একটি টাইপযুক্ত ল্যাম্বডা ক্যালকুলাস আছে যা সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং ট্যুরিং সম্পূর্ণ?

কার্পে-হাওয়ার্ডের চিঠিপত্রের অধীনে সম্পর্কিত লজিকটি কি কোনও টাইপযুক্ত ল্যাম্বডা ক্যালকুলাস আছে এবং যেখানে প্রতিটি গণনীয় কার্যের জন্য টাইপযোগ্য ল্যাম্বডা এক্সপ্রেশন রয়েছে?

এটি স্বীকৃতভাবে একটি অনর্থক প্রশ্ন, "টাইপড ল্যাম্বদা ক্যালকুলাস" এর একটি সংক্ষিপ্ত সংজ্ঞা নেই। আমি মূলত ভাবছি যে কিনা (ক) এর পরিচিত উদাহরণ রয়েছে, বা (খ) এই অঞ্চলে কোনও কিছুর জন্য জানা অসম্ভব প্রমাণ রয়েছে কিনা।

সম্পাদনা: @ কোডি নীচে তার উত্তরে এই প্রশ্নের একটি নির্ভুল সংস্করণ দেয়: এখানে কি কোনও যৌক্তিক খাঁটি টাইপ সিস্টেম (এলপিটিএস) রয়েছে যা সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং ট্যুরিং সম্পূর্ণ (নীচে সংজ্ঞায়িত অর্থে)?

— মরগান থমাস
সূত্র

এমন কোন পুনরাবৃত্তিমূলক অ্যাক্টিওমাটিজেবল ক্যালকুলাস (ল্যাম্বডা বা অন্যথায়) নেই যার সম্ভাব্য মোট পুনরাবৃত্ত ক্রিয়াকলাপগুলি সমস্ত পুনরাবৃত্ত ফাংশন, তাই আপনার ক্যালকুলাসটি অ-সমাপ্ত শর্তাদি জড়িত থাকতে হবে।

— এমিল জেবেক

এই উত্তরটি একটি উপপাদ্য যা বলেছে তুমি থাকতে পারে না হয়েছে কোনো ক্যালকুলাস সাজানোর যে উভয় টুরিং-সম্পূর্ণ এবং মোট।

— আন্দ্রেজ বাউর

একবার আপনি যথেষ্ট পরিমাণে সুনির্দিষ্ট করে তুললে এটি সম্ভবত আপনার প্রশ্নের উত্তর দেবে। আমি মনে করি আন্ড্রেজের প্রমাণ অহেতুক জটিল (তবে এটি আরও দেখায়): বিন্দুটি হ'ল যদি এমন একটি কার্যকরভাবে বর্ণনা করা সিস্টেম থাকে যেখানে সমস্ত পুনরাবৃত্ত ফাংশন এমনভাবে উপস্থাপিত হত যে আপনি সিন্টেক্সিকভাবে প্রমাণ করতে পারবেন যে কোনও অভিব্যক্তি একটি সত্যর উপস্থাপনা রিকার্সিভ ফাংশন (উদাহরণস্বরূপ, এটি সিস্টেমে সঠিকভাবে টাইপ করা হয়েছে কিনা তা পরীক্ষা করে), তবে আপনি একটি সর্বজনীন মোট পুনরাবৃত্ত ফাংশন পাবেন যা অসম্ভব।

— এমিল জেব্যাক মনিকা 22

অবশ্যই প্রশ্ন এই ধরনের একটি ক্লাসিক উত্তর হতে পারে: টাইপ

-calculus সঙ্গে ছেদ ধরনের , যেহেতু এটি ধরনের যে (এবং কেবলমাত্র সেই) পদ যা দৃঢ়ভাবে স্বাভাবিক হয়। এটি ক্যালকুলাস যদিও "কারি-হাওয়ার্ড ব্যাখ্যা" স্বীকার করে কিনা তা জিজ্ঞাসা করা আরও দার্শনিক প্রশ্ন of

λ

$\lambda$

— কোডি

এখানে আরও নির্ভুল হওয়া শক্ত কারণ প্রশ্নটি সুনির্দিষ্ট নয়।

— আন্দ্রেজ বাউর

উত্তর:

