একটি ইমপ্রিডিকটিভ টাইপ থিওরির র্যামিফিকেশন

আমি সচেতন বেশিরভাগ টাইপ তত্ত্বগুলি ভবিষ্যদ্বাণীপূর্ণ যার দ্বারা আমি এটি বুঝি

Void : Prop
Void = (x : Prop) -> x

এই পাই টাইপটি একই মহাবিশ্বের অন্তর্গত হিসাবে বেশিরভাগ উপপাদ্য প্রবাদগুলিতে ভালভাবে টাইপ Propকরা হয় না এবং এটি এরকম হয় না Prop : Prop। এটি তাদের ভবিষ্যদ্বাণীপূর্ণ করে তোলে এবং উপরের মতো অবিশ্বাস্য সংজ্ঞাটিকে অস্বীকার করে। যাইহোক, সিস্টেম এফ বা সিও-র মতো "ব্ল্যাকবোর্ড ভাষাগুলি" সত্যই অবিশ্বাস্য। প্রকৃতপক্ষে, ভাষাটিতে আদিমভাবে অন্তর্ভুক্ত না হওয়া বেশিরভাগ কন্সট্রাক্টগুলি সংজ্ঞায়িত করার জন্য এই অবিশ্বাস্যতা গুরুত্বপূর্ণ is

আমার প্রশ্ন হ'ল লজিকাল কনস্ট্রাক্টগুলি সংজ্ঞায়িত করার ক্ষমতা দিয়ে কেন কেউ অবিশ্বাস্যতা ত্যাগ করতে চান? আমি কয়েকজন লোকের মন্তব্য শুনেছি যে অবিশ্বাস্যতা "গণনা" বা "অন্তর্নিহিত" স্ক্রু আপ করে তবে একটি নূতন ব্যাখ্যা খুঁজে পেতে আমার সমস্যা হচ্ছে।

lo.logic type-theory

— ড্যানিয়েল গ্রেটজার
সূত্র

টাইপ তাত্ত্বিকরা কি ভবিষ্যদ্বাণীপূর্ণ, বা তাদের তত্ত্বগুলি?

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

আমি মনে করি কাক আপনার কাছে "সর্বাধিক উপপাদ্য প্রবাদের" নয়, কারণ এটি উপরের সংজ্ঞাটি গ্রহণ করে।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

@ আন্দ্রেজবাউর কেন উভয়ই নয়? :) আমি অনুমান করি যে কোকের একটি অবিশ্বাস্য মহাবিশ্বের পাশাপাশি ভবিষ্যদ্বাণীমূলক একটি রয়েছে। আমি মনে করি আমার প্রশ্নটি। "কেন পাশাপাশি অবিশ্বাস্য সেট করা হয় না?"

— কোকের

টাইপ কেন অবিশ্বাস্য নয়? > চেক প্রকার। প্রকার: প্রকার। ভাল ডার্ন :)

— কোডি

বিকাশকারীদের বিরক্ত করার দরকার নেই! Impredicative সেট বেশ কদর্য, এবং বিশেষ করে, এটি কিছু বরং প্রাকৃতিক পছন্দ নীতির সাথে সংঘাত এবং তথাকথিত "তথ্যপূর্ণ মধ্যম বহির্ভূত" forall P : Type, {P} + {~P}, যেমন এই + impredicative সেট প্রমাণ অপ্রাসঙ্গিকতার বোঝা (এবং natহয় না প্রমাণ অপ্রাসঙ্গিক)। দেখুন উদাঃ coq.inria.fr/library/Coq.Logic.ClassicalUniqueChoice.html এবং coq.inria.fr/library/Coq.Logic.Berardi.html

— কোডি

উত্তর:

আমি আমার মন্তব্যে উত্তরে যাচ্ছি। ভবিষ্যদ্বাণীপূর্ণ টাইপ তত্ত্বের উত্স প্রায় টাইপ থিওরির মতোই পুরান, কারণ রাসেলের অন্যতম অনুপ্রেরণা ছিল "বিজ্ঞপ্তি" সংজ্ঞাগুলি নিষিদ্ধ করা যা XIXth শতাব্দীর অসঙ্গতি এবং প্যারাডক্সের উত্স হিসাবে চিহ্নিত হয়েছিল। থিয়েরি কোকোয়ান্ড এখানে একটি আলোকিত ওভারভিউ দেয় । এই তত্ত্বে, একটি "স্তর" বা প্রকারের উপর পূর্বাভাস দেয়, "পরবর্তী" স্তরের প্রকারের সাথে সম্পর্কিত, যেখানে স্তরগুলির একটি অসীম (গণনাযোগ্য) সংখ্যা রয়েছে।

