরি কঠোরতা বোঝায় না। তারা প্রযুক্তিগতভাবে একই সমস্যা নয়।

Comments

আমার কাগজ যা প্রান্ত সম্প্রসারণ কঠোরতা ব্যবহার নিচের এক onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/net.20165/abstract । প্রান্ত সম্প্রসারণের কঠোরতার জন্য আমরা লেইটন-রাও কাগজ এবং গ্যারি, জনসন, স্টকমিয়ারের উল্লেখ করি।

— চন্দ্র চেকুরি

ধন্যবাদ! প্রযুক্তিগতভাবে চেগার ধ্রুবক নির্ধারণের কঠোরতার কথা বলা সাহিত্যে অপ্রমাণিত?

— ডেলিও এম।

@DelioM। মোহাম্মদের উত্তরের একটিতে কাইবেল রেফারেন্সের একটি সম্পূর্ণ প্রমাণ রয়েছে। এটি কেবল গ্যারে-জনসন-স্টকমেয়ারের অপ্রকাশিত সর্বাধিক কাট থেকে ন্যূনতম দ্বিখণ্ডিত হ্রাস, সংক্ষিপ্ত প্রমাণ সহ যে বিরল কাটা দ্বারা উত্পাদিত গ্রাফগুলিতে একটি দ্বিখণ্ডিত।

— সাশো নিকোলভ

যদিও, আমি অবশ্যই স্বীকার করে নিয়েছি যে আমি হারিয়ে গিয়েছি। আমি সবসময়ই ভেবেছিলাম যে ম্যাক্স-কাট একটি গ্রাফকে "কীভাবে দ্বিপক্ষীয়" চিহ্নিত করার সাথে সম্পর্কিত। এই গ্রাফটি "কিভাবে সংযুক্ত" তা খুঁজে পেতে কীভাবে সহায়তা করতে পারে? সমানভাবে, কীভাবে স্বাক্ষরবিহীন ল্যাপ্লাসিয়ানের দ্বিতীয় সর্বনিম্ন ইগেনুয়ালু ল্যালাপ্যাসিয়ানের দ্বিতীয় সর্বনিম্ন ইগন্যাল্যুয়াকে বেঁধে রাখতে পারে? যে একটি নিম্ন সীমা হোল্ড সুস্পষ্ট, কিন্তু একটি উপরের বাউন্ড?

— ডেলিও এম।

@DelioM। ম্যাক্স কাটটি প্রথমে আরও কম শীর্ষকে যোগ করে এবং ফলাফলের গ্রাফের পরিপূরক গ্রহণ করে সর্বনিম্ন বিজনে হ্রাস করা হয় । সুতরাং এই হ্রাস দ্বিপক্ষীয় এক গ্রাফের কতটা কাছাকাছি অন্য গ্রাফের সাথে সংযুক্ত (প্রথমটির পরিপূরক সম্পর্কিত) এর সাথে সম্পর্কিত। $n$

— সাশো নিকোলভ 21

Answer 2

চিউজার ধ্রুবক (বা প্রান্ত সম্প্রসারণ) কে কম্পিউটিংয়ের শারদনেসের আসল প্রমাণ ম্যাক্স কাট সমস্যা থেকে হ্রাস করে প্রযুক্তিগত প্রতিবেদনে কাইবেল দ্বারা দেওয়া হয়েছিল (উপপাদ্য 2 দেখুন)। প্রমাণটি কিছু সরল এনপি-সম্পূর্ণ গ্রাফ সমস্যাগুলিতে গ্যারি, জনসন এবং স্টকমিয়ারের প্রদত্ত সমীকরণ সমস্যার এন পি- হার্ডেনসের প্রমাণের বর্ধিতাংশ ।$NP$$NP$

ভি। কাইবেল: 0/1-পলিটপগুলির গ্রাফের বিস্তারে। প্রযুক্তিগত প্রতিবেদন arXiv: math.CO/0112146, 2001

সম্পাদনা : নীচের যুক্তিটি ভুল , চেকুরির দ্বারা চিহ্নিত হিসাবে, এবং শিক্ষাগত উদ্দেশ্যে ছেড়ে গেছে।

আপনার অনুরোধ অনুসারে এটি কোনও রেফারেন্স নয় তবে এটি কঠোরতার ফলাফলের লোককাহিনীর অবস্থান ব্যাখ্যা করে।

