গ্রাফ আইসোমরফিজমের জন্য একটি গ্রাফের অটোমোরফিজমের সংখ্যা

দিন $G$ এবং $H$ দুই হতে $r$ আকারের নিয়মিত সংযুক্ত গ্রাফ $n$ । দিন $A$ আদেশের সেট হতে $P$ যেমন যে $PGP^{-1}=H$ । যদি $G=H$ তারপর $A$ এর স্বয়ংচালিত সংস্থার সেট $G$ ।

এর আকারের উপরের সর্বাধিক সর্বাধিক পরিচিত bound $A$ ?
নির্দিষ্ট গ্রাফ শ্রেণীর (সম্পূর্ণ / চক্রের গ্রাফগুলি অন্তর্ভুক্ত নয়) এর জন্য কোনও ফলাফল রয়েছে?

দ্রষ্টব্য: অটোমোরফিজম গ্রুপ তৈরি করা গ্রাফ আইসোমরফিজম সমস্যাটি সমাধান করার মতো কমপক্ষে (এটির গণ্য জটিলতার নিরিখে) জটিল। প্রকৃতপক্ষে, কেবল অটোমরফিজমগুলি গণনা করা গ্রাফ আইসোমর্ফিিজমের সমতুল্য সময়-সমতুল্য, সিএফ আর ম্যাথন, "গ্রাফের আইসোমর্ফিজম গণনা সমস্যার একটি নোট"।

— জিম
সূত্র

ওয়ার্ল্ড দেখিয়েছে যে যদি $G$ একটি সংযুক্ত $3$ 2n উল্লম্ব সহ-নিয়মিত গ্রাফ তার পরে স্বয়ংক্রিয় সংখ্যার সংখ্যা $G$ ভাগ $3n\cdot 2^n$ । বিশেষত এটি এর জন্য একটি তুচ্ছ তাত্পর্যপূর্ণ ওপেন-বাউন্ড দেয় $3$ নিয়মিত কেস সাধারণের জন্য এই লাইনে ফলাফল থাকতে পারে $k$ নিয়মিত গ্রাফ

নিম্ন সীমাবদ্ধতার জন্য, সূত্রটি বিবেচনা করুন $F$ সঙ্গে $n$ ইনপুটস যার গেটগুলি সংযোজন রয়েছে $\mod k$ 2. ফ্যান-ইন গেটস তখন একটি resut ব্যবহার Toran এক একটি গঠন করা যেতে পারে $k$ নিয়মিত গ্রাফ $G(F)$ সঙ্গে $O(k^2\cdot n)$ কার্টিকেশন যার অটোমরফিজম গ্রুপ এর সমস্ত সম্ভাব্য মূল্যায়ন এনকোড করে $F$ । এটি বোঝায় যে এর অটোমোরফিজমের সংখ্যা $G(F)$ অন্ততপক্ষে $k^n$ । এটি দেখায় যে এর অটোমরফিজমের সংখ্যার জন্য তাত্পর্যপূর্ণ নিম্ন সীমাবদ্ধ রয়েছে $k$ এর উল্লম্ব সংখ্যাগুলির ক্রিয়াকলাপে নিয়মিত গ্রাফ।

— ম্যাটিউস ডি অলিভিরা অলিভিরা
সূত্র

নিম্নলিখিত গ্রাফ বিবেচনা করুন, 1।

r_{1}

$r_1$ নিয়মিত গ্রাফ এবং

r_{2}

$r_2$ নিয়মিত গ্রাফ (এগুলির কোনও সম্পূর্ণ বা চক্র গ্রাফ নয়) ই সংখ্যার প্রান্তের মাধ্যমে একে অপরের সাথে যুক্ত হয়, বলুন যে এই যোগ করা গ্রাফটি একটি অনিয়মিত গ্রাফ

G

$G$ ২.প্রত্যেকটি ভার্টেক্স

r_{1}

$r_1$ নিয়মিত গ্রাফের সাথে প্রান্ত রয়েছে

r_{2}

$r_2$ নিয়মিত গ্রাফ এর কোন দুটি উল্লম্ব নেই

r_{1}

$r_1$ নিয়মিত গ্রাফ, এর সাথে একই সংখ্যক প্রান্ত রয়েছে

r_{2}

$r_2$ নিয়মিত গ্রাফ জি এর অটোমরফিজমটি ক্ষতিকারক হতে পারে?

