প্রুফগুলি যা একটি গভীর কাঠামো প্রকাশ করে

35

চেরনফের বেঁধে দেওয়া স্ট্যান্ডার্ড প্রুফ ( র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদম পাঠ্যপুস্তক থেকে) মার্কভের অসমতা এবং মুহুর্ত তৈরির কার্যগুলি ব্যবহার করে, এতে কিছুটা টেলর সম্প্রসারণ করা হয়েছে too কিছু খুব বেশি জটিল নয়, তবে কিছুটা যান্ত্রিক।

তবে আরও কিছু চেরনোফ সীমাবদ্ধ প্রমাণ রয়েছে যা গভীরভাবে কাঠামোগত ফলাফলকে চালিত করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি তথ্য-তাত্ত্বিক সংস্করণ রয়েছে যা প্রকারের পদ্ধতি অনুসারে চলে, ইম্পাগলিয়াজো এবং কাবেনেটসের এই গবেষণাপত্রের পাশাপাশি সঞ্জয় দাশগুপ্তের এই সংক্ষিপ্ত পোস্টের উদাহরণ দিয়ে । এই পরবর্তী প্রমাণগুলি আরও "স্বজ্ঞাত" যে এগুলি স্ট্যান্ডার্ড ফলাফলের একটি সাধারণীকরণ সরবরাহ করে, এবং ব্যাখ্যা করে যে ঘাঁটিতে মজাদার পদগুলি কোথা থেকে এসেছে (এটি একটি কেএল-বিচ্যুতি)।

এই জাতীয় জিনিসগুলির ভাল উদাহরণগুলি কী কী? আরও কংক্রিট হওয়ার জন্য, এখানে বিধি রয়েছে:

বিবৃতিটি যথাযথভাবে সুপরিচিত হওয়া উচিত (এক ধরণের গ্র্যাজুয়েট শ্রেণিতে যে ধরণের জিনিস শেখানো হবে)

পাঠ্যপুস্তকগুলিতে একটি "স্ট্যান্ডার্ড" প্রমাণ থাকতে হবে যা "সাধারণভাবে" শেখানো হয় standard

এমন একটি বিকল্প প্রমাণ থাকতে হবে যা এতটা সুপরিচিত নয়, সাধারণত শেখানো হয় না, এবং হয় আরও সাধারণ বিবৃতি প্রমাণ করে বা বিবৃতিটিকে গভীর গাণিতিক কাঠামোর সাথে সংযুক্ত করে।

আমি দুটি উদাহরণ দিয়ে শুরু করব।

চেরনফ বাঁধা
- "পাঠ্যপুস্তক" প্রমাণ: মার্কভ বৈষম্য, মুহূর্ত তৈরির কার্যাদি, টেলর সম্প্রসারণ (এমআর)
- অসম্পূর্ণ এবং অন্তর্দৃষ্টিযুক্ত প্রমাণ: প্রকারের পদ্ধতি, কেএল-ডাইভারজেন্সের সাথে জড়িত লেজের ব্যয়কারী
শোয়ার্জ-জিপ্পেল লেমা
- "পাঠ্যপুস্তক" প্রমাণ: অবিচ্ছিন্ন বহুপদী জড়িত বেস-কেস। ভেরিয়েবলের সংখ্যার উপর আনয়ন
- "অস্বাভাবিক" প্রমাণ: ডানা মোশকভিটজ (এবং পার ভোগেনসেন ) এর মাধ্যমে জ্যামিতিক যুক্তি

উত্তর প্রতি এক উদাহরণ দয়া করে।

PS আমি অগত্যা বোঝাইচ্ছি না যে অস্বাভাবিক প্রমাণ শেখানো উচিত : সরাসরি প্রমাণ ছাত্রদের পক্ষে প্রায়শই সহজ হয়। কিন্তু "প্রমাণ আমাদের বুঝতে সাহায্য করে" এই অর্থে, বিকল্প বিকল্পগুলি খুব সহায়ক।

big-list proofs

— সুরেশ ভেঙ্কট
সূত্র

23

আমি নিশ্চিত নই যে আপনি যা খুঁজছেন এটি ঠিক এটিই, যেহেতু আমি পাঠ্যপুস্তকগুলিতে "অসাধারণ" প্রমাণটি দেখেছি, কিন্তু: ও (এন লগ এন) সময়টি কোয়েস্কোরের জন্য আবদ্ধ।

