উপর পিআইটির ফলাফল efficient

প্রদত্ত যেমন যে এর কোফিসিয়েন্টস দ্বারা বেষ্টিত করা হয় , না হোল্ড ? $p(x_1,\dots,x_n),q(x_1,\dots,x_n)\in \Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$ $p,q$ $B$ $p\equiv q$

শোয়ার্জ-Zippel থিম এখানে প্রযোজ্য যেহেতু এটি সাধারণ ক্ষেত্র এবং জন্য ঝুলিতে এবং এই সমস্যার জন্য একটি দক্ষ এলোমেলোভাবে অ্যালগরিদম হয়। $\Bbb Z\subset\Bbb Q$

আমরা আশা করি এই সমস্যাটির দক্ষ ডেরেন্ডোমাইজেশন হবে।

এই সমস্যাটির যদি একটি কার্যকর ডেরেন্ডোমাইজেশন না হয় তবে তার পরিণতি কী হবে?

big-picture derandomization conditional-results

— আন্দ্রেস সালামন
সূত্র

কিভাবে করা হয়

এবং

দেওয়া?

p

$p$

q

$q$

$\;$

@ রিকিডিমার নিয়মিত বহুপদী পরিচয় পরীক্ষায় এটি কীভাবে দেওয়া হয়?

কাবনেটস-ইমপাগলিয়াজ্জো ফলাফলটি কি বলে না যে আমরা একটি দক্ষ ডেরেন্ডোমাইজেশন আশা করি না?

— সুরেশ ভেঙ্কট

হ্যাঁ.

$\:$ আমি বুঝতে পেরেছি যেহেতু আমি স্ট্যান্ডার্ড উপস্থাপনার সাথে এনেছি ,

$\hspace{1.76 in}$ বিভিন্ন স্ট্রিং পৃথক উপাদান উপস্থাপন করে।

$\;\;\;\;$

@ সুরেশভেনক্যাট: কাবনেটস এবং ইম্পাগ্লিয়াজো বেশ কয়েকটি বিষয় প্রমাণ করেছেন, যার মধ্যে রয়েছে: ১. পিআইটি যদি ড্যারানডমাইজ করা যায় তবে এনএক্সপি-তে কোনও পলিজাইজ (বুলিয়ান) সার্কিট নেই বা স্থায়ীভাবে কোনও পোলাইজ (গাণিতিক) সার্কিট নেই; ২. স্থায়ীত্বের জন্য যদি সুপারপোলি-আকারের সার্কিটের প্রয়োজন হয়, পিআইটি "দুর্বলভাবে" অবরুদ্ধ হতে পারে। যেহেতু ১.র সিদ্ধান্তটি সাধারণত ২ এর অনুমান হিসাবে ধরে রাখার জন্য অনুমান করা হয়, তাই আমি আপনার বিপরীতে বলব যে কেআই ফলাফল বলে যে আমরা একটি কার্যকর ডেরেন্ডোমাইজেশন আশা করি না।

— ব্রুনো

উত্তর:

পিআইটি যেহেতু , যদি কোনও কার্যকর ডেরেন্ডোমাইজেশন না হয় তবে (এবং বিশেষত , তবে এটি এতটা অবাক হওয়ার মতো নয়, যেহেতু আমরা আশা করি যাই হোক সত্যই হবে)। এটি অবশ্যই বোঝায় যে , সুতরাং যে কোনও কিছু বোঝায় তা মিথ্যা হয়ে যায়। উদাহরণস্বরূপ, পর্যাপ্ত শক্তিশালী সিউডোর্যান্ডম সংখ্যার জেনারেটর উপস্থিত নেই এবং $\mathsf{coRP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{RP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{BPP}$ $\mathsf{P} = \mathsf{BPP}$ subexponential আকারের সার্কিট থাকবে! $\mathsf{E} = \mathsf{DTIME}(2^{O(n)})$

— জোশুয়া গ্রোচো
সূত্র

তাই এই নির্বিশেষে স্থল ক্ষেত্রের ঝুলিতে (ইন কোফিসিয়েন্টস

যেখানে

কোফিসিয়েন্টস কিছু সীমা সঙ্গে)?

