এটি সত্যিই সত্য যে প্রতি গ্রাফ হয় সঙ্গে কে 1 , ট সর্বাধিক গৌণ treewidth হয়েছে ট - 1 । আমরা নীচে এটি প্রমাণ করি, প্রথমে কয়েকটি সংজ্ঞা:GK1,kk−1
যাক এর treewidth হতে জি এবং ω ( জি ) একটি চক্রের সর্বোচ্চ মাপ হতে জি । একটি গ্রাফ এইচ একটি ট্রায়াঙ্গুলেশন হয় জি যদি জি একটি subgraph হয় এইচ এবং এইচ তন্ত্রীসদৃশ (অর্থাত কোন অন্তত উপর প্রবর্তিত হয়েছে চক্র 4 ছেদচিহ্ন)। একজন ট্রায়াঙ্গুলেশন এইচ এর জি ন্যূনতম ট্রায়াঙ্গুলেশন হলে কোন সঠিক subgraph এইচ এছাড়াও একটি ট্রায়াঙ্গুলেশন হয় জি । জি এর উল্লম্বের একটি উপসেট এক্সtw(G)Gω(G)GHGGHH4HGHGXGHGXHএইচ জি
tw(G)=minHω(H)−1
HG
উপরের সূত্রটি বোঝায় যে প্রমাণ করতে এটি প্রমাণ করতে যথেষ্ট যে সমস্ত সম্ভাব্য সর্বাধিক শ্রেণীর আকারের সর্বাধিক । আমরা এখন এটি প্রমাণ। যাক এর একটি সম্ভাব্য সর্বোচ্চ চক্র হতে , এবং যে অনুমান ।G k X G | এক্স | ≥ কে + 1tw(G)≤k−1GkXG|X|≥k+1
আমরা সম্ভাব্য সর্বাধিক চক্রের নিম্নোক্ত বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করব: একটি ভার্টেক্স সেট একটি সম্ভাব্য সর্বাধিক চক্র , এবং কেবলমাত্র যদি, প্রতিটি জোড় , , -এর নিকটবর্তী (স্বতন্ত্র) উল্লম্বের একটি পথ থাকে থেকে থেকে মধ্যে বাইরে সব অভ্যন্তরীণ ছেদচিহ্ন সঙ্গে । এই বৈশিষ্ট্যটি ট্রিভিডথ এবং ন্যূনতম পূরণ-সংক্রান্ত কাগজে পাওয়া যাবে : বোচিট এবং টডিনিকার ন্যূনতম বিভাজককে গোষ্ঠীভুক্ত করা।জি তোমার দর্শন লগ করা বনাম এক্স পি ইউ , ভি U v জি এক্সXGuvXPu,vuvGX
এই বৈশিষ্ট্যটির সাহায্যে থেকে অপ্রাপ্তবয়স্ক প্রাপ্ত করা সহজ । যাক । প্রত্যেক প্রান্তবিন্দু জন্য , নয়তো একজন প্রান্ত হয় বা একটা পথ থেকে থেকে সমস্ত অভ্যন্তরীণ ছেদচিহ্ন বাহিরে সঙ্গে । সব জন্য যে অ সংলগ্ন হয় সব অভ্যন্তরীণ ছেদচিহ্ন চুক্তি মধ্যে । আমরা একটি অপ্রাপ্তবয়স্কের সাথে শেষ যেখানে আপনি সমস্ত সংলগ্ন , এবং এক্স তোমার দর্শন লগ করা ∈ এক্স বনাম ∈ এক্স ∖ { U } তোমার দর্শন লগ করা v জি পি ইউ , ভি U V এক্স বনাম ∈ এক্স তোমার দর্শন লগ করা পি ইউ , ভি U জি তোমার দর্শন লগ করা এক্স | এক্স | ≥ কে + 1 ইউ কেK1,kXu∈Xv∈X∖{u}uvGPu,vuvXv∈XuPu,vuGuX|X|≥k+1 । সুতরাং ডিগ্রী এই ছোটখাট অন্তত হয় , প্রমাণ সমাপ্তির।uk