এই আচ্ছাদন সমস্যার জটিলতা জানা যায়?

Question

দিন $G=(V,E)$একটি গ্রাফ হতে একটি ভার্টেক্স সেট$X\subseteq V$বলা হয় সমালোচনা হয়$X\neq\emptyset$ এবং কোন প্রান্তবিন্দু নেই $V\setminus X$ একেবারে একটি ভার্টেক্সের সাথে সংলগ্ন $X$। সমস্যাটি হ'ল একটি ভার্টেক্স সেট সেট করা$S\subseteq V$ ন্যূনতম আকারের যে $S\cap X\neq\emptyset$ প্রতিটি সমালোচনামূলক সেট জন্য $X$।

সমস্যাটির নিম্নলিখিত গুজব ছড়িয়ে দেওয়ার ব্যাখ্যা রয়েছে: ভার্টেক্স $i$ গুজব ছড়িয়ে পড়ে তার প্রতিবেশীর কাছে $j$ যদি এবং কেবলমাত্র যদি অন্য সমস্ত প্রতিবেশী থাকে $i$ইতিমধ্যে অবহিত করা হয়। প্রশ্নটি তখন সবাইকে অবশেষে অবহিত করা হয়েছে তা নিশ্চিত করার জন্য আমাকে প্রাথমিকভাবে কতগুলি শীর্ষে অবহিত করতে হবে তা জানাতে হবে।

Comments

এটির একটি খুব সহজ সমাধান রয়েছে, সুতরাং সম্ভবত সমস্যাটির নির্দিষ্টকরণের চেয়ে আরও বেশি শর্ত রয়েছে; বিশেষ ক্ষেত্রে উপেক্ষা$X=V$ এবং যদি $G$ সংযুক্ত, প্রতিটি শীর্ষবিন্দু $v$ ডিগ্রি সহ $>1$ একটি সমালোচনা সেট আছে $V\setminus\{v\}$ এটির সাথে সম্পর্কিত, সুতরাং কেবলমাত্র 1 ডিগ্রি বিশিষ্ট প্রতিবেশীরা থাকতে পারে $S$। যদি এই জাতীয় একটি ভার্টেক্স উপস্থিত থাকে, তবে$G$ একটি তারকা গ্রাফ এবং এর কেন্দ্র (একক হিসাবে) এক অনন্য ন্যূনতম $S$। যদি$G$সংযুক্ত নেই প্রতিটি সংযুক্ত উপাদানটি দেখুন।

— জো বেবেল

একটি তারা জন্য $K_{1,n}$ সঙ্গে $n\geqslant 2$পাতাগুলি, দুটি পাতার প্রতিটি সেট সমালোচনাযোগ্য এবং তাই সর্বোত্তম সমাধানটি পাতা নেওয়া take $n-1$

— টমাস ক্যালিনোভস্কি

ওহ, আমি আমার ভুল ইন্টারপেটেশনটি দেখছি

— জো বেবেল

খুব আকর্ষণীয় প্রশ্ন, একটি ছোটখাটো বাচ্চা: আপনি সম্ভবত আপনার সমালোচনামূলক সেটগুলি উদাসীন হতে হবে (অন্যথায় কোনও )। $S$

— ক্লাউস ড্র্রেজার

@JoeBebel: সিদ্ধান্ত সমস্যা "একটি সমাধান সেট করা হয় সর্বাধিক আকারের ?" এনপি-তে রয়েছে। কোনও সেট নিম্নলিখিত অ্যালগরিদমের দ্বারা সমাধান কিনা তা আপনি পরীক্ষা করতে পারেন । যদিও সেখানে প্রান্তবিন্দু হয় যা ঠিক প্রতিবেশী শুনতে হয়েছে বাহিরে , অ্যাড থেকে । যদি অবশেষে সমস্ত কোণে থাকে তবে আপনার প্রাথমিক সেটটি একটি সমাধান ছিল, অন্যথায় আপনি আটকে যান, এবং চূড়ান্ত সেটটির পরিপূরক একটি সমালোচনামূলক সেট, সুতরাং প্রাথমিক কোনও সমাধান ছিল না। $S$$K$$S$$v\in S$$w$$S$$w$$S$$S$$S$

— টমাস ক্যালিনোভস্কি

Answer 1

সমস্যাটি প্রচারের সমস্যা হিসাবে পরিচিত । Aazami তার মধ্যে প্রমাণিত হয়েছে পিএইচডি থিসিস ভরযুক্ত সংস্করণ দ্বারা NP-সম্পূর্ণ হয়েছে এমনকি যখন গ্রাফ প্ল্যানার এবং নোড ওজন হয় । অদম্য সংস্করণটির জটিলতা একটি উন্মুক্ত সমস্যা বলে মনে হচ্ছে।$\{0,1\}$