সংযুক্ত কিউবিক গ্রাফটি প্রান্ত-প্রসারণকারী কিনা এবং তাই চিগার ধ্রুবক করা কোএনপি-হার্ড কিনা তা নির্ধারণের কোএনপি-সম্পূর্ণতার একটি প্রমাণ ধারণা এখানে ।$h(G)$

ন্যূনতম দ্বিখণ্ডন সমস্যা -complete$NP$ সংযুক্ত কিউবিক গ্রাফ জন্য। এখানে আমরা সিদ্ধান্ত নিতে চাই যে কোনও পূর্ণসংখ্যা k সহ কোনও গ্রাফ দুটি সমান আকারের অংশে বিভক্ত হতে পারে যেমন কাটা প্রান্তের সংখ্যা কে এর চেয়ে কম হয়$G$$k$$k$ ।

নোট করুন যে এই সমস্যার পরিপূরক গ্রাফ প্রসারণযোগ্য কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়ার সমতুল্য ( ভি এর প্রতিটি সুষম পার্টিশনটি কে এর চেয়ে বেশি কেটে ফেলেছে )।$G$$V$$k$

এই সেমিনারে রাজ্যের এটি এর দ্রষ্টব্য অরোরার চিনতে -hard α -expander গ্রাফ (প্রান্ত সম্প্রসারণ)। http://www.cs.princeton.edu/~zdvir/apx11slides/arora-slides.pptx$CoNP$$\alpha$

Comments

এই প্রমাণটিও কার্যকর হয় না, কারণ ন্যূনতম দ্বিখণ্ডার আকার নিজেই প্রান্তের প্রসারণ সম্পর্কে কিছু বলে না। উদাহরণস্বরূপ, শীর্ষে বিচ্ছিন্ন গ্রাফের সর্বনিম্ন দ্বিখণ্ডন ( এন - 2 ) 2 থাকতে পারে । $2n$$(n-2)^2$

— সাশো নিকোলভ

গ্রাফ সংযুক্ত কিউবিক গ্রাফ এবং এই শ্রেণীর জন্য সর্বনিম্ন দ্বিখণ্ডনের সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ। $G$

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তান

@ সাশোনিকোলভ আমি কখনও কাউকে সংযোগ বিচ্ছিন্ন গ্রাফগুলির প্রসারণে আগ্রহী হতে দেখিনি।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

অরোরা, অরোরা নয়। আমি সিদ্ধান্ত যে সন্দেহ না coNP কঠিন। তবে দুটি উত্তরে আপনি প্রমাণের সাথে কোনও রেফারেন্সও দেন নি বা প্রমাণও দিয়েছেন না। সংযোগ বিচ্ছিন্ন গ্রাফগুলি কেবল আপনাকে দেখানোর জন্য যে আপনার যুক্তিগুলি বোগাস। আপনার "ফিক্স" কোনও কাজ করে না। আমি সহজেই আপনাকে বড় ন্যূনতম দ্বিখণ্ডিত এবং চিগার ধ্রুবকভাবে নির্বিচারে শূন্যের নিকটে একটি সংযুক্ত ঘনকৃত গ্রাফ প্রদর্শন করতে পারি। দুটি সমস্যা সম্পর্কিত তবে আপনি প্রস্তাব দিচ্ছেন তুচ্ছ উপায় নয় । $h(G) \geq \alpha$

— সাশো নিকোলভ

@ মোহাম্মদআল-তুর্কিস্তানি: দুটি সংযুক্ত ব্রিজলেস কিউবিক গ্রাফ নিন যা প্রসারক, একটিতে 2n শীর্ষে এবং অপরটি এন উল্লম্ব সহ এবং তিনটি প্রান্তের সাথে সংযুক্ত করুন উপ-বিভাজক 3 প্রান্তের মাধ্যমে প্রতিটি দিকে 3 টি নতুন প্রান্ত যুক্ত করে adding এখন ন্যূনতম দ্বিখণ্ডনটি বড় হতে চলেছে ( ) কারণ আপনাকে বৃহত্তর বিস্তৃতকারীদের একটি ভাল অংশ কেটে ফেলতে হবে তবে সম্প্রসারণটি ছোট কারণ আপনি মাত্র তিনটি প্রান্ত কেটে দুটি প্রসারককে বিভক্ত করতে পারেন। $\Omega(n)$

— চন্দ্র চেকুরি