ঠিক আছে আমি এটিতে একটি ক্র্যাক দেব: সাধারণত একটি প্রদত্ত টাইপ সিস্টেম , নিম্নলিখিতটি সত্য: $T$

যদি ক্যালকুলাস সব ঠিক-টাইপ পদ স্বাভাবিক হয়, তারপর হল সামঞ্জস্যপূর্ণ একটি যুক্তিবিজ্ঞান হিসেবে দেখা। $T$ $T$

প্রমাণ সাধারণত অভিমানী আপনি একটি শব্দ আছে দ্বারা আয় ধরনের , বিষয় হ্রাস ব্যবহার করে একটি স্বাভাবিক ফর্ম পেতে, এবং তারপর এই ধরনের একটি মেয়াদ কাঠামো আনয়ন দ্বারা অগ্রসর একটি অসঙ্গতি জন্য। $\mathrm{absurd}$ $\mathrm{False}$

কনভার্সটি হ'ল অর্থাত্ আশ্চর্য হওয়া স্বাভাবিক

কোনো ধরনের সিস্টেমের জন্য , যদি হল কথাটি সামঞ্জস্যপূর্ণ , তারপর প্রতিটি ভালভাবে টাইপ করা শব্দ স্বাভাবিক হয়। $T$ $T$ $T$

এটির সাথে সমস্যাটি হ'ল "টাইপ সিস্টেম" এর সত্যিকারের সর্বাধিক সাধারণ ধারণা নেই, এবং এই জাতীয় সিস্টেমগুলির জন্য যৌক্তিক ধারাবাহিকতার অর্থ সম্পর্কে কম চুক্তিও নেই। যাইহোক, আমরা অনুগতভাবে তা যাচাই করতে পারি

জন্য সবচেয়ে পরিচিত টাইপ সিস্টেম যা একটি লজিক্যাল ব্যাখ্যা আছে, বিপরীতটি প্রকৃতপক্ষে রাখা নেই।

ট্যুরিং কমপ্লিটনেসে এই টাই কীভাবে হয়? ওয়েল, এক, যদি টাইপ-পরীক্ষণ হয় নির্ধার্য , তারপর Andrej এর যুক্তি শো নিম্নলিখিত এক আবশ্যক রাখা:

সব ভাল টাইপ প্রোগ্রাম সেট করা হয় না সমাপ্তি টুরিং।
একটি নন-টার্মিনেটিং ওয়েল টাইপড প্রোগ্রাম রয়েছে।

এটি প্রস্তাব দেয় যে:

প্রকার ব্যবস্থা যা একটি লজিক্যাল ব্যাখ্যা আছে এবং সামঞ্জস্যপূর্ণ হয় এবং গণনীয় যাও recursively হয় না সমাপ্তি টুরিং।

কোনও পরামর্শের পরিবর্তে প্রকৃত উপপাদ্য দেওয়ার জন্য টাইপ সিস্টেমগুলির ধারণা এবং যৌক্তিক ব্যাখ্যাগুলি গণিতের সাথে সঠিকভাবে তৈরি করা প্রয়োজন।

এখন দুটি মন্তব্য মাথায় আসে:

