পিপিতে পিএইচ তে আরও?

ক্লাস পিপিতে ক্লাস পিএইচ অন্তর্ভুক্ত ছিল কিনা তা জিজ্ঞাসা করে হাক বেনেটের সাম্প্রতিক একটি প্রশ্ন কিছুটা পরস্পরবিরোধী উত্তর পেয়েছে (সমস্ত সত্য, এটি মনে হচ্ছে)। একদিকে, বেশ কয়েকটি ওরাকল ফলাফল বিপরীতভাবে দেওয়া হয়েছিল, এবং অন্য দিকে স্কট বলেছিলেন যে টোডোর উপপাদ্যটি দেখায় যে উত্তরটি সম্ভবত পি.পি., পিপি-র মধ্যে রয়েছে পি.পি., পিপি এর সম্ভাব্য রূপ, এবং আমরা সাধারণত বিশ্বাস করি যে এলোমেলোকরণ হয় না বেশি সাহায্য করবেন না, যেমন যুক্তিসঙ্গত কঠোরতা অনুমানগুলি PRG গুলি বোঝায় যা র্যান্ডমাইজেশন প্রতিস্থাপন করতে পারে।

এখন, পিপি-র ক্ষেত্রে এটি স্পষ্ট নয় যে এমনকি একটি "নিখুঁত" পিআরজি সম্পূর্ণ ডেরেন্ডোমাইজেশনকে বোঝায় যেহেতু প্রাকৃতিক ডেরেন্ডোমাইজেশন সমস্ত বহুবচন-সম্ভাব্য বীজের জন্য পিআরজির আউটপুট দিয়ে মূল অ্যালগরিদম চালাবে এবং সংখ্যাগরিষ্ঠ ভোট গ্রহণ করবে । এটি পরিষ্কার নয় যে পিপি গণনাগুলির মধ্যে সংখ্যাগরিষ্ঠ ভোট গ্রহণ করা এমন কিছু যা পিপি নিজেই করা যেতে পারে। যাইহোক, ফোর্টনউ এবং রিইনগোল্ডের একটি গবেষণাপত্র দেখায় যে পিপি সত্য-টেবিল হ্রাসের আওতায় বন্ধ করা হয়েছে (আশ্চর্যজনক ফলাফলটি প্রকাশ করে যে পিপি ছেদকৃতভাবে বন্ধ করা আছে), যা এই সংখ্যাগরিষ্ঠ ভোট গ্রহণের পক্ষে যথেষ্ট বলে মনে হয়।

তাহলে এখানে প্রশ্ন কী? টোডা, ফোর্টনো-রেইনগোল্ড এবং সমস্ত পিআরজি-ভিত্তিক ড্যারানডমাইজেশন, সমস্তগুলি পুনরায় সঞ্চিত বলে মনে হচ্ছে, তাই পিআর-তে পিএইচ প্রতি প্রতিটি ওরাকেলের জন্য উপযুক্ত পিআরজি রয়েছে বলে বোঝায়। তাই ওরাকেল যার অধীনে পিপি PH এর ধারণ করে না জন্য (যেমন Minski & Papert থেকে Beigel দ্বারা , অথবা Vereshchagin দ্বারা ), পিপি PRGs কোন অস্তিত্ব নেই। বিশেষত এর দ্বারা বোঝা যায় যে এই ওরাকলগুলির জন্য এক্সপিতে যথাযথভাবে কঠোর কোনও কার্যকারিতা নেই (অন্যথায় এনডাব্লু-আইডাব্লু-জাতীয় PRGs বিদ্যমান থাকবে)। ইতিবাচক দিকটি দেখলে বোঝা যাবে যে এই ওরাকল ফলাফলগুলির প্রত্যেকটির অভ্যন্তরে কোথাও কোথাও (অ-ইউনিফর্মের) পিপি-অ্যালগরিদম o ওরাকলটি দিয়ে এক্সপ (লুকিয়ে থাকা) লুকিয়ে রাখা হয়েছে। এটি আশ্চর্যজনক যেহেতু এই সমস্ত ওরাকাল ফলাফলগুলি নতুন পিপি নিম্ন সীমাতে নির্ভর করে(প্রান্তিক সার্কিটের জন্য) এবং তাদের ওরাকল-বিল্ডিং যন্ত্রপাতিগুলিতে সরাসরি এগিয়ে রয়েছে, তাই পিপি-র জন্য একটি উচ্চতর আবদ্ধ কোথায় দেখতে পাচ্ছি না । সম্ভবত এই উপরের সীমাটি সাধারণভাবে দেখায় যে (অ-ইউনিফর্ম) -পিপি সমস্ত এক্সপি গণনা করতে পারে (বা কমপক্ষে কিছু পক্ষপাত দিতে পারে)? এর মতো কিছু কি কমপক্ষে এক্সপির সিএইচ সিমুলেশন দেয় না?

