একটি বোরসুক-উলাম পয়েন্ট সন্ধানের জটিলতা

Question

Borsuk-ঊলম উপপাদ্য বলেছেন প্রতি ক্রমাগত বিজোড় ফাংশন জন্য যে একটি N- গোলক থেকে ইউক্লিডিয় এন-মহাকাশ, একটি বিন্দু যেমন যে ।x 0 g ( x 0 ) = $g$$x_0$$g(x_0)=0$

সিমন্স এবং সু (২০০২) লেমা ব্যবহার করে পয়েন্টটি আনুমানিক করার জন্য একটি পদ্ধতি বর্ণনা করে । তবে তাদের পদ্ধতির রান-টাইম জটিলতা কী তা পরিষ্কার নয়।$x_0$

ধরুন আমাদের ফাংশন এবং একটি আনুমানিক ফ্যাক্টর জন্য একটি ওরাকল দেওয়া হয়েছে । রান-টাইম জটিলতা ( ক্রিয়া হিসাবে ) কী:ϵ > 0 $g$$\epsilon>0$$n$

1. পয়েন্ট মতো ?| g ( x ) | < $x$$|g(x)|<\epsilon$
2. একটি বিন্দু খোঁজা যেমন যে যখন একটি বিন্দু পরিতৃপ্ত হয় ?| x - x 0 | < ϵ x 0 গ্রাম ( x 0 ) = $x$$|x-x_0|<\epsilon$$x_0$$g(x_0)=0$

Comments

এটি কি রিয়েল র‌্যাম মেশিনে রয়েছে? $\;$

Answer 1

Papadimitriou দেখিয়েছেন এই সমস্যার একটি সংস্করণ কাগজ ক্লাস প্রবর্তন মধ্যে PPAD-সম্পূর্ণ যে, "সমতা যুক্তি এবং অস্তিত্বের অন্যান্য অদক্ষ প্রমাণই জটিলতা অন" ।

তার সমস্যা তৈরির বিষয়টি হ'ল:

Borsuk-ঊলম। প্রতিটি বিন্দু এবং ( গোলকের পৃষ্ঠ সাথে একটি পূর্ণসংখ্যা n এবং একটি ট্যুরিং মেশিন গণনা দেওয়া হয়েছে , একটি ফাংশন সঙ্গে । সাথে একটি ।- n ≤ x i ≤ n সর্বোচ্চ | x i | = n এল 1 ফ ( পি ) চ ( পি ) ≤ $P=(x_1,\dots,x_d)$$-n\leq x_i\leq n$$\max_{|x_i|}=n$$L_1$$f(p)$ এক্স| f(x)-f(-x)| ।$f(p) \leq \frac{1}{Kn}$$x$$|f(x) - f( - x)| \leq \frac{1}{n^2}$

(সিডিনোট - অনেক সময় আপনি যখন একটি নির্দিষ্ট পয়েন্টের ধরণের উপপাদ্য দেখেন, পিপিএডি এটি সন্ধানের জটিলতার জন্য ভাল অনুমান ...)

Answer 2

ওরাকল কীভাবে দেওয়া হয় এবং সম্পর্কে আমরা কী জানি ? যদি ওরাকলটি ব্ল্যাক-বাক্স হয় এবং আমরা কেবল জানি যে ক্রমাগত বিজোড়, তবে ইতিমধ্যে আমাদের অসীম অনেক প্রশ্নের প্রয়োজন হতে পারে ...g n = $g$$g$$n=1$

যদি কোনও টিউরিং-মেশিন দ্বারা ওরাকল দেওয়া হয় তবে আপনি বুঝতে পারেন যে আপনার সমস্যা

1. FIXP-সম্পূর্ণ,

2. PPAD-সম্পূর্ণ,

যেখানে আকার দৈর্ঘ্য । এগুলির একটি অন্তর্ভুক্তির জন্য, http://homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/dagstuhl14-etessami-tutorial-equilibrium.pdf দেখুন ।$\epsilon$