সিএনএফ-স্যাট-এর জন্য কোনও অ-নিষেধাজ্ঞামূলক লিনিয়ার সময় অ্যালগোরিদম আছে কি?

Question

সিএনএফ-স্যাট সিদ্ধান্তের সমস্যাটি নীচে বর্ণিত হতে পারে:

ইনপুট: একটি বুলিয়ান সূত্র $\phi$ স্বাভাবিক আকারে।

প্রশ্ন: সন্তুষ্ট একটি পরিবর্তনীয় অ্যাসাইনমেন্ট আছে কি $\phi$?

আমি সিএনএফ-স্যাট সমাধানের জন্য একটি নন-ডিস্ট্রিমেন্টিক টু-টেপ ট্যুরিং মেশিনের সাথে বিভিন্ন পদ্ধতির বিষয়টি বিবেচনা করছি ।

আমি বিশ্বাস করি যে এমন একটি এনটিএম রয়েছে যা সিএনএফ-স্যাটকে $n \cdot \texttt{poly}(\log(n))$ পদক্ষেপগুলিতে সমাধান করে।

প্রশ্ন: সেখানে একটা NTM হয় সমাধান CNF-স্যাট যে $O(n)$ পদক্ষেপ?

কোনও প্রাসঙ্গিক রেফারেন্স প্রশংসা করা হয় এমনকি যদি তারা কেবল লিনিয়ার সময় অ-নির্জনবাদী পদ্ধতির কাছে সরবরাহ করে।

Comments

2001 সালে Santhanam লিখেছিলেন: "স্যাট NTIME ( এন polylog ( এন ) ), একটি ফলে ঘটনা যে স্যাট গ্রহণযোগ্য করা যাবে অনুসরণ এন polylog ( এন ) একটি NRAM সময় সেখানে NTMs দ্বারা NRAMs একজন দক্ষ সিমুলেশন যে , গুরেভিচ এবং শেলাহের কারণে। " সুতরাং এটি আমার কাছে অসম্ভব বলে মনে হচ্ছে যে SAT ∈ NTIME ( n ) জানা আছে। (উল্লেখের 1989 থেকে LNCS 363 হয়)$\in$$n$$(n)$$n$$(n)$$\in$$n$

— András Salamon

@ বোসন, ধরে নিন যে আপনাকে কেবল একটি সন্তোষজনক কার্যভারই দেওয়া হয়নি তবে সেই সূত্রের সম্পূর্ণ গণনাও দেওয়া হয়েছে। রৈখিক সময়ে এটি বৈধ গণনা কিনা আপনি কীভাবে পরীক্ষা করবেন? এটি 3CNF-SAT এর জন্যও আপনি করতে পারেন তা পরিষ্কার নয় কারণ ভেরিয়েবলগুলির অ্যাসাইনমেন্ট সন্ধান করতে আপনাকে প্রায় লাফাতে হবে।

— কাভেহ

@ বোসন এটি স্পষ্ট নয় যদি আপনি যাচাই করতে পারেন যে অ্যাসাইনমেন্টটি লাইন টাইমটিতে একটি দ্বি-টেপ টিএম দিয়ে সূত্রটি পূরণ করে। আপনাকে সম্ভবত অনেক সময় টেপ মাথাটি পিছনে পিছনে সরিয়ে নিতে হবে। আপনার যদি এই যাচাইকরণের জন্য দক্ষ দৃষ্টিভঙ্গি থাকে তবে দয়া করে আমাকে জানান। :)

— মাইকেল ওয়েহার

শুধু একটি নোট: ভেরিয়েবল ইউনারী (স্যাট এখনও এনপিসি হয়) মধ্যে প্রতিনিধিত্ব করা হয়, তাহলে সেখানে দুই টেপ NTM যে ইউনারী Satisfiable সূত্র স্বীকার করে মধ্যে 2 | φ | পদক্ষেপ$\varphi$$2|\varphi|$