"পাঠ্যপুস্তক" প্রমাণ: একটি এলোমেলো পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক স্থাপন করুন, প্রবর্তন দ্বারা প্রমাণ করুন যে এটির পছন্দসই সমাধান রয়েছে।
"অকার্যকর" প্রমাণ: যে কোনও দুটি উপাদানকে তুলনা করার সম্ভাবনাটির জন্য একটি সহজ সূত্র সন্ধান করুন (এটি মাত্র 2 / (ডি + 1) যেখানে ডি সাজানো ক্রমে তাদের র‌্যাঙ্কের মধ্যে পার্থক্য) এবং প্রত্যাশা এবং সুরেলা সিরিজের লিনিয়ারিটি ব্যবহার করুন তুলনামূলকভাবে পাওয়া জোড়গুলির প্রত্যাশিত সংখ্যার অঙ্ক করা।

পাঠ্যপুস্তক প্রমাণের জন্য কম সৃজনশীল অন্তর্দৃষ্টি প্রয়োজন, তবে অসাধারণ প্রমাণটি এমন একটি কৌশল প্রবর্তন করে যা অন্যান্য অ্যালগরিদম বিশ্লেষণে উদাহরণস্বরূপ কম্পিউটেশনাল জ্যামিতিতে এলোমেলোভাবে বর্ধিত আলগোরিদিমগুলির জন্য খুব কার্যকর useful

— ডেভিড এপস্টিন
সূত্র

3

আমি মনে করি এটি কাজ করে। এটি একটি দুর্দান্ত উদাহরণ। আপনি ঠিক বলেছেন যে 'অসাধারণ' প্রমাণটি পাঠ্যপুস্তকেও রয়েছে, তবে এখনও সাধারণ নয়।

— সুরেশ ভেঙ্কট

1

আমি এক দশক ধরে আন্ডারগ্র্যাডগুলিকে সেই "অস্বাভাবিক" প্রমাণ দিচ্ছি teaching

— জেফি

এ সম্পর্কে অন্যেরা কী ভাবেন আমি জানি না; তবে জোন বেন্টলে সুন্দর কোডটিতে পাঠ্য প্রত্যাশিত রানটাইমের জন্য খুব মার্জিত রানটাইম বিশ্লেষণ দিয়েছেন। আপনি একই ভিডিও <a href=" youtube.com/watch?v=aMnn0Jq0J-E"> এখানে </ a > এ তার ভিডিওতেও অ্যাক্সেস করতে পারেন । আমি যথেষ্ট নিশ্চিত যে এটি কুইকোর্টের প্রত্যাশিত রানটাইমের "বইটির বিশ্লেষণ"

— আকাশ কুমার

19

আমি জটিলতা থেকে একজনকে বের করে দেব, তার প্রমাণ বিপিপি । পাঠ্যপুস্তক প্রমাণ Lautemann কারণে শুধু লিখে হয় অভিব্যক্তি এবং এটি একটি সহজ সম্ভাব্য যুক্তি সাথে কাজ করে প্রদর্শন করুন। বিরল প্রমাণ: একটি হার্ড ফাংশন (Guess অনুমান করা, কঠোরতা চেক করতে) এবং নিশান-Wigderson জেনারেটরের সেটিকে চলা। $\Sigma_2^p$ $\exists\forall$ $\exists$ $\forall$

— ল্যান্স ফোর্তনো
সূত্র

এটি যোগ করার সাথে সাথে লাউটম্যানের প্রমাণ সিপসারের প্রমাণ (1983) ব্যাপকভাবে সরল করে, যা সিপসার গ্যাকসকে দায়ী করে।

— এমএস দৌস্তি

1

"অস্বাভাবিক" প্রমাণের জন্য কোনও রেফারেন্স রয়েছে, না এটি লোককাহিনী?

