গ্রাফ আইসোমর্ফিজম

Question

আমার পোস্টে Fortnow এর মন্তব্য দ্বারা পরিচালিত হয়ে, প্রমাণ গ্রাফ Isomorphism সমস্যা হয় না যে $NP$ -complete , এবং সত্য যে $GI$ জন্য একটি মৌলিক প্রার্থী $NP$ -intermediate সমস্যা (না $NP$ -complete কিংবা এ $P$ ), I am পরিচিত প্রমাণ আগ্রহী যে $GI$ নেই $P$ ।

এই ধরনের একটি প্রমাণ $NP$ একটি সীমিত গ্রাফ Automorphism সমস্যার -completeness (স্থায়ী-বিন্দু বিনামূল্যে গ্রাফ automorphism সমস্যা $NP$ -complete)। এই সমস্যা এবং এর অন্যান্য জেনারালাইজেশনগুলি লুবিউ দ্বারা " গ্রাফ আইসোমর্ফিজমের অনুরূপ কিছু এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা$GI$ " এ অধ্যয়ন করেছিলেন । কেউ কেউ প্রমাণ হিসাবে এই তর্ক করতে পারে যে ৪৫ বছরেরও বেশি সময় সত্ত্বেও কেউ G I এর জন্য বহু-কালীন অ্যালগরিদম খুঁজে পায়নি ।$GI$

$GI$ তা বিশ্বাস করার জন্য আমাদের আর কী প্রমাণ রয়েছে ?$P$

Comments

সাবগ্রাফার-আইসোমরফিজমও এনপি-সম্পূর্ণ। $\;$

কিছুটা দুর্বল প্রমাণ হ'ল জিআইয়ের সমতুল্য সমস্যাগুলির ক্রমবর্ধমান শ্রেণি, তবুও এর মধ্যে কোনওটির কাছেই স্পষ্ট পলটাইম অ্যালগরিদম নেই বলে মনে হয়। (অবশ্যই, তাদের মধ্যে যদি একটি পলটাইম অ্যালগরিদম থাকে তবে তারা সকলেই করে))

— আন্দ্রে সালামন

পরিস্থিতিগত প্রমাণ পি বনাম এনপি এর অনুরূপ: জিআই অ্যালগরিদমগুলির অপ্টিমাইজেশনের দশক যেমন নাটি যা পরীক্ষামূলকভাবে যাচাইযোগ্য নন-পি সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে প্রবণতা রয়েছে, সম্ভবতঃ এলোমেলো নিয়মিত গ্রাফগুলিতে।

— vzn

জিআই পরীক্ষার জন্য হার্ড গ্রাফগুলিও

— vzn

আপনি এ ব্যপারে কী ভাবছেন? dharwadker.org/tevet/isomorphism

— আনা টমস্কোভা

Answer 1

এই প্রশ্নের আগে আমার মতামত ছিল গ্রাফ আইসোমর্ফিিজম পি-তে থাকতে পারে, অর্থাৎ জিআই পি-তে নেই এমন বিশ্বাস করার কোনও প্রমাণ নেই। তাই আমি নিজেকে জিজ্ঞাসা করলাম আমার পক্ষে কী প্রমাণ হিসাবে গণ্য হবে: যদি জন্য পরিপক্ক অ্যালগরিদম থাকে - গ্রুপ isomorphism যে সম্পূর্ণরূপে উপলব্ধ গঠন শোষিত পি -groups এবং এখনও বহুপদী রানটাইম অর্জন করা কোন আশা থাকবে, তারপর আমি যে জি আই সম্মত হবে সম্ভবত পি নেই সেখানে পরিচিত আলগোরিদিম যে ভালো প্রাপ্তিসাধ্য গঠন কাজে লাগান হয় Isomorphism পরীক্ষা পি - গোষ্ঠী। ওব্রায়েন লিখেছেন (1994)$p$$p$$p$, তবে বহুগুণীয় রানটাইম অর্জনের জন্য এটি উপলব্ধ কাঠামোর পুরোপুরি ব্যবহার করে কিনা, বা এই অ্যালগরিদমের উন্নতি করার ( গ্রুপগুলির অতিরিক্ত অ-সুস্পষ্ট কাঠামোকে কাজে লাগিয়ে) উন্নতি করার কোন আশা আছে কিনা তা বিচার করার জন্য আমি এটি পর্যাপ্ত বিশদে পড়িনি read$p$