একটি অনির্বাচিত টাইপ সিস্টেম রয়েছে, ছেদটি টাইপ সিস্টেমটি যার যৌক্তিক ব্যাখ্যা রয়েছে এবং প্রতিটি নরমালাইজিং -আর্টমকে উপস্থাপন করতে পারে । আপনি মন্তব্য হিসাবে, এটি ট্যুরিং কমপ্লিট হিসাবে সম্পূর্ণরূপে একরকম নয়, কারণ মোট ফাংশনের ধরণের পছন্দসই যুক্তি প্রয়োগ করার আগে আপডেট করা (পরিশ্রুত, আসলে) প্রয়োজন হতে পারে। ক্যালকুলাস একটি "তরকারি শৈলী" ক্যালকুলাস এবং STLC + এ সমান $\lambda$ এবং
$\frac{Γ ⊢ এম : τ Γ ⊢ এম : σ}{Γ ⊢ এম : τ \cap σ}$ $\frac{\Gamma\vdash M:\tau\quad \Gamma\vdash M:\sigma}{\Gamma\vdash M:\tau\cap\sigma}$ এটি স্পষ্ট যে "ব্যাখ্যা"একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ যৌক্তিক ব্যাখ্যার দিকে পরিচালিত করে। $\frac{Γ ⊢ এম : τ \cap σ}{Γ ⊢ এম : τ} \frac{Γ ⊢ এম : τ \cap σ}{Γ ⊢ এম : σ}$ $\frac{\Gamma\vdash M:\tau\cap\sigma}{\Gamma\vdash M:\tau}\quad \frac{\Gamma\vdash M:\tau\cap\sigma}{\Gamma\vdash M:\sigma}$ $\cap=\wedge$
খাঁটি টাইপ সিস্টেমগুলির একটি ধরণের সিস্টেম রয়েছে, যাতে এই জাতীয় প্রশ্নটি সুনির্দিষ্ট করা যেতে পারে। তবে এই কাঠামোর মধ্যে, যৌক্তিক ব্যাখ্যা কম স্পষ্ট। কেউ বলতে প্ররোচিত হতে পারে: "একটি পিটিএসের যদি একটি জনহীন প্রকার থাকে তবে এটি সামঞ্জস্যপূর্ণ"। তবে এটি কার্যকর হয় না, যেহেতু প্রকারগুলি বিভিন্ন "মহাবিশ্বে" থাকতে পারে, যেখানে কিছু সংগত হতে পারে এবং কিছু নাও পারে। কোকোয়াড এবং হার্বেলিন লজিকাল পিউর টাইপ সিস্টেমগুলির একটি ধারণা সংজ্ঞায়িত করে , যেখানে প্রশ্নটি বোঝায় এবং দেখায়

প্রতিটি অসঙ্গতিপূর্ণ, অ-নির্ভরশীল এলপিটিএসের একটি লুপিং কম্বিনেটর থাকে (এবং তাই টিউরিং সম্পূর্ণ)

যা এক্ষেত্রে প্রশ্নের এক দিক (বেমানান টিসি) উত্তর দেয় । আমি যতদূর জানি, সাধারণ এলপিটিএসের জন্য প্রশ্ন এখনও উন্মুক্ত এবং বেশ কঠিন। $\Rightarrow$

সম্পাদনা: কোকোয়াড-হারবেলিন ফলাফলের কথোপকথনটি আমি যতটা ভাবছিলাম তত সহজ নয়! আমি এতদূর যা নিয়ে এসেছি তা এখানে।

একটি লজিক্যাল বিশুদ্ধ প্রকার সিস্টেম সঙ্গে একটি PTS (অন্তত) প্রকারের হয় এবং , (অন্তত) সবর্জনবিদিত এবং (অন্তত) নিয়ম , আরও প্রয়োজনীয়তার সাথে যে ধরণের প্রকার নেই । $\mathrm{Prop}$ $\mathrm{Type}$ $\mathrm{Prop}:\mathrm{Type}$ $(\mathrm{Prop},\mathrm{Prop},\mathrm{Prop})$ $\mathrm{Prop}$

এখন আমি টুরিং সম্পূর্ণতার একটি বিশেষ বিবৃতি অনুমান করা যাচ্ছে না: একটি LPTS ঠিক দিন প্রসঙ্গ হতে $L$ $\Gamma$

Γ = n a t : P r o p, 0 : n a t, S : n a t \to n a t

$\Gamma = \mathrm{nat}:\mathrm{Prop},\ 0:\mathrm{nat},\ S:\mathrm{nat}\rightarrow \mathrm{nat}$

করা হয়সম্পূর্ণ টুরিংপ্রত্যেক মোট গণনীয় ফাংশন জন্য iff একটি শব্দ আছে যেমন যে এবং প্রতি জন্য $L$ $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $t_f$