Q_{p}

$\Bbb Q_p$

p \in {2, 3, 5, 7, \dots} \cup {\infty}

$p\in\{2,3,5,7,\dots\}\cup\{\infty\}$

প্রকৃতপক্ষে, যেমন আপনি ইতিমধ্যে চিহ্নিত করেছেন শোয়ার্জ-জিপ্পেল-ডিমিলো-লিপটন স্বেচ্ছাসেবী ক্ষেত্রগুলির উপরে প্রযোজ্য, এবং এটির প্রয়োজনীয় সমস্তগুলি বহুবর্ষের ডিগ্রির উপর আবদ্ধ (কোনও সহগের আকার বা সার্কিটের আকার নয়)। খুব অল্প সংখ্যক ব্যতিক্রম ব্যতীত পিআইটি এর অর্থ সাধারণত ডিগ্রি-বন্ডেড সংস্করণ (ভেরিয়েবলের সংখ্যায় বহুমাত্রিক দ্বারা আবদ্ধ ডিগ্রি) means

— জোশুয়া গ্রাচো

একটি নির্বোধ জিনিস হতে পারে। আপনি সহগের আকার এবং সার্কিটের আকারে অনিবার্যতার কথা উল্লেখ করেছেন। আমি ধরে নিয়েছি আকার ডিগ্রি এবং কোফের আকারের উপর নির্ভর করে। আমি কি ভূল?

আপনার মডেলের উপর নির্ভর করে সার্কিটের আকার কোফের আকারের উপর নির্ভর করতে পারে (যে মডেলটিতে এটি নির্ভর করে তাকে সাধারণত "ধ্রুবক মুক্ত" বলা হয়)। সার্কিটের আকারটি কেবলমাত্র ডিগ্রির উপর খুব dependsিলে .ালা নির্ভর করে, এই অর্থে যে আকারটি কমপক্ষে ডিগ্রির লগ হয় তবে সত্যই এসজেডডিএল থেকে আসা কোআরপি অ্যালগরিদম মাত্র প্রায় ডিগ্রি। এটি সার্কিট হিসাবে প্রদত্ত ফাংশনগুলির উপরও নির্ভর করে না - কেবল এমন কোনও আকারে যা তাদের সহজেই মূল্যায়ন করা যায় ("ব্ল্যাক-বাক্স")।

— জোশুয়া গ্রাচো

ধন্যবাদ. এটি একটি সামান্য উদ্বেগজনক যে ডেরাডমাইজেশন দক্ষতার ক্ষতি ছাড়াই করা যেতে পারে এমনকি যদি তার

আপনি এখানে বড় ছবির সমস্যা নিয়ে ভাবছেন। একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা আনমনীয় স্বরলিপিতে স্বতন্ত্রভাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে, তবে এই উপস্থাপনাটি যথেষ্ট স্থান অদক্ষ। আপনি এটি বাইনারি স্বরলিপিতেও উপস্থাপন করতে পারেন, যা আরও বেশি স্থান দক্ষ, তবে আর আর প্রচলিত নয়, কারণ আপনি টেনারি নোটেশন বা দশমিক স্বরলিপিও ব্যবহার করতে পারেন। তবে লক্ষ্য করুন যে সার্কিট দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা বাইনারি স্বরলিপি তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে কম দক্ষ নয়, উদাহরণস্বরূপ দেখুন

101101 = (((1+1)*(1+1)+1)*(1+1)+1)*(1+1)*(1+1)+1

এবং বিজ্ঞপ্তি যা (...)*(1+1)প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে x:=(...) in x+x, সুতরাং এর জন্য আপনার এমনকি গুণক প্রয়োজন হয় না। তবে আপনার কাছে গুণ রয়েছে, আপনি এমনকি দক্ষতার মতো সংখ্যা উপস্থাপন করতে পারেন 1011^101101। এছাড়াও লক্ষ করুন যে আপনি এই উপস্থাপনায় দক্ষতার সাথে সংখ্যাগুলি যুক্ত করতে পারেন, বিয়োগ করতে পারেন এবং গুণ করতে পারেন। তবে এই উপস্থাপনাটি সংখ্যার মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়, এটি বহুবিধ বহুপদী ফাংশনগুলির জন্য ঠিক একইভাবে কাজ করে। বহুবর্ষের জন্য এটি এমনকি একেবারে প্রাকৃতিক উপস্থাপনা, কারণ বহুবচনগুলি আবর্তনমূলক রিংগুলির জন্য মুক্ত বীজগণিত এবং সার্কিট হিসাবে প্রতিনিধিত্ব যে কোনও বিনামূল্যে বীজগণিতের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে।

