সংখ্যা ক্ষেত্রের চালনী সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে জটিলতা কি?

Question

প্রদত্ত যৌগিক সাধারণ সংখ্যা ক্ষেত্র চালনী সেরা পূর্ণসংখ্যা গুণকনির্ণয় জন্য গুণকনির্ণয় অ্যালগরিদম পরিচিত । এটি এলোমেলোভাবে তৈরি করা অ্যালগরিদম এবং আমরা বিগের একটি প্রত্যাশিত জটিলতা পাই factor থেকে ফ্যাক্টর ।$N\in\Bbb N$$N$$O\Big(e^{\sqrt{\frac{64}{9}}(\log N)^{\frac 13}(\log\log N)^{\frac 23}}\Big)$$N$

আমি এলোমেলোভাবে তৈরি করা অ্যালগরিদমের সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে জটিলতার তথ্য অনুসন্ধান করেছি। তবে আমি তথ্য সনাক্ত করতে অক্ষম।

(1) নম্বর ফিল্ড চালনী সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে জটিলতা কি?

(২) এছাড়াও একটি নির্গমনাত্মক সুবেস এক্সপ্লোরেশনাল অ্যালগরিদম দিতে এখানে এলোমেলোতা মুছে ফেলা যায়?

Answer 1

সংখ্যা ক্ষেত্রের চালনীটি কখনও কঠোরভাবে বিশ্লেষণ করা হয়নি। যে জটিলতাটি আপনি উদ্ধৃত করেছেন তা নিছক হিউরিস্টিক। কেবলমাত্র সুবেস এক্সনসনশিয়াল অ্যালগরিদম যা কঠোরভাবে বিশ্লেষণ করা হয়েছে তা হ'ল ডিক্সনের ফ্যাক্টরিজেশন অ্যালগরিদম , যা চতুর্ভুজীয় চালনীয়ের সাথে খুব মিল। উইকিপিডিয়া মতে, ডিক্সন এর সময় অ্যালগরিদম রান । ডিক্সনের অ্যালগরিদম এলোমেলোভাবে তৈরি।$e^{O(2\sqrt{2}\sqrt{\log n\log\log n})}$

সমস্ত (তাত্ত্বিকভাবে) সুপ এক্সফোনশিয়াল অ্যালগরিদমের জন্য র্যান্ডমাইজেশন প্রয়োজন। ডিক্সন এর এলগরিদম চাহিদা পূর্ণসংখ্যার এটি যেমন যে মসৃণ হবে (ছোট মৌলিক সংখ্যার একটি পণ্য নির্ধারণের কালে উপাদান হিসাবে করা যাবে) এবং "র্যান্ডম", এবং সংখ্যা-ক্ষেত্র চালনী অনুরূপ কিন্তু আরো জটিল প্রয়োজনীয়তা আছে। উপবৃত্তাকার বক্রাকার পদ্ধতিতে একটি উপবৃত্তাকার বক্র মোডুলো যার অর্ডার মডিউল কিছু উপাদান মসৃণ। উভয় ক্ষেত্রেই অ্যালগরিদমগুলি ডেরানডমাইজ করা শক্ত বলে মনে হয়।$x$$x^2 \pmod{n}$$n$$n$

এই সমস্ত অ্যালগোরিদমের নামমাত্র সবচেয়ে খারাপ-জটিলতা হ'ল অসীমতা: চতুর্ভুজীয় চালনী এবং সংখ্যা ক্ষেত্রের চালনের ক্ষেত্রে আপনি সর্বদা একই , যখন উপবৃত্তাকার বাঁক পদ্ধতিতে আপনি সর্বদা একই উপবৃত্তাকার বক্ররেখা তৈরি করতে পারেন । এর চারপাশে অনেকগুলি উপায় রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ সমান্তরালে একটি ক্ষতিকারক সময় অ্যালগরিদম চালানো।$x$

Comments

যেহেতু আপনি খুব ECM স্পর্শ: আমরা একটি subexp অ্যালগরিদম এলোমেলোভাবে গনা জানেন মধ্যে সময় ECM ব্যবহার যেখানে অজানা এবং এলোমেলোভাবে হয়। আপনি কিভাবে এই অ্যালগরিদম যথেষ্ট অনেক বিচারের প্রাপ্ত উপর একটি অনুমান আছে এবং যেখানে ? $n!r$$O(exp(\sqrt{\log n}))$$r$$n!r$$n!s$$(r,s)=1$

আমার কোন ধারণা কি আছে , কিন্তু সাধারণভাবে বলতে, যখন ECM মধ্যে পরামিতি নির্বাচন, আমরা সম্ভাব্যতা মধ্যে মিট করছে যে বক্ররেখা মসৃণ যথেষ্ট এবং চলমান সময় প্রতিটি বক্ররেখা পরীক্ষা করার প্রয়োজন নেই। সাধারণত ব্যালেন্স পয়েন্ট হয় যখন । সুতরাং পরীক্ষার প্রত্যাশিত সংখ্যা । $n!r$$p$$T$$1/p \approx T$$O(\exp\sqrt{\log n})$