তবে আমি জানতাম যে ডিক লিপটন সাধারণভাবে গ্রুপ আইসোমর্ফিজম সমস্যা এবং বিশেষত গ্রুপ-গ্রুপ আইসোমরফিজম সমস্যাটির গণ্য জটিলতার বিষয়ে স্পষ্ট করার জন্য ২০১১ সালের শেষের দিকে পদক্ষেপ নেওয়ার আহ্বান জানিয়েছিলেন । তাই আমি গুগল$p$

site:https://rjlipton.wordpress.com group isomorphism

কর্মের জন্য কল সফল হয়েছে কিনা তা দেখার জন্য। এটা আসলে ছিল:

1. গ্রুপ আইসোমর্ফিজম সমস্যা: সম্ভাব্য পলিম্যাথ সমস্যা?
2. গ্রুপ আইসোমরফিজমে অগ্রগতি
3. তিনটি সিসিসি থেকে: গ্রুপ আইসোমরফিজমে অগ্রগতি

শেষ পোস্টে রিভিউ একটি কাগজ যা জাতিসংঘের দলের নির্দিষ্ট গুরুত্বপূর্ণ পরিবারের জন্য রানটাইম উপলব্ধ কাঠামো অনেক শোষণ, এবং যেহেতু 1994 থেকে উল্লিখিত কাগজ উপরে স্বীকার এন হে ( লগ লগ এন ) আবদ্ধ রানটাইম গ্রাফ আইসোমর্ফিজম অনুশীলনে শক্ত নয় এমন অভিজ্ঞতার সাথে উভয়ই সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং অভিজ্ঞতার সাথে যে কেউ বহুপাক্ষিক সময়ের অ্যালগরিদম (এমনকি গ্রুপ আইসোমরফিজমের জন্যও) আসতে পারে না, এটি প্রমাণ হিসাবে গণনা করা যেতে পারে যে জিআই পি তে নেই ।$n^{O(\log \log n)}$$n^{O(\log \log n)}$

Comments

rjlipton.wordpress.com/2015/03/05/news-on-interimar- Problems আমার অনুসন্ধানের দ্বারা সক্রিয়ও হয়েছিল। এটি উপপাদ্য 2 গ্রাফ${\mathsf{RP}^{\mathrm{MCSP}}}$${\mathsf{SZK}}$${\mathsf{BPP}^{\mathrm{MCSP}}}$ উদ্ধৃত করে আইসোমর্ফিিজম আর পি এম এম সি এস পি তে রয়েছে । অধিকন্তু, প্রতিটি প্রতিশ্রুতি সমস্যা এস জেড কে জন্যে বি পি পি এম সি এস পি যেমন প্রতিশ্রুতি সমস্যার জন্য সংজ্ঞায়িত। এটি প্রমাণ দেয় যে জিআই এনপি-সম্পূর্ণ নয়, তবে এখানে এখানে প্রশ্ন ছিল না। আমাকে যুক্ত করুন যে আমি আমার উত্তরের দৈর্ঘ্য বা শৈলীতে কোনও সমস্যা দেখছি না, কারণ আমি প্রমাণের জন্য একটি অনুরোধকে যুক্তিযুক্ত মতামতের অনুরোধ হিসাবে ব্যাখ্যা করি।

— টমাস ক্লিম্পেল

আমি আপনার যুক্তি অনুসরণ না। আপনি কীভাবে জানতে পারবেন যে "উপলব্ধ কাঠামো" "সম্পূর্ণরূপে শোষণ করা"? যদি কিছু হয় তবে গ্রোচো-কিয়াও কাগজটি কি কোহমোলজি ক্লাসের সাথে আরও অনেক কিছু করা যায় তা বোঝায় না?

— সাশো নিকোলভ

@ সাশোনিকোলভ "উপলব্ধ কাঠামো" দ্বারা, আমি গ্রুপ তত্ত্ব সম্প্রদায়, সম্পর্কিত সম্প্রদায় এবং বিদ্যমান প্রকাশনাগুলির কাঠামো সম্পর্কে জ্ঞান বোঝাতে চাইছি। উদাহরণগুলি হ'ল কাঠামোটি "সম্পূর্ণরূপে শোষণযোগ্য নয়" এমন প্রকাশনা যাঁর মূল লক্ষ্যটি একটি বাস্তবায়নযোগ্য অ্যালগরিদম নিয়ে আসা হয়, যা কিছু পর্যায়ে এসে থামে এবং কেবলমাত্র সেগুলি মৌলিক কিনা তা স্পষ্ট ইঙ্গিত ছাড়াই বাকী সীমাবদ্ধতাগুলি উল্লেখ করে। গ্রাচো-কিয়াও কাগজগুলি সেগুলি পর্যালোচনা করেছিল এবং গ্রুপ আইসোমরফিজমের গণ্য জটিলতায় সরাসরি আক্রমণ করেছিল, সুতরাং এর ফলাফলগুলি ভাল প্রমাণ দেয়।

