এটি একটি ঝরঝরে প্রশ্ন এবং আমি আগে এটি সম্পর্কে ভেবেছিলাম এখানে আমরা কী নিয়ে এসেছি:
X 1 , ⋯ , x n ∈ R d আউটপুট পেতে আপনি আপনার অ্যালগরিদম বার চালান এবং আপনি জানেন কী উচ্চ সম্ভাবনার সাথে x i এর একটি বড় ভগ্নাংশ কিছু ভাল সেট জি এর মধ্যে পড়ে । আপনি জানেন না জি কী, কেবল এটি উত্তেজক। সুসংবাদটি হ'ল জি-তে একটি পয়েন্ট পাওয়ার উপায় রয়েছে যা সম্পর্কে আরও কোনও তথ্য নেই। এই বিন্দুটিকে f ( x 1 , ⋯ , x n ) কল করুন ।nx1,⋯,xn∈RdxiGGGf(x1,⋯,xn)
উপপাদ্য। সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য এবং d , একটি ফাংশন উপস্থিত রয়েছে f : ( R d ) n → R d যা নিম্নলিখিতটি ধারণ করে। আসুন x 1 । । । x n ∈ R d এবং G ⊂ R d কে উত্তেজক সেট হতে 1 সন্তুষ্ট করুনndf:(Rd)n→Rdx1...xn∈RdG⊂Rdতারপরচ(এক্স1,।।।,Xএন)∈জি। অধিকন্তু,চndতে সময়ের বহুপদীতে গণনাযোগ্য।
1n|{i∈[n]:xi∈G}|>dd+1.
f(x1,...,xn)∈Gfnd
উল্লেখ্য, জন্য , আমরা সেট করতে পারেন চ মধ্যমা যাবে। সুতরাং এটি d > 1 এর জন্য মিডিয়াকে কীভাবে সাধারণ করতে হয় তা দেখায় ।d=1fd>1
যাক: এই ফলাফল নোট প্রতিপাদন, যে এটি টাইট আগে দিন এক্স 1 , ⋯ , এক্স ঘ মান ভিত্তি উপাদান হতে হবে এবং এক্স ঘ + + 1 = 0 । কোন উপসেট ঘ পয়েন্ট একটি অ্যাফিন স্থান উপস্থিত রয়েছে জি মাত্রা এর ঘ - 1 (যা স্বতন্ত্র তাদের পয়েন্ট দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়)। তবে সেই সমস্ত স্পেইন স্পেসে কোনও বিন্দু নেই। অতএব এমন কিছু উত্তল জি রয়েছে যা n ⋅ d / ( d +) ধারণ করেn=d+1x1,⋯,xdxd+1=0dGd−1G পয়েন্ট তবে এতে f ( x 1 , ⋯ , x n ) থাকে না , যা মান লাগে।n⋅d/(d+1)=df(x1,⋯,xn)
প্রুফ। আমরা নিম্নলিখিত ফলাফল ব্যবহার।
হেলির উপপাদ্য। যাক আর ডি এর উত্তল সাবসেট হতে হবে । ধরুন যে কোনও ডি + 1 কে আই এস এর ছেদটি উদ্বিগ্ন নয়। তারপরে সমস্ত K i s এর ছেদটি উদ্বিগ্ন নয়।K1...KmRdd+1 KiKi
হেলির উপপাদ্যের প্রমাণের জন্য এখানে ক্লিক করুন।
এখন আমাদের উপপাদ্য প্রমাণ করতে:
যাক হতে একটি ঊর্ধ্ব নেই পয়েন্ট সংখ্যার উপর আবদ্ধ জি । সমস্ত বন্ধ হাফ স্পেস কে 1 বিবেচনা করুন । । । কে এম ⊂ আর ঘ অন্তত ধারণকারী এন - ট তাদের তাদের সীমানা সর্বোচ্চ পদে পয়েন্ট একটি সেট সম্বলিত পয়েন্ট (এটি সসীম প্রতিটি যেমন halfspaces সংখ্যা কে আমি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় ঘ + + 1 তার সীমানা উপর পয়েন্ট)।k<n/(d+1)GK1...Km⊂Rdn−kKid+1