— যুবাল ফিল্মাস

$n!$ ফ্যাকটোরিয়াল । ফ্যাকটোরিয়ালটির সোজা লাইনের জটিলতা পাওয়া এটি একটি উন্মুক্ত সমস্যা। আমরা জানি যে কীভাবে গণনা করতে হবে যেখানে subexp সময়ে অজানা। আমরা যদি দুটি ভিন্ন এবং , আমরা পেতে পারিsubexp সময় যদি । $n$$n!r$$r$$n!r$$n!s$$(n!r,n!s)=n!$$(r,s)=1$

মনে আছে কিছুক্ষণ আগে ফিরে এসেছি। আমি মনে করি না যেহেতু একটি ক্যাচ ছিল তাই আমি একটি উন্নতি পেতে পারি এবং আমি বিশদটি মনে করি না।

শেষ অনুচ্ছেদটি অদ্ভুত বলে মনে হচ্ছে এবং আরও ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। আপনি কি এমন দৃশ্যের কথা বলছেন যেখানে আরএনজি অর্থে "ভাঙ্গা" অর্থে এটি সামগ্রিক বিতরণের জায়গার নমুনা দেয় না? তবে কি সেখানে সমান্তরালতা সাহায্য করবে না? কারণ এটি সমান্তরালভাবে একই "ভাঙ্গা" আরএনজি হবে? বা ধারণাটি কি এটি সমান্তরালভাবে আলাদা আরএনজি চালানো হবে? ফ্যাক্টরিং অ্যালগরিদমগুলির সমান্তরাল জটিলতা আসলেই একটি সম্পূর্ণ অন্যান্য জটিল বিষয় যেমন কিছুকে অন্যের চেয়ে ভালভাবে সমান্তরাল করা যায়, বিগ-ও হুবহু

— প্রয়োগ

Answer 2

গত কয়েকমাসে, নম্বর ফিল্ডের চালনীটির একটি সংস্করণ কঠোরভাবে বিশ্লেষণ করা হয়েছে: http://www.fields.utoronto.ca/talks/rigorous-analysis-randomized-number-field-sieve-factoring

মূলত সবচেয়ে খারাপ সময় চলার সময়টি নিঃশর্ত এবং অধীনে। এটি "ক্লাসিক" নম্বর ক্ষেত্রের চালনের জন্য নয়, কিছুটা পরিবর্তিত সংস্করণ যা জটিলতা বিশ্লেষণকে আরও সহজ করার জন্য আরও পদক্ষেপকে এলোমেলো করে তোলে।$L_n(1/3, 2.77)$$L_n(1/3, (64/9)^{1/3})$

আমি বিশ্বাস করি যে সম্পর্কিত কাগজটি এখনও পর্যালোচনাধীন রয়েছে।

আপডেট: কাগজ এখন আউট। জোনাথন ডি লি এবং রামরথনাম ভেঙ্কটেসন, "একটি এলোমেলোভাবে নম্বর ফিল্ড চালনীয়ের কঠোর বিশ্লেষণ," জার্নাল অফ নাম্বার থিওরি 187 (2018), পৃষ্ঠা 92-159, ডই : 10.1016 / j.jnt.2017.10.019

Comments

শিরোনাম, লেখক এবং যেখানে প্রকাশিত সহ আমরা আরও শিখতে পারি, আপনি কি আরও একটি সম্পূর্ণ রেফারেন্স দিতে পারেন, যাতে লিঙ্কটি কাজ করা বন্ধ করে দিলেও উত্তরটি এখনও কার্যকর?

— DW

যেহেতু ফলাফলটি সম্প্রতি প্রকাশিত হয়েছিল, তাই আমি বিশ্বাস করি যে এটি বর্তমানে আমার উত্তরে উল্লিখিত হিসাবে পর্যালোচনাাধীন রয়েছে, এবং তাই এখনও প্রকাশিত হয়নি। ভবিষ্যতে প্রকাশের তথ্য পাওয়া গেলে আমি আমার উত্তর আপডেট করব।

— djao

FWIW এটি arxiv.org তে নেই বলে মনে হচ্ছে। তবে লেখক হলেন রামরথনাম ভেঙ্কটেসান, যা ভবিষ্যতে অনুসন্ধানগুলি তাদের প্রয়োজনীয় হওয়াতে সহায়তা করতে পারে।

— পিটার টেলর

এটি আসলে একটি দ্বি-লেখক রচনা (জেডি লি এবং আর ভেঙ্কটসান

— সারি