উপরের সীমানা প্রমাণ করে নিম্ন সীমা প্রমাণ করা

Question

রায়ান উইলিয়ামসের সাম্প্রতিক ব্রেকথ্রু সার্কিট জটিলতা নিম্ন-সীমাবদ্ধ ফলাফল একটি প্রুফ কৌশল সরবরাহ করে যা জটিলতা নিম্ন-সীমা প্রমাণ করার জন্য উপরের-বাউন্ড ফলাফল ব্যবহার করে। সুরেশ ভেঙ্কট এই প্রশ্নের জবাবে বলেছিলেন, তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানে কি কোনও পাল্টা-স্বজ্ঞাত ফলাফল রয়েছে? , উপরের সীমানা প্রমাণ করে নিম্ন-সীমা স্থাপনের দুটি উদাহরণ সরবরাহ করেছেন।

• জটিলতা নিম্ন-সীমাগুলি প্রমাণ করার জন্য অন্যান্য আকর্ষণীয় ফলাফলগুলি কী যা জটিলতার উপরের-সীমানা প্রমাণ করে প্রাপ্ত হয়েছিল?

• এমন কোনও আপার-বাউন্ড অনুমান যা বোঝায় (বা পি \ নে এনপি )?$NP \not\subseteq P/poly$$P \ne NP$

Comments

এটি কি সিডব্লিউ হওয়া উচিত?

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

আমি চাই এটা হিসাবে (না হিসাবে The CW), কিন্তু আমি বিশ্বাস করেন যে এটি হল [soft-question]।

— এমএস দৌস্তি

@ সাদেক: এটি কোনও নরম প্রশ্ন বলে মনে করবেন না, এর স্পষ্ট উত্তর পাওয়ার পক্ষে এটি যথেষ্ট সঠিক।

— কাভেহ

সুরেশের দ্বারা চিহ্নিত মায়ারের ফলাফল দেখায় যে এক্সপি জন্য বহুপদী সার্কিটের অস্তিত্ব P PNEP$EXP$ প্রমাণ করবে । $P \ne NP$

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

Answer 1

যে কেউ প্রশ্নটি ঘুরিয়ে দিতে পারে এবং উপরের সীমানা প্রমাণ করে কোন নিম্ন সীমাটি প্রমাণিত হয় না তা জানতে পারে । প্রায় সমস্ত যোগাযোগ জটিলতা নিম্ন সীমানা (এবং স্ট্রিমিং অ্যালগরিদম লোয়ার বাউন্ড এবং ডেটা স্ট্রাকচার নিম্ন সীমানা যা যোগাযোগ জটিলতার তর্কগুলিতে নির্ভর করে) প্রমাণ করে প্রমাণিত হয় যে একটি যোগাযোগ প্রোটোকল গঠনমূলকভাবে একটি এনকোডিং স্কিমে রূপান্তরিত হতে পারে, এনকোডিংয়ের দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভর করে প্রোটোকলের যোগাযোগ জটিলতা, এবং প্রোটোকলের জন্য নিম্ন সীমাটি এই সত্যটি অনুসরণ করে যে আপনি এন -1 বিট বা তার চেয়ে কম ব্যবহার করে সমস্ত এন বিট বার্তা এনকোড করতে পারবেন না।

নিম্ন-ডিগ্রি বহুভুজের মাধ্যমে সীমানা-গভীরতার সার্কিটগুলি কীভাবে সিমুলেট করা যায় তা দেখিয়ে রাজবরোভ-স্মোলেনস্কি সার্কিট নিম্নতর সীমানা কাজ করে।

নিম্নের সীমানার প্রার্থী যেগুলি উপরের সীমানা দিয়ে প্রমাণিত হয় না তা হ'ল সময়ক্রমক্রমের উপপাদ্য হতে পারে (যদিও, সবচেয়ে সীমাবদ্ধতা পেতে, একটি দক্ষ ইউনিভার্সাল টিউরিং মেশিনের প্রয়োজন হয়, যা একটি অ-তুচ্ছ আলগোরিদিমিক কাজ) এবং প্রমাণ স্যুইচিং লেমা ব্যবহার করে এসি নিম্নের সীমাগুলির (তবে স্যুইচিং লেমার সবচেয়ে পরিষ্কার প্রমাণটি একটি গণনা / সংকোচনতা / কলমোগোরভ-জটিলতা ব্যবহার করে)