তবে আসুন এক মুহুর্তের জন্য (প্রাকৃতিক) সংখ্যায় ফিরে আসি, মতো সংখ্যাগুলি । এনজে ওয়াইল্ডবার্গার কিছু আল্ট্রাফিনিটিস্ট ভ্যান্ট লিখেছেন, উদাহরণস্বরূপ থিওরি সেট করুন: আপনার বিশ্বাস করা উচিত? । বিভাগে কিন্তু প্রাকৃতিক সংখ্যা সম্পর্কে কি? মতো সংখ্যার অস্তিত্ব স্বীকার করা হয়েছে, কারণ আপনি অবশ্যই এগুলি লিখতে পারেন। তবে এবং মধ্যে প্রায় সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার অস্তিত্ব $c=10^{10^{10^{10^{10}}}}$ $c$ $0$ $c$ প্রত্যাখ্যান করা হয়েছে, কারণ এই সংখ্যাগুলির বেশিরভাগটিতে সম্ভবত শারীরিক মহাবিশ্ব দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে তার চেয়ে বেশি তথ্য থাকবে। বেশিরভাগ অভিজাত আমাকে হাসিয়ে তুলেছিল তবে এই পয়েন্টটি আমাকে ভাবতে পেরেছিল। উইলার্ড ভ্যান অরম্যান কুইনের মতো দার্শনিকরা অন্যদের মধ্যেও অপ্রচলিত সম্ভাবনার অস্তিত্বের দাবি করার বিরুদ্ধে প্রতিবাদ করেছেন কারণ এগুলি বিশৃঙ্খলাবদ্ধ উপাদানগুলির দিকে পরিচালিত করে যা অর্থপূর্ণভাবে বলা যায় না যে তারা নিজের সাথে অভিন্ন এবং একে অপরের থেকে পৃথক। সুতরাং আমি সংখ্যা উপস্থাপনা সম্পর্কে বিস্মিত হওয়া বেশ যুক্তিসঙ্গত বলে মনে করি যার জন্য এখনও কেউ সংযোজন, বিয়োগফল এবং গুণন করে এবং অন্তত অর্থপূর্ণভাবে নির্ধারণ করে যে দুটি সংখ্যা একে অপরের থেকে পৃথক কিনা whether সার্কিটের উপস্থাপনা এটি অর্জন করে ...

বহুবিবাহ এবং ফ্রি বীজগণিতগুলির সার্কিট উপস্থাপনায় ফিরে যান। এখানে কিছু বড় ছবির প্রশ্ন:

নিখরচায় বীজগণিতের এই প্রতিনিধিত্বনা কি সর্বদা দক্ষ সম্ভাব্য পরিচয় পরীক্ষার অনুমতি দেয়, বা এটি কি চলাচলের রিংয়ের মধ্যে সীমাবদ্ধ?
-> পরিচয়পত্র পরীক্ষামূলক প্রায়ই এমনকি undecidable বলে: , বিনামূল্যে মডুলার জাফরি দ্বারা উত্পন্ন উপাদানের অসীম এবং আসলে একটি undecidable শব্দ সমস্যা (Freese, Herrmann) আছে। $n\geq 4$ $n$
কোনও নিখরচায় বীজগণিত আছে যার জন্য দক্ষ নির্দোষ পরিচয় পরীক্ষাটি কোনও সাধারণ বিশ্বাসী অনুমান যেমন পি! = এনপি অবৈধ করে দেবে?
-> হ্যাঁ, নিয়মিত যাতায়াত রিংয়ের জন্য বিনামূল্যে বীজগণিতের জন্য পরিচয় পরীক্ষাটি এনপি-সম্পূর্ণ। দীর্ঘদিন এটি লক্ষ্য করা যায় নি, নীচে দেখুন ...
(= কমিউটিভ রিংগুলির বিনামূল্যে বীজগণিত) এর জন্য দক্ষ নির্ণায়ক পরিচয় পরীক্ষা কোনও আকর্ষণীয় অনুমানকে বাতিল করে দেবে? $\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