— এমএস দৌস্তি

2

তার প্রমাণ নিসান-উইগডারসন পেপারে রয়েছে।

— ল্যান্স ফোর্টনো

2

এটি একটি "অস্বাভাবিক প্রমাণ" ঠিক আছে, তবে এই প্রমাণ থেকে "নতুন বোঝাপড়া" কী? আমার মনে হয় লাউটম্যানের প্রমাণটি আরও আলোকিত করছে। আমি কি এখানে কিছু মিস করছি?

— ভি বিনয়

13

আমরা সকলেই জানি for Bernoulli কি স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি দিয়ে গাউসের মতো আচরণ করা উচিত , তাই না? সুতরাং, আসুন এটি সরাসরি গৌসিদের সাথে সম্পর্কিত করে প্রমাণ করুন! টেকিং একটি পূর্ণসংখ্যা, $\sum_i a_iX_i$ $\pm 1$ $X_i$ $\sigma = \|a\|_2$ $t \ge 2$

\begin{array}{rcl} E [{(\sum_{i} a_{i} X_{i})}^{t}] & = & \sum_{i_{1}, \dots, i_{t}} (\prod_{j = 1}^{t} a_{i_{j}}) E [\prod_{j = 1}^{t} X_{i_{ঞ}}] \\ \leq & \underset{i_{1}, ..., {আমি}_{টি}}{Σ} (Π_{ঞ = 1}^{টি} | {একটি}_{{আমি}_{ঞ}} |) ই [Π_{ঞ = 1}^{টি} {এক্স}_{{আমি}_{ঞ}}] \\ = & \underset{\begin{matrix} {আমি}_{1} < ... < {আমি}_{মি} \\ R_{1}, ..., R_{মি} \\ \underset{ঞ}{Σ} R_{ঞ} = টি \\ \forall ঞ R_{ঞ} > 0 \end{matrix}}{Σ} (\binom{টি}{R_{1}, ..., R_{মি}}) (Π_{ঞ = 1}^{মি} | {একটি}_{{আমি}_{ঞ}} |^{R_{ঞ}}) (Π_{ঞ = 1}^{মি} ই [{এক্স}_{{আমি}_{ঞ}}^{R_{ঞ}}]) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \mathbf{E}\left[\left(\sum_i a_iX_i\right)^t\right] &=& \sum_{i_1,\ldots,i_t} \left(\prod_{j=1}^t a_{i_j}\right) \mathbf{E}\left[\prod_{j=1}^t X_{i_j}\right]\\ &\le& \sum_{i_1,\ldots,i_t} \left(\prod_{j=1}^t |a_{i_j}|\right) \mathbf{E}\left[\prod_{j=1}^t X_{i_j}\right]\\ &=& \sum_{\substack{i_1<\ldots< i_m\\ r_1,\ldots,r_m\\ \sum_j r_j = t\\ \forall j\ r_j > 0}} \binom{t}{r_1,\ldots,r_m}\left(\prod_{j=1}^m |a_{i_j}|^{r_j}\right)\left(\prod_{j=1}^m \mathbf{E}[X_{i_j}^{r_j}]\right) \end{eqnarray*}$

এখন, উপরের যোগটি ডানদিকে দেখুন। যে কোনও সমন্ডলে, হয় কিছু বিজোড় হয়, প্রত্যাশা বা সমস্ত সমান হয় , একে । সমস্ত পরিবর্তে গাউসিয়ান দিয়ে কল্পনা করুন । তারপর আমরা একটি অনুরূপ দৃশ্যকল্প মধ্যে হতে চাই: অদ্ভুত দিতে হবে , এবং সমস্ত এমনকি পণ্যের করতে হবে অন্তত । সুতরাং গৌসিয়ান মামলার শব্দটি বার্নোল্লি কেসকে প্রাধান্য দেয়। সুতরাং, $r_j$ $0$ $1$ $X_i$ $G_i$ $r_j$ $0$ $r_j$ $1$