— মারজিও দে বিয়াসি

@ মিশেলওহর আপনি যদি একটি গণনা বাছাই ব্যবহার করেন তবে আপনি যুক্তিসঙ্গত এলোমেলো অ্যাক্সেস মডেল (যেমন, র‌্যান্ডম অ্যাক্সেস টুরিং মেশিনে) যেমন [0, কে] এর পরিসরে এন কীগুলি বাছাই করতে পারেন (লগইন করুন এন) একটি সূচি লিখে দেওয়ার সময়, তারপরে টেপের সেই সূচীতে 1 পদক্ষেপে ঝাঁপিয়ে পড়তে পারে)। আপনি যদি প্রতিটি আক্ষরিককে একটি (লগ এন + 1) বিট স্ট্রিং হিসাবে এনকোড করেন, তবে ক্লজ এবং ভেরিয়েবলগুলির মোট সংখ্যা সর্বাধিক ও (এন / লগ এন) হয়, সেক্ষেত্রে ও (লগ এন)-সমস্ত লিটারেলের সময়কালীন ক্রিয়াকলাপ ঠিক আছে। দুটি টেপ টিএম বর্ধিত করা সহজবোধ্য নয়, কমপক্ষে গণনা অনুসারে।

— রায়ান উইলিয়ামস

Answer 1

এটি কেবল একটি বর্ধিত মন্তব্য। কয়েকবার আগে আমি (নিজেকে :-) জিজ্ঞাসা করেছি যে কোনও মাল্টিট্যাপ এনটিএম যে কোনও (যুক্তিসঙ্গত এনকোডড) এনপি-সম্পূর্ণ ভাষা গ্রহণ করতে পারে তা কত দ্রুত। আমি এই ধারণাটি নিয়ে এসেছি:

ভেরিয়েবলগুলি অ্যানারিতে প্রতিনিধিত্ব করা হলেও 3-স্যাট এনপি-সম্পূর্ণ থাকে। বিশেষত আমরা একটি বর্ণটিকে রূপান্তর করতে পারি - ধরুন - বর্ণমালার উপরের অক্ষরের ক্রম n = { + , - , 1 এর মধ্যে n ভেরিয়েবল এবং এম ক্লোজের উপর নির্বিচারে 3-স্যাট সূত্রের formula } যা প্রত্যেক পরিবর্তনশীল সংঘটন ইউনারী মধ্যে প্রতিনিধিত্ব করা হয়:$(x_i \lor \neg x_j \lor x_k)$$\varphi$$n$$m$$\Sigma = \{ +, -, 1 \}$

$+ 1^{i} 0,- 1^{j} ,+ 1^{k}$

উদাহরণস্বরূপ, রূপান্তর করা যেতে পারে:$(x_2 \lor -x3 \lor +4)$

+110-1110+11110

সুতরাং আমরা একটি 3-স্যাট সূত্র রূপান্তর করতে পারেন একটি সমতুল্য স্ট্রিং ইউ ( φ আমি ) তার ক্লজ concatenating। ভাষা এল ইউ = { ইউ ( φ আমি ) | φ আমি ∈ 3 - এস একজন টি } দ্বারা NP-সম্পূর্ণ।$\varphi_i$$U(\varphi_i)$$L_U = \{ U(\varphi_i) \mid \varphi_i \in 3-SAT \}$

একটি 2-টেপ NTM যদি একটি স্ট্রিং সিদ্ধান্ত নিতে পারেন সময় 2 | এক্স | এইভাবে.$x \in L_U$$2|x|$

• প্রথম মাথা বাম থেকে ডানদিকে ইনপুট স্ক্যান করে এবং অভ্যন্তরীণ যুক্তি দিয়ে এটি কোনও ধারাতে প্রবেশ করে বা প্রস্থানটি বের হওয়ার সময় বা সূত্রের শেষে পৌঁছানোর সময় এটি ট্র্যাক করে রাখে। যখনই এটি একটি বা - সন্ধান করে , তখন দ্বিতীয় মাথাটি 1 i এর সাথে ডানদিকে চলতে শুরু করে যা x i প্রতিনিধিত্ব করে । 1 i এর শেষে , যদি দ্বিতীয় মাথাটি 0 থাকে তবে এটি একটি সত্য মানের + বা - এটি নির্ধারণ করে g এবং এটি দ্বিতীয় টেপটিতে লিখে দেয়; যদি এটি একটি + বা - সন্ধান করে তবে সেই পরিবর্তনশীলটিকে ইতিমধ্যে একটি মান নির্ধারণ করা হয়েছে;$+$$-$$1^i$$x_i$$1^i$$0$$+$$-$$+$$-$
• উভয় ক্ষেত্রেই, অভ্যন্তরীণ যুক্তি ব্যবহার করে, এনটিএম সর্বশেষ দেখা বা - এর সাথে দ্বিতীয় মাথা (অ্যাসাইনমেন্ট) এর নিচে সত্য মানের সাথে মেলে ; যদি তারা মেলে তবে ধারাটি সন্তুষ্ট;$+$$-$
• তারপরে দ্বিতীয় মাথাটি ডানদিকের ঘরে ফিরে আসতে পারে;
• অভ্যন্তরীণ যুক্তি দিয়ে এনটিএম ট্র্যাক রাখতে পারে যদি সমস্ত ধারাটি সন্তুষ্ট হয় তবে প্রথম মাথাটি ইনপুটটির শেষের দিকে যায়।

