গ্রাফ যখন সর্বাধিক এক সেন্টে পদচারণা করে থাকে এমন একটি প্রাচ্যকে কখন স্বীকার করে?

Question

নিম্নলিখিত সমস্যা বিবেচনা করুন:

ইনপুট: একটি সাধারণ (পুনর্নির্দেশিত) গ্রাফ $G=(V,E)$।

প্রশ্ন: এর কোন দিক রয়েছে? $G$ সম্পত্তি সন্তুষ্ট যে প্রতিটি জন্য $s,t \in V$ সর্বাধিক এক আছে (নির্দেশিত) $s$-$t$ পদব্রজে ভ্রমণ?

এটি সমানভাবে বর্ণিত হতে পারে:

ইনপুট: একটি সাধারণ (পুনর্নির্দেশিত) গ্রাফ $G=(V,E)$।

প্রশ্ন: এর অ্যাসাইক্লিক ওরিয়েন্টেশন আছে কি? $G$ সম্পত্তি সন্তুষ্ট যে প্রতিটি জন্য $s,t \in V$ সর্বাধিক এক আছে (নির্দেশিত) $s$-$t$ পথেই হাঁটছে?

গ্রাফগুলির শ্রেণিটি কী জন্য যার উত্তরটি "হ্যাঁ"? এই সমস্যাটি কি বহুপদী সময়ে সমাধান করা যায়?

---

কিছু পর্যবেক্ষণ:

1. গ্রাফটি দ্বিপক্ষীয় হলে উত্তরটি "হ্যাঁ"।
2. যদি গ্রাফটির একটি ত্রিভুজ থাকে তবে উত্তরটি "না"।

প্রথম পর্যবেক্ষণটি একটি পার্টিশন থেকে অন্য পার্টিশনে প্রান্তগুলি ওরিয়েন্টিং করে অনুসরণ করে। দ্বিতীয় পর্যবেক্ষণ চেক করা সহজ। এটি আমাকে দুটি ভুল অনুমানের দিকে নিয়ে যায়:

1. উত্তরটি হ্যাঁ যদি হয় এবং কেবল গ্রাফ দ্বিপক্ষীয় হয়। (জবাবদিহি: 5-চক্র)
2. উত্তরটি "হ্যাঁ" যদি এবং কেবল গ্রাফটি ত্রিভুজ মুক্ত থাকে তবেই (কাউন্টারিক্স নমুনা: 5-চক্রের সাথে একটি প্রান্তের কার্টেসিয়ান পণ্য)

Answer 1

এটি সমস্ত-সমান-সমান -3 এসএটি থেকে হ্রাস দ্বারা এনপি-সম্পূর্ণ। এটি দেখতে, এটি পর্যবেক্ষণ করুন

• এর একমাত্র বৈধ ওরিয়েন্টেশন $4$সাইকেলটি এমন এক যাতে প্রান্তগুলি বিকল্প ওরিয়েন্টেশন হয়।
• দিন $P$ একটি তিন-প্রান্তের পুনঃনির্দেশিত পথ হয়ে উঠুন এবং এর শেষ বিন্দু সংলগ্ন একটি ডিগ্রি-টু ভার্টেক্স যুক্ত করুন $P$ to form a $5$-সাইকেল. তারপরে একমাত্র ওরিয়েন্টেশন$P$ যা সম্পূর্ণরূপে বৈধ ওরিয়েন্টেশনগুলিতে প্রসারিত হতে পারে $5$-সাইকেলে যা হয় $P$ ধারাবাহিকভাবে নির্দেশিত পথ হিসাবে নয় ien