আমি এখানে নিয়মিত যাতায়াত রিংগুলির জন্য নিখরচায় বীজগণিত সম্পর্কে উদ্বিগ্ন হয়েছি (অর্থাত্ একটি সাধারণ বিপরীতমুখী ক্রিয়াকলাপের রিংগুলি), কারণ তারা যুক্তিযুক্ত সংখ্যা এবং যুক্তিযুক্ত ফাংশন উপস্থাপনের অনুমতি দেয়। মনে রাখবেন যে আমরা যদি এই প্রতিনিধিত্বটি কেবল সংখ্যার জন্য ব্যবহার করে থাকি, তবে আমরা ভাবতে পারি যে আমরা a < bএই প্রতিনিধিত্বের জন্য দক্ষতার সাথে পরীক্ষা করতে পারি কিনা । এই প্রশ্নটি বিনামূল্যে যাতায়াত রিংয়ের জন্য অর্থবোধ করে না, তবে আমরা যদি আংশিক অর্ডারযুক্ত রিংগুলির প্রসঙ্গে তাদের ব্যাখ্যা করি তবে এটি বহুবচনগুলির পক্ষে অর্থপূর্ণ হতে পারে। তবে আংশিক অর্ডার করা রিংটি বীজগণিতের পরিবর্তে কেবলমাত্র একটি সম্পর্কিত কাঠামো, সুতরাং এটি অন্যরকম প্রশ্ন ...

শোয়ার্জ-Zippel থিম এখানে প্রযোজ্য যেহেতু এটি সাধারণ ক্ষেত্র এবং জন্য ঝুলিতে এবং এই সমস্যার জন্য একটি দক্ষ এলোমেলোভাবে অ্যালগরিদম হয়। $\Bbb Z\subset\Bbb Q$

আচ্ছা, সত্য যে শোয়ার্জ-জিপ্পেল লেমা এখানে প্রয়োগ হয় এবং এই সমস্যার জন্য একটি দক্ষ এলোমোরিজম রয়েছে তবে এই দুটি সত্যই সরাসরি সম্পর্কিত নয়। মনে রাখবেন যে সার্কিটের মাধ্যমে মতো বহুপদীকে দক্ষতার সাথে উপস্থাপন করা সহজ । সুতরাং যদি হ'ল সার্কিটের আকার, তবে , বা সহগের বিশালাগুলি $((3^3+3)^3+x)^3-((2^2+5)^3+x)^2x$ $n$ $7^{2^{n/2}}$ অর্জন করা সহজ। এটি বলেছিল, সম্ভাব্য বহুপদী পরিচয় পরীক্ষা এখনওজুড়ে কাজ করে। সহগের উপর আবদ্ধ হ'ল, এবং আপনাকে কেবল এলোমেলোভাবে একটি প্রাথমিক সংখ্যাটি অনুমান করতে হবে যা একই সাথে সমস্ত সহগকে ভাগ করে দেয় না। একটি দক্ষ সম্ভাব্য ফ্যাশনেএটি করার জন্য পর্যাপ্ত পরিমাণে অর্ডারবিদ্যমান। $5^{3^{n/3}}$ $\mathbb Z$ $B=\exp(\exp(n))$ $O(\log B)$

আমি এটিকে বেশ অবাক করে দেখছি যদি পিআইটি কে ভেঙে ফেলা যায়। আমার আগেও একইরকম আশ্চর্য ঘটনা ঘটেছিল, যখন প্রাথমিকতা পরীক্ষাটি ভেঙে ফেলা হয়েছিল। $\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

অন্যদিকে, আমি আরও বিশ্বাস করি যে আপনি কেবলমাত্র কোনও যুক্তিসঙ্গত সিডোডোরডম নম্বর জেনারেটর ব্যবহার করতে পারেন এবং এরপরে সমস্ত ব্যবহারিক উদ্দেশ্যে পিআইটি স্থির করতে পারেন, যদি আপনি কেবল দীর্ঘ পরীক্ষা করেন। আমি কেবল বিশ্বাস করি যে আপনি কখনই অবশিষ্ট (অনন্য ক্ষুদ্র) সন্দেহ থেকে মুক্তি পেতে পারবেন না, শূন্যের পরিমাপের সমান সমান, যা খালি না হয়ে বিরক্তিকর থেকে যায়।

— টমাস ক্লিম্পেল
সূত্র

P! = N P

$P!=NP$

আমি কেবল একটি বিনামূল্যে বীজগণিত ইস্যু নিয়ে ভাবছি তবে আপনি যা ভাবছেন তা নয়