— টমাস ক্লিম্পেল

Answer 2

ক্ষুদ্রতম নির্গমনগুলির সেটটি যাচাই করতে আপনাকে পরীক্ষা করতে হবে যে কোনও ব্ল্যাক বক্স সেটিং-এ কোনও তুচ্ছ-অনুমানের অনুমতি নেই চেয়ে ভাল ! তবে এখনও ক্ষতিকারক , OEIS A186202 ।$n!$

লেবেল নেই গ্রাফ নির্মাণ করা আবশ্যক বিট সংখ্যা এর ($log_{2}$। নাওর, মনি দেখুন। "সাধারণ লেবেলযুক্ত গ্রাফের সুসংযোগ উপস্থাপনা" " বিচ্ছিন্ন প্রয়োগিত গণিত 28.3 (1990): 303-307। আমি স্মরণ করিয়ে দিলে সংক্ষেপণের পদ্ধতি প্রমাণটি কিছুটা পরিষ্কার er যাইহোক, এই সেটইউকল করতে দিন। যাকএল=2 (${n\choose 2}-n log(n) +O(n)$$U$ লেবেলযুক্ত গ্রাফের জন্য।$L=2^{{n\choose 2}}$

--Haskell notation
graphCanonicalForm :: L -> U

graphIsomorphism :: L -> L -> Bool
graphIsomorphism a b = (graphCanonicalForm a) == (graphCanonicalForm b)    

আপনি যদি সূচকগুলিতে রূপান্তর করেন তবে ইউ এল এবং বি ও ও এল এল এল । কেবলমাত্র তাদের ধরণের স্বাক্ষরগুলি কেবলমাত্র আকারে গ্রাফগুলি রেখে পরীক্ষা করা সহজ দেখায়, তবে উপরের জিসি জিআইকে সহজ করে তোলে।$U^L$$Bool^{L^{L}}$

Comments

ধন্যবাদ। এই ধরনের যুক্তি কতটা শক্ত?

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তান

এই সংযোগটি আরও নথি করে এমন কোনও রেফার রয়েছে?

— ভিজএন

@ মোহাম্মদআল-তুর্কিস্তানি: এটি মূলত একটি জটিল জটিলতার যুক্তি। কিন্তু পরিচিত আলগোরিদিম, যেমন Babai-LUKS 1983, ইতিমধ্যে এই আবদ্ধ (ভালো কিছু মারধর আমি বেশ উল্লেখযোগ্য মার্জিন দ্বারা মনে বনাম 2 $2^n$ )।$2^{\sqrt{n}}$

— জোশুয়া গ্রাচো

@ চ্যাডব্রেউবেকার: আপনার উদ্বেগ যদি কোড হয়ে যায় এবং গড় ক্ষেত্রে জটিলতা আমি নিশ্চিত যে নাটি আপনার অ্যালগরিদমের চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে আরও ভাল করবে। (নোট যে শ্রেষ্ঠ নিম্ন পরিচিত nauty উপর বাউন্ড (মিযিযেজ়াকী 1996), এবং একটি বহু-টাইম অ্যালগরিদম মিযিযেজ়াকী গ্রাফ পাওয়া যায়নি। একটি সরল বিশ্লেষণ একটি নিম্ন মুখী শো ( 3 / 2 ) এন আপনার আলগোরিদিমের।) এছাড়াও, জি আই গড়-কেস হয় রৈখিক সময় (Babai-Kucera)। $\Omega(2^{n/20})$$(3/2)^n$

— জোশুয়া গ্রাচো

@ মোহাম্মদআল-তুর্কিস্তানি: এই প্রশ্নটি আমাকে জিআইয়ের জটিলতা সম্পর্কে আমার বিশ্বাস সম্পর্কে আরও গভীরভাবে চিন্তা করতে বাধ্য করেছে। পুনরায়: আপনার অন্যান্য প্রশ্ন, নোট করুন যে যদি জিআই থেকে জিএতে কোনও পলি-টাইম টিউরিং (বা এমনকি একাধিক এক) হ্রাস না হয় তবে পি এনপি। $\neq$

— জোশুয়া গ্রাচো

Answer 3

Kozen তার কাগজে, একটি চক্র সমস্যা সমতুল্য গ্রাফ isomorphism করতে , একটি প্রমাণ দেয় নেই পি । নিম্নলিখিতটি কাগজটি থেকে:$GI$$P$

