কোন র‌্যান্ডমাইজড আলগোরিদিমগুলির তাত্ক্ষণিকভাবে ছোট ত্রুটির সম্ভাবনা রয়েছে?

Question

মনে করুন যে একটি এলোমেলোড অ্যালগরিদম এলোমেলো বিট ব্যবহার করে। সর্বনিম্ন ত্রুটি সম্ভাব্যতা এক আশা করতে পারেন (0 ত্রুটি সহ নির্ণায়ক আলগোরিদিম স্বল্প স্খলন) হল । কোন এলোমেলোম অ্যালগরিদম এ জাতীয় ন্যূনতম ত্রুটির সম্ভাবনা অর্জন করে?2 - Ω ( r $r$$2^{-\Omega(r)}$

মাথায় আসা কয়েকটি উদাহরণ হ'ল:

• স্যাম্পলিং অ্যালগরিদমগুলি, যেমন, যেখানে কেউ কোনও সেটের আকার নির্ধারণ করতে চায় যার জন্য সদস্যতা পরীক্ষা করতে পারে। যদি কোনও নমুনা অভিন্ন উপাদানগুলিতে এলোমেলোভাবে পরীক্ষা করতে হয় তবে চেরনফ বাউন্ড একটি তাত্পর্যপূর্ণ ছোট ত্রুটির সম্ভাবনার গ্যারান্টি দেয়।
• ন্যূনতম বিস্তৃত গাছ গণনার জন্য কার্গার-ক্লেইন-টারজান অ্যালগরিদম। অ্যালগরিদম সম্ভাবনাটি 1/2 সহ প্রতিটি প্রান্তটি নিয়ে যায় এবং পুনরাবৃত্তভাবে নমুনায় এমএসটি খুঁজে পায়। কেউ চর্নোফকে তর্ক করতে ব্যবহার করতে পারেন যে গাছের চেয়ে 2n + 0.1 মি প্রান্তগুলি আরও ভাল হবে (যেমন, গাছের কিনারগুলির একটিতে সেগুলি নিতে পছন্দ করবে)।

আপনি অন্যান্য উদাহরণ সম্পর্কে চিন্তা করতে পারেন?

নীচে আন্দ্রাসের উত্তর অনুসরণ করা: প্রকৃতপক্ষে, প্রতিটি বহুপদী সময় অ্যালগোরিদম তাত্পর্যপূর্ণ ছোট ত্রুটির সম্ভাবনার সাথে একটি ধীর বহুবর্ষীয় সময়ের অ্যালগরিদমে রূপান্তরিত হতে পারে । আমার ফোকাসটি যথাসম্ভব দক্ষ আলগোরিদিমগুলিতে। বিশেষত, আমি যে দুটি উদাহরণ দিয়েছি সেগুলির জন্য ডিটারমিনিস্টিক পলিনোমিয়াল টাইম অ্যালগোরিদম রয়েছে যা সমস্যাগুলি সমাধান করে। এলোমেলোড অ্যালগরিদমগুলির প্রতি আগ্রহ তাদের দক্ষতার কারণে।

Comments

একটি সম্পূর্ণ উত্তর নয়, তবে এলোমেলো সংখ্যাযুক্ত লিনিয়ার বীজগণিত নিয়ে কিছু কাজ হয়েছে। youtube.com/watch?v=VTroCeIqDVc

— বেবি ড্রাগন

সম্ভবত কেউ এটি আশা করতে পারে না , তবে অবশ্যই আশা করা যায় (এখনও "0 টি ত্রুটিযুক্ত একটি ডিস্ট্রিমেন্টিক অ্যালগরিদমের সংক্ষিপ্ত হওয়া") যে সমস্ত আসল সংখ্যার জন্য $c\hspace{-0.02 in}$, যদি $\: c<1 \:$ তারপরে একটি অ্যালগরিদম আছে $\hspace{.34 in}$যার ত্রুটির সম্ভাবনা $2^{-\hspace{.01 in}c\cdot r}\hspace{-0.03 in}$। $\:$আমি বিশ্বাস করি বহুপদী পরিচয় পরীক্ষা এই জাতীয় সমস্যা।$\hspace{.49 in}$

@ রিকিডিমার আমি আপনার মন্তব্যটি বুঝতে পারি না। পিআইটি-র জন্য স্বাভাবিক র্যান্ডমাইজড অ্যালগরিদমটিতে ত্রুটি থাকে যা এলোমেলোভাবে প্রকাশযোগ্য নয়। তাহলে তুমি কি বলতে চাও? আপনি কি বলছেন যে কোনও বিপিপি সমস্যার জন্য এমন একটি অ্যালগরিদম থাকতে পারে?