Comments

আকর্ষণীয়, এটি যোগাযোগের জটিলতা নিম্ন সীমার একটি দুর্দান্ত সংক্ষিপ্তসার! আর একজন (বিজোড়?) প্রার্থী: ল্যাডনারের উপপাদ্য / তিরস্কার। সীমাগুলি অবশ্যই নির্দিষ্ট করা হয়নি (এমনকি সমস্যাটিও নয়)! তবে এটি কিছু সমস্যার জন্য একটি অতিপরিচ্ছন্ন নিম্ন স্তরের সীমাবদ্ধ দেখায়। অবশ্যই, এটি ধরে নেয় এনপি, যা অনুমানযোগ্যভাবে একটি উপরের বাউন্ড, একটি লা জিসিটি দিয়ে প্রমাণিত হতে পারে ...$\ne$

— ড্যানিয়েল অ্যাপন

Answer 2

একটি অদ্ভুত উপায়ে, পিসিপি উপপাদ্য নিজেই একটি উপরের বাউন্ডের মাধ্যমে নিম্ন সীমাটি প্রমাণ করার একটি ভাল উদাহরণ। একটি "দক্ষ" একটি প্রমাণ যাচাই প্রমাণের প্রোব এবং শুধুমাত্র একটি ধ্রুবক সংখ্যা ব্যবহার করার জন্য এলোমেলোভাবে কৌশল 3SAT একটি দৃষ্টান্ত মধ্যে সন্তুষ্ট ক্লজ সংখ্যা approximating জন্য একটি নিম্ন আবদ্ধ র্যান্ডম বিট বাড়ে।$\log n$

Comments

আপনি যদি এনপি-কঠোরতা (কোনও শ্রেণি থেকে বিচ্ছিন্ন হওয়ার বিপরীতে) নিম্ন সীমা হিসাবে গণনা করেন, আপনার পিসিপি উপপাদকের প্রয়োজন হবে না; হ্রাস হ'ল দক্ষ অ্যালগরিদম যা প্রমাণ করে যে কিছু সমস্যা শক্ত।

— Tsuyoshi Ito

স্যুইশি, এটি একটি ভাল বিষয়। তবে এনপি-কঠোরতা হ্রাস "সরাসরি"। দেখান যে একটি অজানা সমস্যা সমাধান করা একটি পরিচিত সমস্যা সমাধান করে। এখানে প্রদত্ত কয়েকটি উদাহরণ আরও পরোক্ষ। তবে এটি অবশ্যই বিষয়গত ective

— সুরেশ ভেঙ্কট

পিসিপি উপপাদকের খুব বিবৃতিটি গ্যাপ -৩ এস্যাট-এর এনপি-সম্পূর্ণতা। তদুপরি, পিসিপি উপপাদকে পরোক্ষ বলে দাবি করে আপনি কী বোঝাতে চেয়েছিলেন তা আমি জানি না। এটি সত্য যে পিসিপি উপপাদ্যকে এনপি-সম্পূর্ণতার ফলাফলগুলির মধ্যে সবচেয়ে জটিল প্রমাণগুলির প্রয়োজন, তবে এটি কি ভাল জিনিস?

— Tsuyoshi Ito

সুরেশ, আপনি কি দয়া করে এখানে একটি নতুন উত্তর হিসাবে পোস্ট করতে পারেন, দুটি প্রশ্নের উত্তর হিসাবে আপনি দুটি প্রশ্নের উত্তর দিয়েছিলেন (মায়ারের ফলাফল এবং জিসিটি)?

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

কোন কারণে কেন? আমার এটি করতে সমস্যা হয় না, তবে আপনি যেহেতু প্রশ্নটিতে এটি উল্লেখ করেছেন তা কি প্রয়োজনীয়?

— সুরেশ ভেঙ্কট

Answer 3

সঙ্কোচ্যতা পদ্ধতি হ'ল নিম্ন সীমা প্রমাণ করার জন্য কোলমোগোরভ জটিলতার উপর ভিত্তি করে একটি পদ্ধতি। এই পদ্ধতির প্রথম অ্যাপ্লিকেশনগুলির মধ্যে একটি হ'ল প্রমাণ করা হয়েছিল যে টুরিং মেশিনে একটি টেপ সহ প্যালিনড্রোমগুলি স্বীকৃতি দেওয়ার জন্য চতুর্ভুজ সময় প্রয়োজন।

আলগাভাবে বলতে গেলে, এই পদ্ধতির ধারণাটি হ'ল আমরা এই ইনপুটটিতে যে সমস্যাটি বিবেচনা করি তা সমাধান করার জন্য একটি অ্যালগরিদম চালাতে থাকা তথ্য ব্যবহার করে একটি ইনপুট সন্ধান করার পদ্ধতিটি বর্ণনা করা। পদ্ধতিটি তত ভাল, মূল সমস্যার উপর তত কম bound

অবশ্যই, লি এবং ভিটানির পাঠ্যপুস্তকে পুরো বিশদ পাওয়া যাবে ।

Answer 4

"উপরের সীমানা দিয়ে নীচে আবদ্ধ" প্রশ্নের জন্য আপনি জিজ্ঞাসা করেছেন:

ইন্টারেক্টিভ যোগাযোগের জন্য একটি উন্নত সংকোচনের প্রোটোকল প্রদর্শন করে র্যান্ডমাইজড যোগাযোগ জটিলতার জন্য STOC ২০১০ পত্রিকা "কীভাবে সংবেদনশীল যোগাযোগকে সংকুচিত করতে হবে" [বিবিসিআর 10] পৌঁছেছে direct

বিশেষত, দুটি পক্ষ তাদের পারস্পরিক ইনপুটগুলির (যেমন একটি ইন্টারেক্টিভ গণনার দৃশ্যের) কিছু যৌথ ফাংশন গণনা করে দেওয়া হয়, তারা দেখায় যে কোনও প্রোটোকল যা বিটগুলি যোগাযোগ করে এবং জড়িত পক্ষগুলিতে নতুন তথ্যগুলির বিট প্রকাশ using ব্যবহার করে একটি নতুন প্রোটোকল দ্বারা সিমুলেট করা যায় বিট - উন্নত উপরের গণ্ডি।আই ˜ ও ( $C$$I$$\tilde O(\sqrt{CI})$

এই উন্নত প্রোটোকল কম্প্রেশন ফলত, তারা দেখায় যে সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে: প্রদত্ত যেকোন ফাংশন যে লাগে সময় স্বতন্ত্রভাবে গনা, কম্পিউটিং কপি ক্ষেত্রে অন্তত সময় - উন্নত নিম্ন সীমা.n k f $f$$n$$k$$f$$\sqrt{k} \cdot n$

Answer 5

এটি আপনি যা চেয়েছিলেন তা থেকে কোনওরকম আলাদা, তবে যেহেতু এটি সম্পর্কিত, তাই আমি ভেবেছিলাম যে আমি এটি উল্লেখ করতে পারি।

কার্টার অ্যান্ড ওয়েগম্যান (1977) সর্বজনীন হ্যাশিংয়ের ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন । ধারণাটি আনুমানিক নিম্ন সীমা প্রমাণ করতে অসংখ্য কাগজপত্র ( সিপসার (1983) , স্টকমিয়ার (1983) , বাবাই (1985) এবং গোল্ডওয়াসার অ্যান্ড সিপসার (1986) ব্যবহার করা হয়েছিল ।

এটি 1987 অবধি ছিল, যেখানে ফোর্তো আনুমানিক উপরের সীমাটি প্রমাণ করতে সর্বজনীন হ্যাশিং ব্যবহার করেছিলেন । (প্রকৃতপক্ষে, প্রায় উচ্চতর সীমানা প্রমাণের জন্য একটি প্রোটোকল সরবরাহ করা))

---

সম্পাদনা:

এগুলি নিম্ন-সীমাবদ্ধ ফলাফল নয়, তবে এগুলি যে কোনও উপায়ে কার্যকর হতে পারে:

$\rm{NP} \subset \rm{P/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{PH}=\rm{\Sigma_2^p}=\rm{\Pi_2^p}$

$\rm{NP} \subset \rm{P/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{AM}=\rm{MA}$

$\rm{coNP} \subset \rm{NP/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{PH}=\rm{\Sigma_3^p}=\rm{\Pi_3^p}$

Answer 6

আমি ডিক লিপটনের ব্লগে বর্ণনামূলক জটিলতার মাধ্যমে পি = এনপি-র কাছে একটি অ্যাপ্রোচ পেয়েছি , তিনি একটি উচ্চতর গন্ডী অনুমান (হাইপোথিসিস এইচ) এর প্রস্তাব দিয়েছেন যা বোঝায় ।$P\ne NP$

প্রস্তাব এইচ : যে অনুমান হয় হর্ন ক্লজ । যদি তারা সন্তুষ্টযোগ্য হয়, তবে ধারাগুলির বর্ণন জটিলতায় বেশিরভাগ ক্ষেত্রে বহুবচনীয় বর্ণনায় জটিলতাগুলির সাথে একটি বৈধ নিয়োগ রয়েছে।সি 1 ∧ ⋯ ∧ সি $C$$C_{1} \wedge \dots \wedge C_{m}$

উপপাদ্য : ধরা যাক হাইপোথেসিস এইচ সত্য। তারপরে,$P \ne NP$

Answer 7

এখানে কম্পিউটেশনাল জটিলতার উদাহরণ রয়েছে: অরোরা এবং বারাকের একটি আধুনিক পদ্ধতি (পৃষ্ঠা 128):

যদি প্রতিটি ভাষার সার্কিট থাকে তবেও ( 2 এন / এন ) পি ≠ এন $EXP$$o(2^{n} /n)$$P \ne NP$