একটি আয়তক্ষেত্রের বিস্তৃত গাছের সংখ্যার জন্য সঠিক সূত্র

Question

এই ব্লগটি একটি ক্ষুদ্রতর কম্পিউটার ব্যবহার করে "টুইস্টি লিটল ম্যাজস" তৈরি করার কথা বলে। ইউএসটি পেতে উইলসনের অ্যালগরিদম ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে , তবে সেখানে কতজন আছে তার সূত্র আমার মনে নেই।

http://strangelyconsistent.org/blog/youre-in-a-space-of-twisty-little-mazes-all-alike

নীতিগতভাবে ম্যাট্রিক্স ট্রি উপপাদ্যটিতে বলা হয়েছে যে গ্রাফের বিস্তৃত গাছগুলির সংখ্যা গ্রাফের ল্যাপ্লাসিয়ান ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকের সমান। যাক $G= (E,V)$ গ্রাফ হতে হবে এবং $A$ সন্নিহিত অবস্থা ম্যাট্রিক্স হও, $D$ ডিগ্রী ম্যাট্রিক্স হয় তবে $\Delta = D - A$ eigenvalues সঙ্গে $\lambda$ , তারপর:

$$k(G) = \frac{1}{n} \prod_{k=1}^{n-1} \lambda_k$$

একটি $m \times n$ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে $A$ এবং ইগেনভ্যালু উভয়ই একটি বিশেষ সরল রূপ নিতে হবে, যা আমি পাই না।

একটি $m \times n$ আয়তক্ষেত্রের # বিস্তৃত গাছগুলির সঠিক সূত্র (এবং অ্যাসিপটোটিকস) কী?

কর্মে উইলসনের অ্যালগরিদমের একটি সুন্দর উদাহরণ এখানে ।

Comments

পূর্ণসংখ্যার সিকোয়েন্সগুলির অনলাইন এনসাইক্লোপিডিয়া সঠিক সূত্রগুলি প্রাপ্ত করা সহজ মনে হয় না।

— পিটার শোর

@ পিটারশোর ওআইআইএস এর উদ্ধৃতি দিয়েছেন: জার্মেইন ক্রেওরাস, কমপ্লেক্সাইট এবং সার্কিট ইউলারিয়েন্স ড্যানস লেস সোমেস টেনসোরিয়েলেস ডি গ্রাফস , জে কম্বিন। থিওরি, বি 24 (1978), 202-212। তিনি কি আমাদের মতো একই জিনিস?

— জন মঙ্গল মঙ্গল

$m \times n$

Answer 1

Https://www.cse.ust.hk/~golin/pubs/ANALCO_05.pdf অনুসারে কোনও বন্ধ-ফর্মুলা জানা যায়নি।

$n$$m$

$$\exp (z_{\mathrm{sq}}mn)$$ $$z_{\mathrm{sq}}=\frac{4}{\pi}\sum_{i=0}^\infty\frac{(-1)^i}{(2i+1)^2}\approx 1.16624$$ $m$$n$

Comments

আয়তক্ষেত্রগুলিতে বিস্তৃত গাছগুলির সংখ্যার জন্য যথাযথ অ্যাসিম্পোটিক সূত্র রয়েছে (এবং পুনরাবৃত্তাকার বহুভুজ দ্বারা বর্ণিত উপগ্রহের আরও সাধারণ সিকোয়েন্সগুলি) এখানে দেওয়া হয়েছে: arxiv.org/pdf/math-ph/0011042.pdf (বিশেষত, প্রতীক 2 এবং প্রস্তাব 13 )

— লরেঞ্জো নাজত

আবার, এটি গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানের ভাণ্ডারে রয়েছে। তারা কি asympotic সূত্রগুলি কঠোরভাবে প্রমাণ করে বা তারা কেবল পদার্থবিজ্ঞানের মতো আনস্যাটজ যুক্তি ব্যবহার করে?

— ডেভিড এপস্টিন

এটি অ্যাক্ট ম্যাথ 185 (2000) তে প্রকাশিত হয়েছিল। 2, 239-286।

— লরেঞ্জো নাজত

Answer 2

এম-বাই-এন আয়তক্ষেত্রের গ্রাফের ইগেনভ্যালুগুলি এই জাতীয় গ্রাফগুলিতে নিখুঁত মিলগুলির সংখ্যার জন্য একটি অভিব্যক্তি পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে। ডোমিনো টিলিংসে উইকিপিডিয়া নিবন্ধটি দেখুন ।

Comments

এটি আকর্ষণীয়, তবে আপনি কীভাবে এই প্রশ্নটিকে সমাধান করেন তা ব্যাখ্যা করতে পারেন? এই বিশেষ ক্ষেত্রে নিখুঁত ম্যাচিং এবং গাছে ছড়িয়ে দেওয়া গাছগুলির মধ্যে কি কোনও ধরণের ম্যাপিং রয়েছে?

— Saeed