— সাশো নিকোলভ

আমি এখন বুঝতে পেরেছি যে আমি বর্ণিত শ্রেণিতে পিআইটি আসলে দেখানোর কোনও উপায় দেখছি না। $\:$অন্যদিকে, ডি -তে অতি- বহুত্ববিক হতে দেওয়া (যেমন, দৈর্ঘ্য (এস) দৈর্ঘ্যে সুপারলাইনার হতে দেওয়া (d)) শোয়ার্জ-জিপ্পেল লেমার পক্ষে যথেষ্ট হবে$S$$d$$\:$ (অবিরত ...) $\;\;\;\;$

অনেক পরীক্ষামূলক পদ্ধতি নির্মাণে এমন আচরণ হয়, না? উদাহরণস্বরূপ, বাইনারি স্ট্রিংগুলির একটি এলোমেলো সেট বেছে নেওয়া এবং তাদের নিকটতম জুটির দিকে তাকানো - চেয়ে কম দূরত্বে দুটি স্ট্রিং থাকার সম্ভাবনা খুব ছোট। -------------------------------------------------- ----------------------- নীচে বিপিপির উত্তর অনুসারে: একটি এনটিক্স এবং n / 2 চিহ্নিত উল্লম্ব সহ একটি ধ্রুবক ডিগ্রি প্রসারণ দেওয়া দৈর্ঘ্যের একটি র্যান্ডম হাঁটার সম্ভাবনা হে ( T ) একটি চিহ্নিত প্রান্তবিন্দু মিস্ হয় 2 - Ω ( T ) , যদি টন = Ω $n/4$$n/2$$O( t )$$2^{-\Omega(t)}$ । $t = \Omega( \log n)$

— সারিল হ্যার-পেলেড

Answer 1

Impagliazzo এবং জুকারম্যান প্রমাণিত (FOCS'89 দেখুন এখানে ) যে একটি BPP অ্যালগরিদম ব্যবহার করে র্যান্ডম বিট কমপক্ষে 2/3 এ, তারপর, Expander গ্রাফ উপর র্যান্ডম পেশা আবেদন, এই একটি শুদ্ধি সম্ভাব্যতার থেকে উন্নত করা যায় একটি শুদ্ধি সম্ভাব্যতা অর্জন করা এর 1 - 2 - ট ব্যবহার হে ( দ + + ট ) র্যান্ডম বিট। ( দ্রষ্টব্য: লেখকরা যখন বিমূর্তে নির্দিষ্ট ধ্রুবক 2/3 ব্যবহার করেন, তখন এটি 1/2 এর চেয়ে বড় ধ্রুবকের সাথে প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে))$r$$1-2^{-k}$$O(r+k)$

যদি আমরা নিতে , এর অর্থ এই যে কোনো BPP অ্যালগরিদম যে একটি ধ্রুবক ত্রুটি সম্ভাব্যতা অর্জন < 1 / 2 ব্যবহার দ র্যান্ডম বিট, হতে পারে (অ-জাভাস্ক্রিপ্টে গার্বেজ) ত্রুটি সম্ভাব্যতা আছে উন্নত 2 - Ω ( দ ) । সুতরাং, (যদি আমি কিছু বোঝে না ) , বিপিপির প্রতিটি সমস্যার জন্য ≤ 2 - Ω ( r ) এর ত্রুটি সম্ভাবনা অর্জনযোগ্য ।$k=r$$< 1/2$$r$$2^{-\Omega(r)}$$\leq 2^{-\Omega(r)}$

Comments

এই জাতীয় পরিবর্ধনের কৌশলগুলির সাথে সমস্যাটি হ'ল এগুলি অ্যালগোরিদমকে ধীর করে দেয়। নতুন অ্যালগরিদম কেবল ও (র) এলোমেলো বিট ব্যবহার করতে পারে তবে এটির চলমান সময়টি r বার (আসল-রান-সময়)। যদি r হয়, বলুন, ইনপুট আকারের কমপক্ষে রৈখিক n (যা এটি সাধারণত হয়), আপনি কেবল একটি ফ্যাক্টর এন দ্বারা অ্যালগরিদমকে ধীর করে দিয়েছেন। এটি এমন কিছু নয় যা বেশিরভাগ অ্যালগোরিদবিদরা খুশি হবেন ...

— দানা মোশকভিটজ

Answer 2

আমি নিশ্চিত নই যে আপনি এটি যা খুঁজছেন, তবে এটি সম্পর্কিত:

$k$$k$$t$$p_{k,t}$

$t$$4^{-t}$

$$p_{k,t} \leq O(k\cdot 4^{-t}).$$

$t=1$

$$p_{k,1} \leq 2^{-(1-o(1))\frac{k \ln\ln k}{\ln k}} \leq 2^{-\tilde\Omega(k)}.$$

আরও বিশদ জানতে এরদেস অ্যান্ড পোমারেন্স (1986) , কিম অ্যান্ড পোমারেন্স (1989) এবং ডামগার্ড, ল্যান্ড্রোক এবং পোমেরেন্স (1993) দেখুন।

$O(k^2)$ bits (although I suspect this can be easily reduced to $O(k)$). However, it's an interesting example where we get exponentially-small failure probability naturally.