এক্সওআর গেটগুলি ব্যবহার করে সবচেয়ে ছোট সার্কিট আকার

Question

ধরা যাক, আমাদের n বুলিয়ান ভেরিয়েবল x_1, ..., x_n এবং m ফাংশন y_1 এর সেট দেওয়া হবে ... y_m যেখানে প্রতিটি y_i এই ভেরিয়েবলগুলির একটি (প্রদত্ত) সাবসেটের XOR। লক্ষ্যটি হ'ল এই সমস্ত y_1 ... y_m ফাংশনগুলি গণনা করার জন্য আপনাকে ন্যূনতম সংখ্যক এক্সওআর ক্রিয়াকলাপ গণনা করতে হবে।

নোট করুন যে কোনও এক্সওআর অপারেশনের ফলাফল হিসাবে, x_1 XOR x_2 টি একাধিক y_j এর গণনায় ব্যবহৃত হতে পারে তবে এটি একটি হিসাবে গণনা করা হয়েছে say এছাড়াও, নোট করুন যে y_i এর আরও দক্ষতার সাথে গণনা করতে x_i (যে কোনও y_i ফাংশনের চেয়ে বড়, উদাহরণস্বরূপ সমস্ত x_i এর কম্পিউটিং XOR) এর অনেক বড় সংগ্রহের XOR গণনা করা কার্যকর হতে পারে,

সমানভাবে, ধরুন আমাদের কাছে বাইনারি ম্যাট্রিক্স এ, এবং একটি ভেক্টর এক্স এবং লক্ষ্য হল ভেক্টর ওয়াই এর যেমন AX = Y গণনা করা যেখানে জিএফ (2) এ সর্বনিম্ন সংখ্যার অপারেশন ব্যবহার করে সমস্ত অপারেশন করা হয়েছে।

এমনকি যখন এ এর ​​প্রতিটি সারিতে ঠিক কে থাকে (বলুন কে = 3) আকর্ষণীয়। এই প্রশ্নের জটিলতা (আনুমানিকতার কঠোরতা) সম্পর্কে কি কেউ জানেন?

মোহাম্মদ সালাভাটিওপুর

Answer 1

এটি এনপি-হার্ড। দেখুন: জোয়ান বয়য়ার, ফিলিপ ম্যাথিউস, রেনা পেরাল্টা। ক্রিপ্টোলজির জন্য অ্যাপ্লিকেশন সহ লজিক মিনিমাইজেশন কৌশলগুলি। http://link.springer.com/article/10.1007/s00145-012-9124-7

হ্রাসটি ভার্টেক্স কভার থেকে এবং খুব সুন্দর।

এম = | সহ একটি গ্রাফ দেওয়া E | , একটি এম × ( এন + 1 ) ম্যাট্রিক্স এ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন : এ [ আমি , জ ] = 1 যদি জ < এন + 1 এবং ( আই , জে ) ∈ ই , এবং এ [ আমি , $(\{1,\ldots,n\},E)$$m=|E|$$m \times (n+1)$$A$$A[i,j] = 1$$j < n+1$$(i,j) \in E$ । অন্য কথায়, দেওয়া n + 1 ভেরিয়েবল x 1 , … , x n + 1 আমরা মি লিনিয়ার ফর্মগুলি x i + x j + x n + 1 সকল ( i , j ) ∈ E এর জন্য গণনা করতে চাই।$A[i,n+1] = 1$$n+1$$x_1,\ldots,x_{n+1}$$m$$x_i+x_j+x_{n+1}$$(i,j) \in E$

একটু চিন্তা শো একটি XOR যাও জন্য বর্তনী নেই দুই পাখা অফ গেটস সঙ্গে কম্পিউটিং রৈখিক রূপান্তর একটি শুধুমাত্র সঙ্গে মি + + ট দরজা, যেখানে ট গ্রাফের জন্য অনুকূল প্রান্তবিন্দু কভার হয়। (প্রথম কম্পিউট এক্স আমি ' + + এক্স এন + + 1 সকলের জন্য আমি ' প্রান্তবিন্দু কভার ব্যবহার ট অপারেশন। রৈখিক ফর্ম তারপর সমস্ত গণনীয় হয় মি আরো অপারেশন।) এটা পরিনত হয় যে এই একটি নূন্যতম আকারের বর্তনী হয়!$A$$A$$m+k$$k$$x_{i'} + x_{n+1}$$i'$$k$$m$

হ্রাস সঠিক যে প্রমাণটি এত সুন্দর নয়। আমি এই হ্রাসটি সঠিক কিনা এর একটি সংক্ষিপ্ত প্রমাণ দেখতে চাই।

Comments

ধন্যবাদ রায়ান সত্যিই খুব প্রাসঙ্গিক কাগজ। আমি ভেবেছিলাম যে সমস্যাটি হাইপারগ্রাফিক্সে ভার্টেক্স-কভারের মতো কঠোর হতে পারে কিনা সেই ক্ষেত্রে কমপক্ষে আপনি আরও বেশি বড় এক্সওআর অঙ্ক তৈরি করতে পারবেন না (এই পেপারে যা বাতিল-মুক্ত হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে) think

— মোহাম্মদ আর সালাবতীপুর

বাতিল-মুক্ত মামলার জন্য, এনপি-কঠোরতা গ্যারে-জনসনে কিছুটা অস্পষ্ট নাম "এনসেম্বেল কম্পিউটেশন" (সমস্যাযুক্ত PO9, এ 11.1 তে) এর অধীনে উল্লেখ করা হয়েছে। হ্রাসটি আসলে রায়ান দ্বারা বর্ণিত হিসাবে সমান, জিজেতে বিভাগ ৩.২.২ দেখুন।

— জ্যানে এইচ। কোর্হোনেন