যদিও রাসেলের ভবিষ্যদ্বাণীমূলক শ্রেণিবিন্যাস (স্পষ্টতই) জানা প্যারাডক্সগুলি বরখাস্ত করার পক্ষে যথেষ্ট ছিল, তবে এটি একটি ভিত্তি সিস্টেম হিসাবে ব্যবহার করা খুব কঠিন বলে প্রমাণিত হয়েছিল। বিশেষত, বাস্তব সংখ্যা ব্যবস্থার মতো সাধারণকে এমনকি সংজ্ঞায়িত করা অত্যন্ত কঠিন ছিল, এবং তাই রাসেল একটি অ্যালিয়োম পোস্টুলেট করেছিলেন , হ্রাসের অক্ষ হিসাবে এটি সমস্ত স্তরকে "হ্রাস" করা হয়েছিল বলে অনুমিত করে । বলা বাহুল্য, এটি সন্তোষজনক উন্নয়ন হয়নি।

যাইহোক, "ক্ষতিকারক" অবিশ্বাস্য বিবৃতিগুলির বিপরীতে (সীমাহীন বোঝার মতো), এই অধ্যায়টি কোনও অসঙ্গতি প্রবর্তন করে বলে মনে হয় না। ফাউন্ডেশনাল তত্ত্বগুলির পরবর্তী সূত্রগুলি ( সাধারণ ধরণের তত্ত্ব , জেরমেলোর থিওসিস অফ সেট ) তাদেরকে পাইকারিভাবে গ্রহণ করে, পূর্বাভাসের পরিবার তৈরি করে (সম্ভবত পুরো মহাবিশ্বের উপরে সেট করে), একই স্তরে ভবিষ্যদ্বাণী করে।

প্রায় একাত্তর, মার্টিন-লফ নির্ভরশীল ধরণের তত্ত্ব চালু করেছিলেন যার মধ্যে এই নীতিটি এবং পরবর্তী অক্ষর উভয়ই Type : Typeরয়েছে। এই ব্যবস্থাটি সূক্ষ্ম কারণে বেমানান হিসাবে প্রমাণিত হয়েছিল: নিষ্পাপ রাসেল প্যারাডক্সটি (সরলভাবে বলা যায়) চালানো যায় না, তবে একটি চালাক এনকোডিং তবুও একটি বিপরীতে খুঁজে পেতে দেয়। এটি রাসেলের মতো faithমানের সংকটকে উত্সাহিত করেছিল, এর ফলে আমরা জানি এবং প্রেম করি মহাবিশ্বগুলির সাথে ভবিষ্যদ্বাণীমূলক ধরণের তত্ত্ব তৈরি হয়েছিল।

"নিরপরাধ" অবিশ্বাস্যতা একটি লা জের্মেলো সেট তত্ত্বের অনুমোদনের জন্য তত্ত্বটি মেরামত করার একটি উপায় রয়েছে যার ফলে ক্যালকুলাস অফ কনস্ট্রাকশনসের মতো ধরণের তত্ত্বের ফলস্বরূপ ক্ষতি হয়েছিল, এবং "সুইডিশ স্কুল" টাইপ থিওরি অবিশ্বাস্যতা প্রত্যাখ্যান করে।

কয়েকটি বিষয়:

