চার্চ সংখ্যার জন্য কেন অন্তর্ভুক্তির নীতি ঘোষণা করা অসম্ভব

কল্পনা করুন, আমরা নির্ভরশীলভাবে টাইপ করা ল্যাম্বদা ক্যালকুলাসকে চার্চের সংখ্যা হিসাবে প্রাকৃতিক সংখ্যার সংজ্ঞা দিয়েছি। সেগুলি নিম্নলিখিত উপায়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে:

SimpleNat = (R : Set) → R → (R → R) → R

zero : SimpleNat
zero = λ R z _ → z

suc : SimpleNat → SimpleNat
suc sn = λ R z s → s (sn R z s)

SimpleNatRec : (R : Set) → R → (R → R) → SimpleNat → R
SimpleNatRec R z s sn = sn R z s

তবে মনে হয় যে আমরা চার্চের সংখ্যাকে নিম্নলিখিত ধরণের আনয়ন নীতি দিয়ে সংজ্ঞায়িত করতে পারি না:

NatInd : (C : Nat -> Set) -> (C zero) -> ((n : Nat) -> C n -> C (suc n)) -> (n : Nat) -> (C n)

এটা এমন কেন? আমি কীভাবে এটি প্রমাণ করতে পারি? দেখে মনে হচ্ছে সমস্যাটি নাটের জন্য একটি ধরণের সংজ্ঞা দেওয়ার সাথে রয়েছে যা পুনরাবৃত্ত হয়। এটি অনুমোদনের জন্য ল্যাম্বডা ক্যালকুলাস সংশোধন করা সম্ভব?

type-theory lambda-calculus dependent-type

— কনস্ট্যান্টিন সোলোমাটোভ
সূত্র

আপনি যে প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করছেন তা আকর্ষণীয় এবং পরিচিত। আপনি প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির তথাকথিত অবিশ্বাস্য এনকোডিং ব্যবহার করছেন। আমাকে কিছুটা পটভূমি ব্যাখ্যা করতে দিন।

একটি টাইপ কন্সট্রাকটর দেওয়া , আমরা "ন্যূনতম" টাইপ আগ্রহী হতে পারে পরিতৃপ্ত । বিভাগের তত্ত্বের ক্ষেত্রে হ'ল ফান্টেক্টর এবং হ'ল প্রাথমিক লেজেব্রা। উদাহরণস্বরূপ, যদি তবে প্রাকৃতিক সংখ্যার সাথে মিলে যায়। যদি $T : \mathsf{Type} \to \mathsf{Type}$ $A$ $A \cong T(A)$ $T$ $A$ $T$ $T(X) = 1 + X$ $A$ তারপর সীমাবদ্ধ বাইনারি গাছের ধরণ type $T(X) = 1 + X \times X$ $A$

দীর্ঘ ইতিহাস সহ একটি ধারণা হ'ল প্রাথমিক লেজেব্রা হ'ল টাইপ (আপনি নির্ভরশীল পণ্যগুলির জন্য আগদা স্বরলিপি ব্যবহার করছেন তবে আমি আরও বেশি traditionalতিহ্যগত গাণিতিক স্বরলিপি ব্যবহার করছি)) কেন এটি হওয়া উচিত? আচ্ছা, প্রাথমিকভাবে প্রাথমিক বেলজিব্রা জন্য পুনরাবৃত্তি নীতিটি এনকোড করে : কোনও কাঠামোর আকারের সাথে কোনও লেজেব্রা $T$

একজন : = \underset{এক্স : টি Y পি ই}{Π} (টি (এক্স) \to এক্স) \to এক্স ।

$A \mathrel{{:}{=}} \prod_{X : \mathsf{Type}} (T(X) \to X) \to X.$

A

$A$

T

$T$

T

$T$

Y

$Y$

, আমরা একটি বীজগণিত হোমোমর্ফিিজম পাই

f : T (Y) \to Y

$f : T(Y) \to Y$

ϕ : A \to Y

$\phi : A \to Y$

এতে দেখা যায় যে

হয়স্বাস্থ্যহীননিশ্চিত জন্য প্রারম্ভিক। এটি প্রাথমিক হওয়ার জন্য আমাদের জানতে হবে যে

পাশাপাশি অনন্য। এটি আরও অনুমান ব্যতীত সত্য নয়, তবে বিশদটি প্রযুক্তিগত এবং বাজে and উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, আমরা একটি সন্তোষজনক দেখাতে পারেন যে যদি parametricty উপপাদ্যতারপর আমরা win কিন্তু এছাড়াও আছে (যেমন সংজ্ঞা মালিশ হিসাবে অন্যান্য পদ্ধতি

এবং অভিমানী

-axiom এবং ফাংশন extensionality)।

ϕ (a) = a Y f .

$\phi(a) = a \, Y \, f.$

A

$A$

ϕ

$\phi$

A

$A$

K

$K$

$T(X) = 1 + X$

N a t = \prod_{X : T y p e} ((1 + X) \to X) \to X = \prod_{X : T y p e} (X \times (X \to X)) \to X = \prod_{X : T y p e} X \to (X \to X) \to X .

$\mathsf{Nat} = \prod_{X : \mathsf{Type}} ((1 + X) \to X) \to X = \prod_{X : \mathsf{Type}} (X \times (X \to X)) \to X = \prod_{X : \mathsf{Type}} X \to (X \to X) \to X.$

আপনার প্রশ্নের তাত্ত্বিক উত্তরটি হ'ল: টাইপ থিওরির এমন কিছু মডেল SimpleNatরয়েছে যার মধ্যে এই ধরণের বিদেশী উপাদান রয়েছে যা সংখ্যার সাথে মিল রাখে না এবং তদ্ব্যতীত, এই উপাদানগুলি আনয়ন নীতিটি ভেঙে দেয়। টাইপ SimpleNatএইসব মডেল অত্যন্ত বড় এবং শুধুমাত্র একটি হল দুর্বল প্রাথমিক বীজগণিত।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার
সূত্র

সে ব্যাপারে আমি সম্মত উত্তর মহান, কিন্তু কয়েক রেফারেন্স এখানে দরকারী হতে পারে: আনয়ন অ-derivability উপর Geuvers 'কাগজ এবং নীল কে এবং parametricity থেকে (কিছু) আনয়ন পেয়ে ডেরেক Dreyer এর কাগজ । যদিও আমি এমন কোনও কাগজ সম্পর্কে অবগত নই যা সম্পর্কের পুরোপুরি অনুসন্ধান করে।

— কোডি

আমি এই অঞ্চলের রেফারেন্সগুলিতে খুব দৃ not় নই, ধন্যবাদ @ কোডি!

— আন্দ্রেজ বাউয়ার