ট্রিউইথ

যাক সংশোধন করা, এবং দিন একটি (সংযুক্ত) গ্রাফ দেখুন। যদি আমি ভুল না হলে, এটা Bodlaender [1, উপপাদ্য 3.11] এর কাজ থেকে যা অনুসরণ করে যদি এর treewidth মোটামুটিভাবে অন্তত হয় , তারপর একটি তারকা রয়েছে একটি ছোটখাট হিসাবে। $k$ $G$ $G$ $2k^3$ $G$ $K_{1,k}$

আমরা কী শব্দটি $2k^3$ ছোট করতে পারি ? এটি হ'ল, গাছপালার কি কমপক্ষে $k$ ইতিমধ্যে $K_{1,k}$ মিনারের অস্তিত্ব বোঝায়? কোথাও প্রমাণ আছে?

[1] বোডলেন্ডার, এইচএল (1993)। গভীরতা-প্রথম অনুসন্ধানের সাথে লিনিয়ার টাইম মাইনর টেস্টে। অ্যালগরিদম জার্নাল, 14 (1), 1-23।

graph-theory treewidth graph-minor

— Juho
সূত্র

থেকে একটি ঢিলেঢালাভাবে সম্পর্কিত ফলাফলের Demaine এবং Hajiaghayi : একটি নির্দিষ্ট গ্রাফের জন্য

, কোনো

-minor মুক্ত treewidth এর গ্রাফ

একটি হয়েছে

গ্রিড গ্রাফ ছোটখাট।

H

$H$

H

$H$

w

$w$

Ω (w) \times Ω (w)

$\Omega(w) \times \Omega(w)$

— মুহুম

@mhum মধ্যে ধ্রুবক

উপর ব্যাখ্যা মূলকভাবে নির্ভর

সুতরাং সরাসরি এটি প্রয়োগ করা

বাউন্ডের চেয়েও খারাপ দেয় ।

Ω

$\Omega$

| H |

$|H|$

2 k^{3}

$2k^3$

— ড্যানিয়েলো

@ লাডিয়েলো এটি আসলে ঘটনা। ধ্রুবকটি খুব সুন্দর নয় এবং

-মাইনর-মুক্ত গ্রাফগুলির বিশেষীকরণটিও দুর্দান্ত নয়। আমি কেবল একটি অস্পষ্ট সম্পর্কিত ফলাফল উল্লেখ করতে চেয়েছিলাম।

H

$H$

— মুহুম

এটি সত্যিই সত্য যে প্রতি গ্রাফ হয় সঙ্গে সর্বাধিক গৌণ treewidth হয়েছে । আমরা নীচে এটি প্রমাণ করি, প্রথমে কয়েকটি সংজ্ঞা: $G$ $K_{1,k}$ $k-1$

যাক এর treewidth হতে এবং একটি চক্রের সর্বোচ্চ মাপ হতে । একটি গ্রাফ একটি ট্রায়াঙ্গুলেশন হয় যদি একটি subgraph হয় এবং তন্ত্রীসদৃশ (অর্থাত কোন অন্তত উপর প্রবর্তিত হয়েছে চক্র ছেদচিহ্ন)। একজন ট্রায়াঙ্গুলেশন এর ন্যূনতম ট্রায়াঙ্গুলেশন হলে কোন সঠিক subgraph এছাড়াও একটি ট্রায়াঙ্গুলেশন হয় । এর উল্লম্বের একটি উপসেট $tw(G)$ $G$ $\omega(G)$ $G$ $H$ $G$ $G$ $H$ $H$ $4$ $H$ $G$ $H$ $G$ $X$ $G$ $H$ $G$ $X$ $H$

t w (G) = min_{H} ω (H) - 1

$tw(G) = \min_{H} \omega(H) - 1$

H

$H$

G

$G$

উপরের সূত্রটি বোঝায় যে প্রমাণ করতে এটি প্রমাণ করতে যথেষ্ট যে সমস্ত সম্ভাব্য সর্বাধিক শ্রেণীর আকারের সর্বাধিক । আমরা এখন এটি প্রমাণ। যাক এর একটি সম্ভাব্য সর্বোচ্চ চক্র হতে , এবং যে অনুমান । $tw(G) \leq k-1$ $G$ $k$ $X$ $G$ $|X| \geq k+1$

আমরা সম্ভাব্য সর্বাধিক চক্রের নিম্নোক্ত বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করব: একটি ভার্টেক্স সেট একটি সম্ভাব্য সর্বাধিক চক্র , এবং কেবলমাত্র যদি, প্রতিটি জোড় , , -এর নিকটবর্তী (স্বতন্ত্র) উল্লম্বের একটি পথ থাকে থেকে থেকে মধ্যে বাইরে সব অভ্যন্তরীণ ছেদচিহ্ন সঙ্গে । এই বৈশিষ্ট্যটি ট্রিভিডথ এবং ন্যূনতম পূরণ-সংক্রান্ত কাগজে পাওয়া যাবে : বোচিট এবং টডিনিকার ন্যূনতম বিভাজককে গোষ্ঠীভুক্ত করা। $X$ $G$ $u$ $v$ $X$ $P_{u,v}$ $u$ $v$ $G$ $X$

এই বৈশিষ্ট্যটির সাহায্যে থেকে অপ্রাপ্তবয়স্ক প্রাপ্ত করা সহজ । যাক । প্রত্যেক প্রান্তবিন্দু জন্য , নয়তো একজন প্রান্ত হয় বা একটা পথ থেকে থেকে সমস্ত অভ্যন্তরীণ ছেদচিহ্ন বাহিরে সঙ্গে । সব জন্য যে অ সংলগ্ন হয় সব অভ্যন্তরীণ ছেদচিহ্ন চুক্তি মধ্যে । আমরা একটি অপ্রাপ্তবয়স্কের সাথে শেষ যেখানে আপনি সমস্ত সংলগ্ন , এবং $K_{1,k}$ $X$ $u \in X$ $v \in X \setminus \{u\}$ $uv$ $G$ $P_{u,v}$ $u$ $v$ $X$ $v \in X$ $u$ $P_{u,v}$ $u$ $G$ $u$ $X$ $|X| \geq k+1$ । সুতরাং ডিগ্রী এই ছোটখাট অন্তত হয় , প্রমাণ সমাপ্তির। $u$ $k$

— daniello
সূত্র

আপনাকে ধন্যবাদ ড্যানিয়েল! আপনি কি জানেন যে একই যুক্তি (বা ফলাফল, সত্যই) কোথাও প্রকাশিত হয়েছে?

— জুহো

আমার কাছে কোনও রেফারেন্স নেই তবে মনে আছে যে ফ্রি গ্রাফের জন্য অনুরূপ দেখতে (সম্ভবত কম টাইট) যুক্তিটি কোথাও লেখা আছে। দুর্ভাগ্যক্রমে আমার কাছে আরও কংক্রিট পয়েন্টার নেই।

K_{2, r}

$K_{2,r}$

— ড্যানিয়েলো