স্বজ্ঞাত গণিতের সাথে এর কী সম্পর্ক? উত্তরটি খুব বেশি নয়। নবম শতাব্দীর শুরুতে গণিতবিদরা বিজ্ঞপ্তি / অবিশ্বাস্য নীতিগুলি ব্যবহারহীন-গঠনমূলক যুক্তির সাথে সংঘাতের প্রবণতা দেখিয়েছিলেন (অন্তর্নিহিত যুক্তিটি বোধকরি মাঝারি ব্যবহারের মতোই পূর্ব-বিদ্যমান গাণিতিক মহাবিশ্বকে ধরে নিয়েছিল )। তবে, নিখুঁতভাবে স্বজ্ঞাত ইন্ড্রিডিশনেটিভ অবিশ্বাস্য তত্ত্ব ( আইজেডএফের মতো ) রয়েছে। অন্তর্দৃষ্টিবাদে আগ্রহী লোকেরা এখনও কিছু কারণে প্রেজেক্টিভিজমে আগ্রহী হয়ে থাকে (অবশ্যই আমি এর জন্য দোষী)।
ভবিষ্যদ্বাণীমূলক গণিতে আপনি কী করতে পারেন ? মার্টিন তার উত্তরে যেমন উল্লেখ করেছেন, হারমান ওয়েইল (আন্দ্রে ওয়েলের সাথে বিভ্রান্ত হবেন না) একটি প্রোগ্রাম শুরু করেছিলেন যা ভবিষ্যদ্বাণীমূলক সিস্টেমগুলির উদ্বেগজনক শক্তিটি আবিষ্কার করার চেষ্টা করেছিল, যে পেনিটো অ্যারিমেটিক এবং দ্বিতীয় আদেশের মধ্যে ভবিষ্যদ্বাণীমূলক সিস্টেমগুলি সংবেদনশীল শক্তি ছিল পাটিগণিত , যা বেশিরভাগ মানক দ্বারা অবিশ্বাস্য হতে সম্মত (এবং প্রকার তত্ত্বের ক্ষেত্রে সিস্টেম এফের সাথে তুলনীয়)। প্রোগ্রামটি পরে "বিপরীত গণিত" হিসাবে ডাব করা হয়েছিল কারণ এটি জ্ঞাত গণিতের উপপাদাগুলির শক্তিটিকে শ্রেণিবদ্ধ করার চেষ্টা করেছিল যা তাদের প্রমাণ করার জন্য প্রয়োজনীয় অণুক্রমিক পদগুলির ক্ষেত্রে (স্বাভাবিক পদ্ধতির বিপরীত) হয়। দ্যউইকিপিডিয়া পৃষ্ঠাটি একটি ভাল ওভারভিউ দেয়; প্রোগ্রামটি বেশ সফল হয়েছিল, যে দ্বাদশ শতাব্দীর বেশিরভাগ গণিত খুব সহজেই খুব দুর্বল সিস্টেমে সংযুক্ত করা যায়। এই প্রোগ্রামটি আরও সাম্প্রতিক ফলাফলগুলিতে স্কেল করতে পারে কিনা তা এখনও একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন, উচ্চতর বিভাগের তত্ত্বটি (সন্দেহ হ'ল উত্তরটি "হ্যাঁ, দুর্দান্ত প্রচেষ্টার সাথে")।

— কোডি
সূত্র

আপনার সুন্দর পোস্টটিতে খুব আকর্ষণীয় একটি পার্শ্ব-মন্তব্য রয়েছে: " বেশিরভাগ মানের দ্বারা অবিশ্বাস্য হতে সম্মত "। এটি সূক্ষ্ম কিছুতে নির্দেশ করে, অর্থাত্ ভবিষ্যদ্বাণীক এবং অবিশ্বাস্যর মধ্যে সীমানাটি কোথায় আঁকতে হবে তা পরিষ্কার নয়।

— মার্টিন বার্গার

{P A}_{2}

$\mathrm{PA}_2$

একটি মাত্রা টাইপ অনুমিতি হয়। উদাহরণস্বরূপ সিস্টেম এফ এর ধরণের অনুমিতি সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য নয়, তবে এর কিছু ভবিষ্যদ্বাণীমূলক খণ্ডগুলিতে ডেসিডেবল (আংশিক) প্রকারের অনুক্রম রয়েছে।