— জিম

হ্যাঁ. গ্রাফ জি 2-তে স্বতঃস্ফূর্ত সংখ্যার পরিমাণ হতে পারে। এইচ 1 কে n শীর্ষে, 1 নাম্বার সহ কোনও নিয়মিত গ্রাফ হতে দিন ... n. নীচের প্রক্রিয়াটি দ্বারা প্রাপ্ত একটি গ্রাফ হতে দিন (3 মন্তব্যে বিভক্ত)। ডিটিকে ডায়মন্ড গ্রাফ হিসাবে ধরা যাক, একটি চার-চক্র একসাথে দুটি প্রান্তটি দুটি অ-সংলগ্ন কোণকে সংযুক্ত করে with বলুন যে এই দুটি অনুভূমিকাগুলি ডি এর অভ্যন্তরীণ সূচি হয় অন্য দুটি অনুভূমিকাগুলি ডি এর বাহ্যিক অনুভূমিকাগুলি স্পষ্টতই একটি অটোমোরশিপম রয়েছে যা উভয় অভ্যন্তরীণ প্রান্তকে অদলবদল করে এবং বাহ্যিক শিখরগুলি অদৃশ্য রেখে দেয় leaves

— ম্যাটিউস ডি অলিভিরা অলিভিরা

এখন, 1 (এন + 1) / 2 এর সাথে n (n + 1) / 2 টি উল্লম্বের সাথে দুটি চক্র সি 1 এবং সি 2 এর বিভাজন ইউনিয়ন বিবেচনা করুন। ডায়মড গ্রাফের এন (এন + 1) / 2 কপিও বিবেচনা করুন। এখন প্রতিটি i এর জন্য, D_i এর একটি বাহ্যিক শিখর C1 এর i-th প্রান্তে এবং অন্য বাহ্যিক প্রান্তকে C2 এর i-th শীর্ষবিন্দুতে সংযুক্ত করুন। তারপরে এই প্রক্রিয়াটির দ্বারা প্রাপ্ত গ্রাফ এইচ 2টি 3-নিয়মিত, এবং স্বতঃস্ফূর্ত সংখ্যার সংখ্যা রয়েছে, যেহেতু প্রতিটি ডি_আই এর অভ্যন্তরীণ প্রান্তগুলি পৃথকভাবে বদলানো যায়।

— ম্যাটিউস ডি অলিভিরা অলিভিরা

এখন এইচ 1 এর প্রতিটি ভার্টেক্স v_j এর জন্য আমরা ভি_জে থেকে হীরার অভ্যন্তরীণ উল্লম্বগুলিতে 2J প্রান্তগুলি এমনভাবে যুক্ত করি যাতে কোনও ডায়মন্ড ডি_আই এর অভ্যন্তরীণ উভয় প্রান্তই এইচ 1 এর সাথে একই প্রান্তের সাথে যুক্ত হয়। এটি গ্যারান্টি দেয় যে হীরার অভ্যন্তরীণ প্রান্তগুলি এখনও অদলবদল করা যেতে পারে এবং অতএব গ্রাফ জি 2-এ মোট অটোমোরফিজমগুলির সংখ্যা তাত্পর্যপূর্ণ।

— ম্যাটিউস ডি অলিভিরা অলিভিরা

অর্ডের সাথে একটি সংযুক্ত গ্রাফটি দেখানো সহজ

n

$n$ এবং সর্বাধিক ভারসাম্যহীনতা

k

$k$ সর্বাধিক অর্ডারের অটোমোরফিজম গ্রুপ রয়েছে

n k (k - 1)^{n - 2}

$nk(k-1)^{n-2}$ । দ্বিতীয়টি দিয়ে শুরু করে, প্রতিটি শীর্ষবিন্দু কমপক্ষে একটি ভার্টেক্সের সংলগ্ন যা এর আগে এসেছিল of দিন

G_{i}

$G_i$ প্রথম গ্রুপ ফিক্সিং হতে

i

$i$ ছেদচিহ্ন। এটি সহ উপগোষ্ঠীর একটি অবতরণ শৃঙ্খল

| G : G_{1} | \leq n

$|G:G_1|\leq n$ এবং

G_{n} = 1

$G_n=1$ । এটি অরবিট-স্ট্যাবিলাইজার উপপাদ্য দ্বারা অনুসরণ করা হয়

| G_{1} : G_{2} | \leq k

$|G_1:G_2|\leq k$ , এবং

| G_{i} : G_{i + 1} | \leq k - 1

$|G_i:G_{i+1}|\leq k-1$ জন্য

i \in {2, \dots, n - 1}

$i\in\{2,\ldots,n-1\}$ ।

— verret

যদি আপনি গ্রাফগুলি সংযোগ বিচ্ছিন্ন করার অনুমতি দেন তবে অনুভূমিকের সংখ্যার সাথে মিলিয়ে কোনও ভাল উপরের সীমানা নেই।

জন্য $r$ নিয়মিত গ্রাফগুলি বিচ্ছিন্ন ইউনিয়ন গ্রহণ করে $l$ সম্পূর্ণ গ্রাফ $K_{r+1}$ । তারপরে গ্রাফটি আছে $(r+1)\cdot l$ শীর্ষে, এবং $(r+1)!\cdot l!$ automorphisms।

— টোরি
সূত্র