"তবুও, সম্ভবত এটি সম্ভব যে গ্রাফ আইসোমর্ফিিজমের জন্য বহুপদী সময় অ্যালগরিদম সন্ধান করা এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার জন্য বহুপদী সময় অ্যালগরিদম সন্ধান করা হিসাবে কঠিন this এই দাবির সমর্থনে, আমরা গ্রাফ আইসোমরফিজমের সমতুল্য একটি সমস্যা দিই, একটি ছোট্ট অনুমান যার মধ্যে এনপি-সম্পূর্ণ।

এছাড়াও, বাবাই তার সাম্প্রতিক যুগান্তকারী কাগজ গ্রাফ আইসোমর্ফিজমে কোসিপোলিমনোমিয়াল সময়ে জিআইয়ের দক্ষ অ্যালগরিদমের অস্তিত্বের বিরুদ্ধে একটি যুক্তি দেয়। তিনি পর্যবেক্ষণ করেছেন যে গ্রুপ আইসোর্ফিজম সমস্যা (যা জিআই-তে হ্রাসযোগ্য) জিআই স্থাপনের ক্ষেত্রে একটি বড় বাধা । গ্রুপ আইসোমর্ফিজম সমস্যা (গ্রুপগুলি তাদের কেলে টেবিল দিয়ে দেওয়া হয়) এন ও ( লগ এন ) এ দ্রবণীয় এবং এটি পি তে রয়েছে বলে জানা যায় না ।$P$$n^{O(\log n)}$$P$

বাবাইয়ের কাগজের একটি অংশ এখানে দেওয়া হয়েছে:

The result of the present paper amplifies the significance of the Group Isomorphism problem (and the challenge problem stated) as a barrier to placing GI in P. It is quite possible that the intermediate status of GI (neither NP-complete, nor polynomial time) will persist.

Comments

$H$$G$$|G|=|H|$$|G|=c|H|$$c > 1$. For discrete parameters, we know there are problems in P that quickly become NP-complete (e.g. 2SAT vs 3SAT). Do you know if there are examples of problems in P with some continuous parameter that become NP-complete at a sharp threshold? If so, then this kind of reasoning wouldn't be much evidence that GI isn't in P, but I can't think of such an example off the top of my head.

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow No, I am not aware of any such decision problems. But for optimization problems I know that finding an assignment satisfying $7/8$ of the clauses is in $P$ while finding an assignment satisfying $7/8+ϵ$ of the clauses is $NP$-hard even for satisfiable 3SAT formulas ($ϵ>0$ ).

— Mohammad Al-Turkistany

Oops, Klimpel's answer already contains the group isomorphism evidence. Anyway, it is useful to have Babai's perspective on the matter.

— Mohammad Al-Turkistany

Babai retracted the claim of quasipolynomial runtime. Apparently there was an error in the analysis.

— Raphael

Answer 4

here are other results not cited yet

• On the hardness of Graph Isomorphism / Torán FOCS 2000 and SIAM J. Comput. 33, 5 1093-1108.

  We show that the graph isomorphism problem is hard under DLOGTIME uniform AC⁰ many-one reductions for the complexity classes NL, PL (probabilistic logarithmic space) for every logarithmic space modular class Mod_kL and for the class DET of problems NC¹ reducible to the determinant. These are the strongest known hardness results for the graph isomorphism problem and imply a randomized logarithmic space reduction from the perfect matching problem to graph isomorphism. We also investigate hardness results for the graph automorphism problem.

• Graph Isomorphism is not AC⁰ reducible to Group Isomorphism / Chattopadhyay, Toran, Wagner

  We give a new upper bound for the Group and Quasigroup Isomorphism problems when the input structures are given explicitly by multiplication tables. We show that these problems can be computed by polynomial size nondeterministic circuits of unbounded fan-in with O(log log n) depth and O(log² n) nondeterministic bits, where n is the number of group elements. This improves the existing upper bound from [Wol94] for the problems. In the previous upper bound the circuits have bounded fanin but depth O(log² n) and also O(log² n) nondeterministic bits. We then prove that the kind of circuits from our upper bound cannot compute the Parity function. Since Parity is AC⁰ reducible to Graph Isomorphism, this implies that Graph Isomorphism is strictly harder than Group or Quasigroup Isomorphism under the ordering defined by AC⁰ reductions.

Comments

Although these are indeed the strongest known lower bounds on GI, they don't really say anything about its not being in P. In the first case, DET isn't so close to P. In the second case, note that the structure of the $\mathsf{AC}^0$-degrees within P is already quite rich.

— Joshua Grochow

re "strongest known lower bounds on GI", ofc GI is in NP so an actual proof that GI is not in P is equivalent to P≠NP! (possibly via NPI≠∅)...

— vzn

Yes, but, for example, it would be nice to know that GI is P-hard! (Of course, P-hardness has very little to do with showing that something is not in P, but it would at least suggest that GI is not in NC!)

— Joshua Grochow