Γ ⊢ t_{f} : n a t \to n a t

$\Gamma \vdash t_f : \mathrm{nat}\rightarrow \mathrm{nat}$

n \in N

$n\in\mathbb{N}$

t_{f} (S^{n} 0) \to_{β}^{*} S^{f (n)} 0

$t_f\ (S^n\ 0)\rightarrow^*_{\beta} S^{f(n)}\ 0$

এখন Andrej এর diagonalization যুক্তি শো সেখানে অ সসীম আছে টাইপ । $t$ $\mathrm{nat}$

এখন মনে হচ্ছে আমরা সেখানে আধপথ! একটি অ সসীম শব্দটি দেওয়া , আমরা এর ঘটনার প্রতিস্থাপন করতে চান কিছু জেনেরিক টাইপ দ্বারা এবং পরিত্রাণ পেতে এবং এ , এবং আমরা আমাদের অসঙ্গতি থাকবে ( বসবাস করে প্রসঙ্গে )! $\Gamma \vdash \mathrm{loop}:\mathrm{nat}$ $\mathrm{nat}$ $A$ $0$ $S$ $\Gamma$ $A$ $A:\mathrm{Prop}$

দুর্ভাগ্যক্রমে এখানেই আমি আটকে যাই, যেহেতু সনাক্তকরণের মাধ্যমে প্রতিস্থাপন করা সহজ তবে থেকে পরিত্রাণ পাওয়া খুব শক্ত। আদর্শভাবে আমরা কিছু ক্লিন পুনরাবৃত্তি উপপাদকটি ব্যবহার করতে চাই, তবে আমি এখনও এটি খুঁজে পাইনি। $S$ $0$

— কোডি
সূত্র

ঠিক আছে, তাই আপনার মন্তব্য সম্পর্কে প্রথম দুটি স্পষ্টতা (1)। ছেলের ধরণের এই সিস্টেমটি পুনরাবৃত্তিযোগ্যভাবে গণনাযোগ্য নয় বলে আপনি কী বোঝাতে চাইছেন? অবশ্যই সিস্টেমের উপপাদাগুলির সেটটি পুনরায়, কারণ আপনি এটিকে একটি সরল ক্রমবর্ধমান ক্যালকুলাস হিসাবে দিয়েছেন। এছাড়াও, আপনি যে কাগজের সাথে লিঙ্ক করেছেন তাতে প্রমাণিত ফলাফলটি হ'ল সিস্টেমে টাইপযোগ্য পদগুলি হ'ল দৃ the়ভাবে স্বাভাবিক করার শর্তাবলী; তবে এটি মোট কম্পিউটারের সঠিক কর্ম টাইপ করতে পারে তা বলার চেয়ে আলাদা নয়? যেমন নয়,

দৃ strongly়ভাবে স্বাভাবিককরণ, কিন্তু মোট নয়?

λ x . x x

$\lambda x. xx$

— মরগান থমাস

আপনার মন্তব্য সম্পর্কে একটি প্রশ্ন (2)। এটি আমার কাছে তাত্ত্বিকের মতো বলে মনে হচ্ছে যা আপনি উদ্ধৃত করেছেন তা নয় It এটি বলছে যে প্রতিটি অ-নির্ভরশীল এলপিটিএসের ক্ষেত্রে যদি এটি বেমানান হয় তবে তা ট্যুরিং সম্পূর্ণ। তবে আমরা জানতে চাই যে প্রতিটি এলপিটিএসের জন্য কিনা, যদি এটি ট্যুরিং সম্পূর্ণ হয় তবে এটি বেমানান। আমি কি এখানে কিছু ভুল বুঝছি?