আরেকটি মাত্রা হ'ল যুক্তি হিসাবে ধারাবাহিকতা। বিশিষ্ট চিন্তাবিদগণ গণিতের অবিশ্বাস্য ভিত্তি স্থাপন সম্পর্কে queতিহাসিকভাবে কিছুটা কৌতূহল অনুভব করেছেন। সর্বোপরি, এটি বৃত্তাকার যুক্তির একধরণের। আমি মনে করি এইচ। ওয়েইল সম্ভবত প্রথম বা একজন ছিলেন, যিনি সম্ভাব্য পরিমাণে গণিতের পুনর্গঠন করার চেষ্টা করেছিলেন ভবিষ্যদ্বাণীমূলক উপায়ে ... কেবল নিরাপদ দিকে থাকার জন্য। আমরা শিখেছি যে অবিশ্বাস্যতার সার্কুলারিটিগুলি শাস্ত্রীয় গণিতে সমস্যাযুক্ত নয়, এমন অর্থে যে 'টিম' অবিশ্বাস্য সংজ্ঞা থেকে কোনও দ্বন্দ্ব কখনও তৈরি হয়নি। সময়ের সাথে সাথে আমরা তাদের উপর নির্ভর করতে শিখেছি। মনে রাখবেন যে এটি (প্যারাডক্সার অনুপস্থিতি) একটি অনুগতপর্যবেক্ষণ! যাইহোক, প্রমাণ তত্ত্বের অনেকগুলি বিকাশ, এর অদ্ভুত অর্ডিনাল নির্মাণগুলির সাথে চূড়ান্ত লক্ষ্য হিসাবে সমস্ত গাণিতিককে 'নীচ থেকে' অর্থাত্ অবিশ্বাস্য সংজ্ঞা ছাড়াই গড়ে তোলার ইচ্ছা রয়েছে। এই প্রোগ্রামটি সম্পূর্ণ হয়নি। সাম্প্রতিক বছরগুলিতে, গণিতের ভবিষ্যদ্বাণীমূলক ভিত্তিতে আগ্রহ প্যারাডোক্সা সম্পর্কে উদ্বেগ থেকে প্রমাণের গণনার বিষয়বস্তুতে পরিবর্তিত হয়েছে, যা বিভিন্ন কারণে আকর্ষণীয়। দেখা যাচ্ছে যে অবিশ্বাস্য সংজ্ঞাগুলি গণ্য বিষয়বস্তু আহরণ করা কঠিন করে তোলে। ধারাবাহিকতা নিয়ে উদ্বেগের আরেকটি কোণটি কারি-হাওয়ার্ড traditionতিহ্য থেকে এসেছে। মার্টিন-লফের মূল ধরণের তত্ত্বটি ছিল অবিশ্বাস্য ... এবং অসম্পূর্ণ। এই শক অনুসরণ করে, তিনি কেবলমাত্র ভবিষ্যদ্বাণীমূলক সিস্টেমের প্রস্তাব দিয়েছিলেন, তবে প্রচুর অবিশ্বাস্যতার শক্তি ফিরে পাওয়ার জন্য প্ররোচিত তথ্য প্রকারের সাথে একত্রিত হন।

— মার্টিন বার্গার
সূত্র

পরিষ্কার করা, রাসেল প্রথমে অন্যতম চেষ্টা । যদিও তিনি একপ্রকার স্বীকৃত পরাজয় (স্বল্পতার স্বাদ সহ), যদিও।

— কোডি

@ কোডি আমি এই প্রচেষ্টাগুলির ইতিহাসের সাথে খুব বেশি পরিচিত নই। ওয়েয়েল (এবং এস ফেফারম্যান) তাদের প্রচেষ্টায় কতটা সফল হয়েছে? এমএলটিটি / হট অবশ্যই কাজ করবে, আমি বলব।

— মার্টিন বার্গার 21

মূলত, ওয়েল চূড়ান্তভাবে সফল, অর্থাৎ বিশ্লেষণের বেশিরভাগ কর্পাস দ্বিতীয় তৃতীয় আদেশের (অনিবার্য) গণিতের কাছে আবেদন না করে আনুষ্ঠানিকভাবে আনতে পারেন। কাজের দেহটি বিপরীত গণিতের অংশে পরিণত হয়েছে যা আপনার কতটা "অবিমিশ্রিততা" দরকার তা সুনির্দিষ্টভাবে মাপ দেয়।

— কোডি

এটা সত্য নয় যে প্রুফ থিওরিটি "অদ্ভুত অর্ডিনাল কন্সট্রাকশনস" দ্বারা অবিশ্বাস্য সংজ্ঞা ছাড়াই সমস্ত গণিতকে গড়ে তুলতে পারে। বিষয়টি হ'ল প্রুফ তত্ত্বটি শূন্যতার মধ্যে করা হয় নি, তবে একটি আনুষ্ঠানিক পদ্ধতিতে, যা নিজেই কিছু প্রমাণ-তাত্ত্বিক অর্ডিনাল ধারণ করে যে এটি সুপ্রতিষ্ঠিত প্রমাণ করতে অক্ষম। সুতরাং এই সাধনা অবশ্যই 'নীচে' পৌঁছাতে পারে না। কিছু লজিস্টিয়ানরা মনে করেন যে Γ [0] হ'ল প্রথম অবিশ্বাস্য অর্ডিনাল, এবং যদি তা হয় তবে আপনি আটকে থাকেন এবং এটিআরটিএসিকে এটিআরটিজিকে যথাযথ প্রমাণ করতে পারবেন না। যদি তা না হয় তবে আপনার ন্যায়সঙ্গত হওয়া দরকার যে is [0] ভবিষ্যদ্বাণীমূলক। কিভাবে আপনি?