উদাহরণ:

Tape 1 (formula)    Tape 2 (variable assignments)
+110-1110+11110...  0000000000000...
^                   ^
+110-1110+11110...  0000000000000...
 ^                  ^
+110-1110+11110...  0000000000000...
  ^                  ^
+110-1110+11110...  0+00000000000... first guess set x2=T; matches +
  ^                  ^               so remember that current clause is satisfied
+110-1110+11110...  0+00000000000... 
  ^                  ^
...
+110-1110+11110...  0+00000000000... 
    ^               ^
...
+110-1110+11110...  0++0000000000... second guess set x3=T
       ^              ^              don't reject because current
                                     clause is satisfied (and in every
                                     case another literal must be parsed)

সময় কমে যেতে পারে আমরা যদি ধারাটির উপস্থাপনায় কিছু অপ্রয়োজনীয় চিহ্নগুলি যুক্ত করি:$|x|$

$+ 1^{i} 0^i,- 1^{j} 0^j ,+ 1^{k} 0^k \; ... \; \text{+++}$

( $\text{+++}$ সূত্রের শেষ চিহ্নিত করে)

এইভাবে দ্বিতীয় মাথাটি বামতম কোষে ফিরে আসতে পারে যখন প্রথম অংশটি স্ক্যান করে । ব্যবহার ++, একটি দফা বিভেদক হিসেবে এবং +++ সূত্রের শেষ জন্য একটি চিহ্নিতকারী হিসাবে আমরা একই উপস্থাপনা CNF সূত্র জন্য দফা প্রতি লিটারেল এর একটি অবাধ নম্বর দিয়ে ব্যবহার করতে পারেন।$0^i$$\text{++}$$\text{+++}$

Comments

অবিচ্ছিন্ন উপস্থাপনাটি দ্ব্যর্থহীন, সুতরাং কেউ আপনার প্রথম উদাহরণের জন্য 011011110111110 দিয়ে +/- এর জন্য 0/1 ব্যবহার করতে পারে। 00 এর পরে ক্লজ-এর শেষের চিহ্ন হিসাবে পরিবেশন করে, যেমন 000 অন্যথায় ঘটতে পারে না (যদি 00 ঘটে থাকে তবে এটি একটি পরিবর্তনশীল এবং পরবর্তী চিহ্নের শেষ চিহ্নিতকারী, সুতরাং পরবর্তী চিহ্নটি অবশ্যই 1 হবে)। একক ওয়ার্ক টেপে ভি ভেরিয়েবলগুলিতে অনুমানযুক্ত বিট অ্যাসাইনমেন্ট থাকে । যখন কোনও ভেরিয়েবলটি পড়া হয় তখন ওয়ার্কপেটের মাথাটি এগিয়ে চলে যায় এবং 0 টি দেখা গেলে আবার শুরুতে সরিয়ে নেওয়া হয়, সুতরাং ইনপুটটির প্রতিটি বিটের জন্য সর্বাধিক 2 পদক্ষেপ। $v$$v$$2$

— আন্দ্রেস সালামন

অন্য কথায়, একটি সঙ্গে এমনকি একটি NDTM সালে একমুখী ইনপুট টেপ এবং সর্বাধিক একটি একক worktape ব্যবহারসমূহ একক স্যাট জন্য পদক্ষেপ একটি বুলিয়ান বর্ণমালা দিয়ে এনকোড। $2n$

— আন্দ্রেস সালামন

কিছু এমনকি tidier করতে, এক আরও প্রয়োজন হতে পারে যে ইনপুট প্রথম ভেরিয়েবল নম্বরে কোনো প্রেফিক্স রয়েছে ইউনারী উল্লেখিত। এটি উপসর্গটি পড়ার সময় অনুমানটি তৈরি করার অনুমতি দেয়। এরপরে এটি একটি ধরণের "আনারি স্যাটলিব" এনকোডিং, আকারের সর্বাধিক চতুর্ভুজগত মানের SAT দৃষ্টান্তে, যতক্ষণ না প্রতিটি ভেরিয়েবল সূত্রে কমপক্ষে একবার উপস্থিত হয় এবং ভেরিয়েবলগুলি 0 থেকে v - 1 নম্বরযুক্ত হয় । এগুলি যুক্তিসঙ্গত প্রয়োজনীয়তা বলে মনে হচ্ছে। $v$$v-1$