— মরগান থমাস

@MorganThomas: আহ, আপনি প্রথম বিন্দু সম্পর্কে সঠিক আছেন: কি আমি একথা বলতে চাচ্ছিল যে টাইপ সিস্টেম হতে পারে না নির্ধার্য , যে দেওয়া

, বিবৃতি

undecidable হয়। আমি পোস্টে এটি সংশোধন করব।

Γ, t, A

$\Gamma, t, A$

Γ ⊢ t : A

$\Gamma\vdash t:A$

— কোডি

দ্বিতীয় বিষয়: আপনি এটিও সঠিক যে একটির মধ্যে একটি টাইপযুক্ত নন-টোটাল ফাংশন থাকতে পারে (যদিও এটি একটি প্রদত্ত যুক্তিটির সাথে প্রযোজ্য নয়)। আমি উত্তরটি সংশোধন করব।

— কোডি

তৃতীয় পয়েন্ট। তুমি আবার ঠিক! তবে কনভার্সটি (এলপিটিএসের বিশেষ ক্ষেত্রে) বরং তুচ্ছ। আমি যুক্তিটির রূপরেখা দেব।

— কোডি

আমার প্রশ্নের স্নিগ্ধতার @ কোডির একটি বৈকল্পিকের উত্তর এখানে। একটা সামঞ্জস্যপূর্ণ LPTS যা মোটামুটিভাবে সম্পূর্ণ টুরিং হয় @ কোডি এর অর্থে, যদি আমরা অতিরিক্ত উপপাদ্য ব্যবহার ও ভূমিকা অনুমতি -reduction নিয়ম। সুতরাং কঠোরভাবে সিস্টেম কথা বলছে না একটি LPTS; এটি নিছক এক মত কিছু। $\beta$

বাক্য এর ক্যালকুলাস (অথবা আপনার প্রিয় সদস্য বিবেচনা -cube)। এটি একটি এলপটিএস, তবে আমরা অতিরিক্ত স্টাফ যুক্ত করব যা এটি এলপিটিএস নয়। এবং ধ্রুবক যোগ করুন ধ্রুবক প্রতীক চয়ন করুন : $\lambda$ $\text{nat}, 0, S$

⊢ nat : *

$\vdash \text{nat} : \ast$

⊢ 0 : nat

$\vdash 0 : \text{nat}$

⊢ S : nat \to nat

$\vdash S : \text{nat} \to \text{nat}$

ইনডেক্স প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা টুরিং মেশিন প্রোগ্রাম, এবং প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য একটি ধ্রুবক প্রতীক চয়ন সবর্জনবিদিত যোগ করুন, , এবং সবার জন্য , অ্যাড -reduction নিয়ম $e$ $f_e$ $f_e : \text{nat} \to \text{nat}$ $e,x \in \mathbb{N}$ $\beta$

f_{e} (x) \to_{β} Φ_{e} (x),

$f_e(x) \to_\beta \Phi_e(x),$

যেখানে যেমন স্বাভাবিক আউটপুট হয় ম টুরিং মেশিন প্রোগ্রাম । যদি যায় তবে এই নিয়মটি কিছুই করে না। নোট যে এই উপপাদ্য ব্যবহার এবং নিয়ম সিস্টেমের উপপাদ্য যাও recursively গণনীয় থাকা, যদিও তার সেট যোগ করে -reduction নিয়ম আর নির্ধার্য হয়, কিন্তু নিছক যাও recursively গণনীয়। আমি বিশ্বাস করি আমরা সহজেই সেট রাখতে পারে -reduction নিয়ম সিনট্যাক্স মধ্যে গণনার একটি মডেল স্পষ্টভাবে বিবরণ এবং সিস্টেমের নিয়ম আউট বানান দ্বারা নির্ধার্য। $\Phi_e(x)$ $e$ $x$ $\Phi_e(x)$ $\beta$ $\beta$

এখন, এই তত্ত্বটি স্পষ্টতই টুরিং সম্পূর্ণরূপে @ কোডির অর্থে সম্পূর্ণ নিষ্ঠুরতার দ্বারা সম্পূর্ণ; তবে দাবিটি এটিও সামঞ্জস্যপূর্ণ। এর একটি মডেল নির্মাণ করুন।