— ব্যবহারকারী 21820

@ ব্যবহারকারী21820 আমি বলিনি যে সমস্ত গণিত অবিশ্বাস্য সংজ্ঞা ছাড়াই গড়ে উঠতে পারে, এটি একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন।

— মার্টিন বার্গার

প্রকার তত্ত্বগুলি মূলত আর্থ-প্রযুক্তিগত কারণে প্রবণতাবাদের দিকে ঝুঁকছে।

প্রথমত, অবিশ্বস্ততার অনানুষ্ঠানিক ধারণাটি (কমপক্ষে) দুটি ভিন্ন উপায়ে আনুষ্ঠানিকভাবে তৈরি করা যেতে পারে। প্রথমত, আমরা বলি যে সিস্টেম এফের মতো টাইপ থিওরিটি অবিশ্বাস্য কারণ ধরণের পরিমাণ নির্ণয় সমস্ত ধরণের (কোয়ান্টিফায়ার সম্পর্কিত ধরণের অন্তর্ভুক্ত) সহ বিস্তৃত হতে পারে। সুতরাং আমরা জেনেরিক পরিচয় এবং রচনা অপারেটরগুলি সংজ্ঞায়িত করতে পারি:

\begin{array}{lclll} আমি ঘ & : & \forall একটি । একটি \to একটি & = & Λ একটি । λ এক্স । এক্স \\ গ ণ মি পি ণ গুলি ই & : & \forall একটি, খ, গ । (একটি \to খ) \to (খ \to গ) \to (একটি \to গ) & = & Λ একটি, খ, গ । λ চ, ছ । λ এক্স । ছ (চ এক্স) \end{array}

$\begin{array}{lclll} \mathit{id} & : & \forall a.\; a \to a & = & \Lambda a.\;\lambda x.\;x\\ \mathit{compose} & : & \forall a, b, c.\; (a \to b) \to (b \to c) \to (a \to c) & = & \Lambda a,b,c.\lambda f, g. \lambda x. g(f\;x) \end{array}$

তবে লক্ষ করুন যে স্ট্যান্ডার্ড (উদাঃ, জেডএফসি) সেট তত্ত্বে এই ক্রিয়াকলাপগুলি অবজেক্ট হিসাবে নির্দিষ্ট নয় । সেট তত্ত্বে "পরিচয় ফাংশন" বলে কোনও জিনিস নেই , কারণ একটি ফাংশন একটি ডোমেন সেট এবং কোডোমেন সেট এর মধ্যে সম্পর্ক এবং যদি একটি একক ফাংশনটি পরিচয় ফাংশন হতে পারে তবে আপনি সেটটি নির্মাণে এটি ব্যবহার করতে পারেন সব সেট। (এটি মূলত জন রেনল্ডস দেখিয়েছিলেন যে সিস্টেম-এফ স্টাইলের বহুবর্ষে কোনও সেট-তাত্ত্বিক মডেল নেই))

$X$ $S$ $P$ $X$ $P$ $X$

সুতরাং এফ-শৈলীর অবিশ্বাস্যতা সেট হিসাবে প্রকারের নির্লজ্জ দর্শনের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ নয়। আপনি যদি প্রুফ অ্যাসিস্ট্যান্ট হিসাবে টাইপ থিওরি ব্যবহার করেন তবে আপনার সরঞ্জামটিতে স্ট্যান্ডার্ড গণিত সহজেই বন্দর করতে সক্ষম হওয়াই ভাল, এবং তাই এই জাতীয় সিস্টেমগুলি প্রয়োগকারী বেশিরভাগ লোক কেবল অবিশ্বাস্যতা সরিয়ে দেয়। এইভাবে সমস্ত কিছুতে একটি সেট-তাত্ত্বিক এবং টাইপ-তাত্ত্বিক পাঠ উভয়ই থাকে এবং আপনার পক্ষে যে কোনও ফ্যাশন সবচেয়ে সুবিধাজনক তা আপনি প্রকারের ব্যাখ্যা করতে পারেন।

— নীল কৃষ্ণস্বামী
সূত্র

N

$\mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$