ই [{(\underset{আমি}{Σ} {একটি}_{আমি} {এক্স}_{আমি})}^{টি}] \leq ই [{(\underset{আমি}{Σ} | {একটি}_{আমি} | {জি}_{আমি})}^{টি}]

$\mathbf{E}\left[\left(\sum_i a_iX_i\right)^t\right] \le \mathbf{E}\left[\left(\sum_i |a_i|G_i\right)^t\right]$

তবে, গাউসের স্থায়িত্বের দ্বারা , নিজেই স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি সহ গাউসিয়ান , সুতরাং আমরা এর মুহুর্তগুলি জানি! সুতরাং, আমাদের ম মুহুর্তটি দ্বারা আবদ্ধ (মোটামুটি $2$ $\sum_i |a_i| G_i$ $\|a\|_2$ $t$ $\|a\|_2^t \cdot t! / (2^{t/2} \cdot (t/2)!)$ ); এটি খিন্তচাইনের অসমতা হিসাবে পরিচিত। তারপর, $\|a\|_2^tt^{t/2}$

সেট জন্য পর্যাপ্ত বড় ধ্রুবক এবং আপনার গসিয়ান লেজ পেতে আবদ্ধ

P r [| \sum_{i} a_{i} X_{i} | > λ] < 2^{O (t)} \cdot λ^{- t} \cdot ‖ a ‖_{2}^{t} t^{t / 2}

$\mathbf{Pr}\left[\left|\sum_i a_iX_i\right| > \lambda\right] < 2^{O(t)}\cdot \lambda^{-t}\cdot \|a\|_2^t t^{t/2}$

t = λ^{2} / (C \cdot ‖ a ‖_{2}^{2})

$t = \lambda^2 / (C\cdot \|a\|_2^2)$

C

$C$

। ড্যানিয়েল কেনের সাথে চ্যাট করার সময় আমি প্রথম খিন্তচাইনের অসমতার এই প্রমাণটি শুনেছিলাম তবে সম্ভবত এর চেয়েও পুরানো একটি উল্লেখ রয়েছে। লক্ষ্য করুন প্রমাণ এটা পরিষ্কার মাঝে কি স্বাধীনতার স্তর তোলে

আপনি বিভিন্ন লেজ সীমা পেতে হবে।

e x p (- Ω (λ^{2} / ‖ a ‖_{2}^{2}))

$\mathrm{exp}(-\Omega(\lambda^2 / \|a\|_2^2))$

X_{i}

$X_i$

— জেলানী নেলসন
সূত্র

6

Minc অনুমিত এবং Brégman প্রমাণিত যে যদি সঙ্গে একটি 0-1 ম্যাট্রিক্স হয় 1 সারিতে এর , তারপর স্থায়ী সবচেয়ে হয় অ্যালন এবং স্পেনসারের পাঠ্যপুস্তক সম্ভাব্য পদ্ধতিতে একটি সংক্ষিপ্ত প্রমাণ রয়েছে , তবে যুক্তিযুক্তভাবে "বই" প্রমাণটি হ'ল জাইকুমার রাধাকৃষ্ণানের এনট্রপি ব্যবহারের প্রমাণ ( জে কম্বিন। থিওরি সের। এ 77 (1997), 161-164)। এটি ফলাফলের বিবৃতি থেকে মোটেও সুস্পষ্ট নয় যে এন্ট্রপিয়ের ধারণাটি এখানে পৃষ্ঠের নীচে রয়েছে। $A$ $r_i$ $i$ $A$

\prod_{i} (r_{i}!)^{1 / r_{i}} .

$\prod_i (r_i!)^{1/r_i}.$

— টিমোথি চৌ
সূত্র