যাক তিন সেট, এই ধরনের যে হতে: $U_1 \in U_2 \in U_3$

(যেখানে উত্তরসূরি ফাংশন)। $\emptyset, \mathbb{N}, 0, S \in U_1$ $S$
প্রতিটি সেট ট্রানজিটিভ; যদি , তবে । $a \in b \in U_i$ $a \in U_i$
প্রতিটি সেট ফাংশন স্পেস গঠনের অধীনে বন্ধ; অর্থাত, যদি , তারপর । $A, B \in U_i$ $B^A \in U_i$
প্রতিটি সেট নির্ভর পণ্য গঠনের অধীনে বন্ধ থাকে; অর্থাত, যদি এবং , তারপর । $A \in U_i$ $f : A \to U_i$ $\prod_{a \in A} f(a) \in U_i$

এই জাতীয় সেটগুলির অস্তিত্ব অনুসরণ করে, উদাহরণস্বরূপ, জেডএফসিস প্লাস অ্যাক্সিয়াম থেকে প্রতিটি কার্ডিনাল একটি অ্যাক্সেসযোগ্য কার্ডিনাল দ্বারা আবদ্ধ হয়; আমরা প্রতিটি সেট নিতে পারেন একটি Grothendieck মহাবিশ্ব যাবে। $U_i$

আমরা একটি "বিশ্লেষণে" একটি ম্যাপিং হতে সংজ্ঞায়িত উপাদান পরিবর্তনশীল নামের সেট থেকে । একটি ব্যাখ্যা দেওয়া , আমরা একটি ব্যাখ্যা বর্ণনা করতে পারেন স্পষ্ট ভাবে ব্যবস্থার পদ: $v$ $U_2$ $v$ $I_v$

, জন্যএকটি চলক নাম। $I_v(x) = v(x)$ $x$
। $I_v(\ast) = U_1, I_v(\Box) = U_2$
। $I_v(\text{nat}) = \mathbb{N}, I_v(0) = 0, I_v(S) = S$
, অর্থাত্ ফাংশনটি তম টিউরিং প্রোগ্রামদ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। $I_v(f_e) = \Phi_e$ $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ $e$
$I_v(AB) = I_v(A)(I_v(B))$ $I_v(A)$ $I_v(B)$ $I_v(AB) = 0$
$I_v(\lambda x : A. B)$ $a \in I_v(A)$ $I_{v[x:=a]}(B)$
$I_v(\Pi x : A. B) = \prod_{a \in I_v(A)} I_{v[x:=a]}(B)$

$A$ $I_v(A) \in U_3$ $v$ $A : B$ $v \models A : B$ $I_v(A) \in I_v(B)$ $\Gamma \models A : B$ $v$ $v \models x : C$ $(x : C) \in \Gamma$ $v \models A : B$

$\Gamma \vdash A : B$ $\Gamma \models A : B$ , so this is a model of the system. But, for any variables $x,y$ , it is not the case that $y : \ast \models x : y$ , because we can interpret $y$ by $\emptyset$ , so the system is consistent.

Now, this is an answer to my original question, in the sense that this is something that it's reasonable to call a typed lambda calulus, which is consistent and Turing complete. However, it's not an answer to @cody's question, because this is not an LPTS, because of the addition of extra axioms and $\beta$ -reduction rules. I imagine that the answer to @cody's question is much harder.

— Morgan Thomas
সূত্র

This is a nice answer, but I'm not sure you need to go through all those calisthenics to prove consistency: a term of type

A

$A$ in the empty context can be "de-sugared" to a term in the CoC: I'll call the

f_{e} (x) \to Φ_{e} (x)

$f_e(x)\rightarrow \Phi_e(x)$ rules $\iota$ -rules and keep

β

$\beta$ for the usual ones. Perform all

β

$\beta$ -reductions (this terminates since you have only added constants), and replace every term of the form

f_{e} (x)

$f_e(x)$ by its reduct if it has one. The idea here is that the

ι

$\iota$ -rules only operate on ground terms, so you can do all the

β

$\beta$ -reductions first to get them out of the way.

— cody

I think you're right. This is not my field, so I'm a bit clumsy doing things. :-) I think your proof works, and one interesting consequence, if I'm right, is that this theory doesn't have very much consistency strength. It looks like a potentially very powerful theory, since it has types and natural numbers, which should let you interpret set theory; but apparently you can't, because you can prove it consistent without using powerful set theory!

— Morgan Thomas