আমরা একটি চলক জন্য একটি পরিবর্তনশীল গ্যাজেট গঠন $v$ এর সাথে সম্পর্কিত $k$ একসাথে gluing দ্বারা NAE-3SAT উদাহরণের বিভিন্ন ধারা $k$ ভাগ $4$- একটি ভাগ করা প্রান্ত উপর চক্র। তারপরে প্রতিটি$4$-সাইক্লস, ভাগ করা প্রান্তের বিপরীত প্রান্তটি অন্য সমস্তটির সাথে ধারাবাহিকভাবে ওরিয়েন্টেড হতে হবে $4$-cycles। আমরা এই প্রান্তগুলির এই ধারাবাহিক দিকের সাথে ভেরিয়েবলের সত্য মানটি যুক্ত করব। তদতিরিক্ত, এর প্রতিটি বৈধ ওরিয়েন্টেশন$4$-সাইক্লস, একটির থেকে কোনও পথ নেই $4$অন্যটিতে cycle $4$-চাইসিসহ, সুতরাং এই গ্যাজেটগুলি কেবলমাত্র তাদের প্রান্তগুলিতেই একে অপরের সাথে যোগাযোগ করতে পারে এবং দীর্ঘ পথের অস্তিত্বের মাধ্যমে নয়।

আমরা NAE-3SAT উদাহরণের 3-ভেরিয়েবল ক্লজের জন্য একটি ক্লজ গ্যাজেট গঠন করি যার মধ্যে তিনটি একসাথে আটকানো হয় $4$যথাযথ তিনটি ভেরিয়েবল গ্যাজেটের ভাগ করা প্রান্তের বিপরীতে-সাইকেল প্রান্তগুলি, 3-প্রান্তের পাথে $P$ এবং তারপরে সম্পূর্ণ করতে একটি ডিগ্রি-টু ভার্টেক্স যুক্ত করুন $P$ একটি মধ্যে $5$-সাইকেল. উপরে আলোচনা হিসাবে, এই$5$-সাইসিকে ধারাবাহিকভাবে ওরিয়েন্টেড করা যেতে পারে এবং কেবল যদি তার তিনটি প্রান্তটি নির্দেশিত পথ হিসাবে সমস্তমুখী না হয়, যা (যখন সঠিকভাবে আটকানো হয়) সত্য হয় এবং কেবল যদি এই অভিমুখগুলির সাথে সম্পর্কিত সত্য মানগুলি সমান হয় না।

যাইহোক, সর্বাধিক এক সহ ডিএজিএস $s$-$t$ প্রত্যেকের জন্য হাঁটা $s$-$t$জুটি আগে "মাল্টিট্রি", "দৃ strongly়ভাবে বর্ণহীন গ্রাফ" বা "ম্যানগ্রোভ" হিসাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে; দেখতে https://en.wikipedia.org/wiki/Multitree

Comments

ধন্যবাদ! আমি এর আগে মাল্ট্রিট্রি উইকিটি পেরিয়ে এসেছি। দেখে মনে হচ্ছে তারা প্রায় আমি চাই একটি পার্থক্য হ'ল আমি ত্রিভুজটির অ্যাসাইক্লিক ওরিয়েন্টেশন চাই না, তবে এটি একটি বহুগুণ।

— অস্টিন বুচানান

আমি এটি উদ্ধৃত করতে চাই। তুমি কি আমাকে সুরেশ এর উত্তর অনুযায়ী cite করতে চান এখানে , অথবা অন্য উপায়?

— অস্টিন বুচানন

সুরেশের উত্তরের পদ্ধতিটি ভাল। বিটিডাব্লু, পুনরায় বহুসত্তা: আপনি যদি এটিকে এন-মুক্ত আংশিক আদেশের দ্বৈত সম্পর্ক হিসাবে ভাবছেন তবে ত্রিভুজের অ্যাসাইক্লিক ক্রমটি ঠিক আছে, তবে সংজ্ঞাটির ড্যাগ সংস্করণের জন্য নয়, কারণ ডিএজিগুলি স্থানান্তরকভাবে বলে মনে করা হচ্ছে হ্রাস এবং অ্যাসাইক্লিক ত্রিভুজ নয়। সুতরাং আমি মনে করি যে মাল্টিট্রি (ডিএজি হিসাবে) সত্যই আপনার প্রশ্নে একই জিনিস।

— ডেভিড এপস্টেইন