প্রতিটি পরিপূরকগুলিতে সর্বাধিক কে পয়েন্ট থাকে। ইউনিয়নের সাথে আবদ্ধ, ছেদকৃত কোনও ডি + 1 কে আই এস কমপক্ষে এন - কে ( ডি + 1 ) > 0 পয়েন্ট থাকে। হেলির উপপাদ্য দ্বারা (যেহেতু অর্ধ স্পেসগুলি উত্তল), সমস্ত কে i এর ছেদগুলির মধ্যে একটি বিন্দু রয়েছে । আমরা f কে এমন একটি ফাংশন হতে দিই যা K i এর ছেদের মধ্যে একটি স্বেচ্ছাসেবী বিন্দুকে গণনা করে ।Kikd+1 Kin−k(d+1)KisfKi
যে সমস্ত অবশিষ্ট রয়েছে তা দেখানোর জন্য যে এর ছেদটি জি-তে রয়েছে ।KiG
সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই, পুরো পদের সাথে পয়েন্টগুলির একটি উপসেটের উত্তল হাল। এটি হ'ল, আমরা এর সাথে থাকা পয়েন্টগুলির উত্তল হাল দিয়ে জি কে প্রতিস্থাপন করতে পারি । যদি এটির পুরো র্যাঙ্ক না থাকে তবে আমরা কেবলমাত্র আমাদের উপপাদাকে নিম্ন মাত্রায় প্রয়োগ করতে পারি।GG
প্রতিটি মুখ একটি অর্ধস্পেসিকে সংজ্ঞায়িত করে, যেখানে জি এই অর্ধ স্পেসগুলির ছেদ রয়েছে। এই হাফ স্পেসগুলির প্রত্যেকটিতে জি থাকে এবং তাই কমপক্ষে n - কে পয়েন্ট থাকে। এই অর্ধেক স্থানের সীমানায় জি এর মুখ রয়েছে এবং তাই সর্বাধিক র্যাঙ্কের একটি সেট রয়েছে contains সুতরাং এই অর্ধ স্পেসগুলির প্রতিটি একটি কে i । সুতরাং সমস্ত কে i এর ছেদগুলি প্রয়োজনীয়ভাবে জি-তে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে ।GGGn−kGKiKiG
গণনা করতে , রৈখিক প্রোগ্রাম সেটআপ করুন যেখানে লিনিয়ার সীমাবদ্ধতা K i s এর সাথে মিলে যায় এবং একটি সম্ভাব্য সমাধানটি সমস্ত K i এর ছেদকেন্দ্রের বিন্দুর সাথে মিলে যায় ।
QedfKiKi
দুর্ভাগ্যক্রমে, উচ্চ ফলাফলের সেটিংটিতে এই ফলাফলটি খুব ব্যবহারিক নয়। একটি ভাল প্রশ্ন হ'ল আমরা আরও দক্ষতার সাথে গণনা করতে পারি কিনা :f
ওপেন সমস্যা। প্রমাণ অতিরিক্ত উপসংহার সাথে উপরে উপপাদ্য সময় বহুপদী মধ্যে নির্ণিত করা যেতে পারে এন এবং ঘ ।
fnd
একদিকে: একটি কার্যকর সমাধান পেতে আমরা সমস্যাটিও পরিবর্তন করতে পারি: যদি এমন সম্পত্তি থাকে যা তাদের অর্ধেকেরও বেশি একটি বল B ( y , ε ) এ থাকে তবে আমরা একটি পয়েন্ট z খুঁজে পেতে পারি এটি বি ( y , 3 ε ) এর মধ্যে n এবং d তে বহুবর্ষের মধ্যে রয়েছে । বিশেষত, আমরা নির্বিচারে i এর জন্য z = x i নির্ধারণ করতে পারি যে পয়েন্টের অর্ধেকেরও বেশি পয়েন্ট বিতে রয়েছেx1,⋯,xnB(y,ε)zB(y,3ε)ndz=xii ।B(z,2ε)