— আন্দ্রেস সালামন

@ আন্দ্রেসালামন: ভাল! এনকোডিং এবং মডেল স্থির (এক পথ টেপ +2 একমুখী কাজ টেপ পড়ুন) আমরা একটি খারাপ রানটাইম পেতে আকারের ইনপুট উপর এন , যেখানে গ ইচ্ছামত বড় টি এম অভ্যন্তরীণ যুক্তিবিজ্ঞান মধ্যে কিছু সংশোধন করা হয়েছে স্টোরেজ এম্বেডিং তৈরি করা যেতে পারে । ইনপুট-টেপের একমুখীতা এবং ক্রসিং-বিভাগ যুক্তি ব্যবহার করে কিছু প্রমাণিত হতে পারে কিনা তা তদন্ত করা আকর্ষণীয় হতে পারে। $2n - c$$n$$c$

— মারজিও ডি বায়াসি

হ্যাঁ, যতদূর আমি সময়সীমার পণ্যটি আনারি স্যাটের জন্য বলতে পারি Θ ( n √) এর মতো √একটি স্ট্যান্ডার্ড যুক্তি দ্বারা by ভেরিয়েবলের অবিচ্ছিন্ন উপস্থাপনাটি সর্বাধিক পরিচিতΩ(n2/(লগএন) 1 + ε )নিম্ন আবদ্ধ এবংসিএনএফ-স্যাট এর জন্যএকটি সোজাও(এন3/(লগএন) ε ′ )উপরের গণ্ডির মধ্যে ফাঁকাকে এড়িয়ে যায় (যদিও সেক্ষেত্রে আরও ভাল অ্যালগরিদম তখন ব্যবধান হ্রাস করতে পারে)। $\Theta(n\sqrt{n})$$\Omega(n^2/(\log n)^{1+\varepsilon})$$O(n^3/(\log n)^{\varepsilon'})$

— আন্দ্রেস সালামন

Answer 2

আপনি যা খুঁজছেন ঠিক তেমন নয়, তবে 1-টেপ এনটিএমের জন্য উত্তরটি নেতিবাচক বলে মনে হচ্ছে: স্যাটটি 1 টি-টেপ এনটিএম দ্বারা অ-নিরস্তনাত্মক রৈখিক সময়ে সমাধান করা যায় না।

মতে এই কাগজ (উপপাদ্য 4.1), নিয়মিত ভাষার বর্গ ঠিক সময় একটি 1-টেপ NTM দ্বারা স্বীকৃত ভাষায় বর্গ ণ ( এন লগ ইন করুন ( এন ) ) । সুতরাং, যদি সেখানে অস্তিত্ব 1-টেপ NTM সময় স্যাট সমাধানে ণ ( এন লগ ইন করুন ( এন ) ) , তারপর স্যাট (আরো স্পষ্ট করে, CNF মধ্যে Satisfiable সূত্রের সেট থাকে) একটি নিয়মিত ভাষা, অত: পর নির্ণায়ক ধ্রুবক স্থান সমাধেয় হবে।$REG$ $o(n \log(n))$$o(n \log(n))$

Comments

এই উপপাদ্যটি প্রায় এক-মাথা টুরিং মেশিন।$\:$(উদাহরণস্বরূপ, দ্বি-মাথা ট্যুরিং মেশিনগুলি রৈখিক সময় এবং ধ্রুবক স্থানে প্যালিনড্রোম ভাষা সহজেই সিদ্ধান্ত নিতে পারে ))$\;\;\;\;$

এটা অসাধারণ! আপনাকে অনেক ধন্যবাদ. তবে, আমি দ্বি-টেপের ক্ষেত্রে সবচেয়ে আগ্রহী। :)

— মাইকেল ওয়েহার

যেমনটি রিকি লিখেছেন। এএআইএফআইকি এটি এখনও আমরা যা জানি যে স্যাট নিরঙ্কুশ লিনিয়ার সময়ে রয়েছে তার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। অন্যথায় প্রমাণ করার জন্য আপনার স্যাট-এর জন্য একটি সুপারলাইনার সময় কম বাউন্ডের প্রয়োজন হবে এবং আমাদের একটি নেই (এটি একটির কাছে বলে মনে হয় না)।

— কাভেহ