স্বতন্ত্র সেটগুলির জন্য সম্পত্তি পরীক্ষা করা

Question

মনে করুন আমরা একটি গ্রাফ এবং প্যারামিটার । জন্য মূল্যবোধের সেখানে রেঞ্জ হয় (অথবা এটা সবার জন্য doable হয় ) যার জন্য পরীক্ষা করা সম্ভব কিনা হয় -far অন্তত আকার একটি স্বাধীন সেট থাকার থেকে সময় ?$G$$k,\epsilon$$k$$k$$G$$\epsilon$$k$$O(n + \text{poly}(1/\epsilon))$

যদি আমরা $\epsilon$ -far এর সাধারণ ধারণাটি ব্যবহার করি (যেমন সর্বাধিক \ এপসিলন এন ^ 2$\epsilon n^2$ প্রান্তগুলি এমন সেট প্রাপ্তির জন্য পরিবর্তন করা দরকার), তবে সমস্যাটি কে = ও (এন \ স্ক্রিট { for) এর জন্য নগণ্য is epsilon})$k = O(n\sqrt{\epsilon})$ । সুতরাং

• দেখে মনে হয় যে $k$ যদি বড় হয় তবে কিছু স্যাম্পলিং আইডিয়াগুলি সমস্যার সমাধান করার জন্য কাজ করা উচিত। এটা কি সত্যি ?
• আছে কি কেউ অন্য ধারণার $\epsilon$ -far (অর্থাত হয়তো $\epsilon |E|$ প্রান্ত পরিবর্তে) যার অধীনে আছে nontrivial ফলাফল নেই?

আমি মূলত এই সময়ে রেফারেন্স খুঁজছি।

Answer 1

এই সমস্যাটি সত্যই অধ্যয়ন করা হয়েছে। গোল্ডরিচ, গোল্ডওয়াসার এবং রন তাদের সেমিনাল পেপারে এটি অধ্যয়ন করেছিলেন যা গ্রাফের সম্পত্তি সংক্রান্ত পরীক্ষা শুরু করেছিল এবং তারপরে, ফেইজি, ল্যাংবার্গ এবং শ্যাচম্যানও তাদের ফলস '02 পেপারে "ছোট ভেক্টর ক্রোম্যাটিক সংখ্যা এবং বিশাল ক্রোম্যাটিক সংখ্যার গ্রাফগুলিতে" এর ফলাফল পেয়েছে " ।

বিশেষ করে, [FLS '02] শো এক সাইজ একটি স্বাধীন সেট দিয়ে গ্রাফ মধ্যে প্রভেদ করতে পারে গ্রাফ থেকে তাই হওয়া থেকে -far (অর্থাত, অন্তত প্রান্ত যেমন তৈরি করতে অপসারণ করা প্রয়োজন একটি স্বতন্ত্র সেট) দ্বারা অনুপ্রাণিত একটি এলোমেলো অনুচ্ছেদ নির্বাচন করে এবং এলোমেলো অনুচ্ছেদে আকারের একটি স্বাধীন সেট আছে কিনা তা পরীক্ষা করে ho বা না. ([GGR '98] এ একটি দুর্বল আবদ্ধ দেখিয়েছেন এর [FLS '02] এছাড়াও উপর একটি নিম্ন আবদ্ধ করে।) এর ।$\rho n$$\epsilon$$\epsilon n^2$$s = \tilde{O}(\rho^4/\epsilon^3)$$\rho s$$s$$\tilde{O}(\rho/\epsilon^4)$$s$$\Omega(\rho^3/\epsilon^2)$

Answer 2

এপসিলন-ক্লোজ একটি স্বতন্ত্র সেটে অন্য প্রাকৃতিক সংজ্ঞাটি প্রান্তগুলি পরিবর্তন করছে । এই সংজ্ঞা সম্পত্তি টেস্টিংয়ের সাথে দুর্ভাগ্যসূচী করা বহনযোগ্য সময় হিসাবে সমাধানযোগ্য বলে মনে হয় না। কারণটি হ'ল ices than সময়ের চেয়ে দ্রুততর র‌্যাঙ্কের একটি এলোমেলো গ্রাফের উল্লম্বের একটি রোপিত চক্র (এবং একইভাবে স্বতন্ত্র সেট) কীভাবে পাওয়া যায় তা কেউ জানে না । কেউ দেখাতে পারেন যে একটি উপগ্রহ যা গড়ের তুলনায় খানিকটা কম থাকে তা বহুকালীন সময়ে রোপিত চক্রটি খুঁজে পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এই জন্য আপনার সমস্যার এই বৈকল্পিক জন্য বহুপদী সময় অ্যালগরিদম সেখানে হচ্ছে বিরুদ্ধে প্রমাণ মধ্যে এবং ।$\epsilon$$\epsilon k^2$$o(\sqrt{n})$$n$$n^{O(\log n)}$$k$$\log n$$\sqrt{n}$

তথ্যসূত্র: ফিজ এবং ক্রৌথগামার। একটি সেমিরাডম গ্রাফে একটি বড় লুকানো চক্র সন্ধান এবং প্রমাণীকরণ, 1999।