সুতরাং, আমি অনুমান করি যে আমার প্রশ্নটি দ্বিগুণ: (1) যুক্তির এই শৃঙ্খলা কি কোনও অর্থবোধ করে? (২) যদি তা হয়, তবে কেউ পিপির জন্য উল্লিখিত উপরের সীমাটি "আবরণ" করতে পারেন?

অ্যারন স্টার্লিং দ্বারা সম্পাদনা করুন: এটি প্রথম পৃষ্ঠায় ঝাঁপিয়ে পড়ে এবং একটি অনুগ্রহ যোগ করে। এটি আমার প্রিয় প্রশ্নগুলির মধ্যে একটি এবং এর এখনও কোনও উত্তর নেই।

— নোয়াম
সূত্র

প্রকৃতপক্ষে একটি বুলিয়ান ফাংশন দিয়ে শুরু

AC0 যে একটি polylog দ্বারা নির্ণিত করা যাবে না (এন) -degree থ্রেশহোল্ড গেট। প্রতিটি ওরাকল

আমরা ভাষাটি

সংজ্ঞায়িত করি

(যেখানে

হয়

এর বিট

'ম ফালি

)। যেহেতু

f : {0, 1}^{N} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^N \rightarrow \{ 0,1\}$

A

$A$

L_{A} = {1^{n} | f (A_{n}) = 1}

$L_A= \{1^n | f(A_n)=1\}$

A_{n}

$A_n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

A

$A$

, সমস্ত

।

'ম diagonalization পদক্ষেপ নির্বাচন করবে

(কিছু জন্য

) যেমন যে

' ম পিপি এম এ একটি ভুল

, যেহেতু ঘটে যায় যেহেতু

পল্লগ (এন)-থ্রেসহোল্ড নয় (যেমন একটি পিপি মেশিনের গণনা হয়)। সুতরাং

। তবে হয়তো

f \in A C 0

$f \in AC0$

L_{A} \in P H^{A}

$L_A \in PH^A$

A

$A$

t

$t$

A_{n}

$A_n$

n

$n$

t

$t$

1^{n} \in L_{A} ?

$1^n \in L_A?$

f

$f$

L_{A} \notin P P^{A}

$L_A \not\in PP^A$

...

L_{A} \in P P^{A} | p o l y

$L_A \in PP^A|poly$

— নোয়াম

L_{A} \notin P P^{A} / p o l y

$L_A \not\in PP^A/poly$

f

$f$

n

$n$

L_{A} = {x | f (A_{x}) = 1}

$L_A = \{ x | f(A_x)=1\}$

n

$n$

x

$x$

A_{x}

$A_x$

2^{n}

$2^n$

x y \in A

$xy \in A$

2^{n}

$2^n$

y

$y$

n

$n$

f

$f$

N

$N$

f

$f$

N

$N$

f \in A C 0

$f \in AC0$

এটি চিন্তা করে দেখুন, পিএইচ / ⊆ পিপি তৈরি করে এমন প্রতিটি অ্যারাকলের অধীনে এমন কোনও পর্যায়ের পিআরজি নেই যা পিপি / পিপি অ্যালগরিদমগুলিকে বিপিপি / ⊆ পি করে তোলে এমন প্রতিটি অরাকলারের অধীনে আর কিছু অবাক হওয়ার কিছু নেই ob বিপিপি অ্যালগরিদমগুলিকে বোকা বানানোর মতো কোনও দক্ষ পিআরজি নেই। কারণ পিএইচ / ⊆ পিপি তৈরি করে এমন প্রতিটি ওরাকল টোডের উপপাদ্য দ্বারা পুনরায় বিপি.পিপি / ⊆ পিপি তৈরি করে (পুনরায় সংযুক্ত)। তবে সম্ভবত আমি বিষয়টি মিস করছি missing -

— স্লিমটন

P^{A} \neq B P P^{A}

$P^A \ne BPP^A$

B P P^{A}

$BPP^A$

P^{A} / p o l y

$P^A/poly$

P H^{A} ⊈ P P^{A}

$PH^A \not\subseteq PP^A$

P^{A}

$P^A$

P P^{A}

$PP^A$

— Noam

যেমনটি আমি উপরে বলেছি: বিপিপির জন্য নির্মাণকাজগুলি বিপিপি (এবং এইভাবে পি / পলিকে) "অপ-প্রাকৃতিক" শক্তি দিচ্ছে উদাহরণস্বরূপ যে জায়গাগুলিতে কঠোর ওরাকেলের জন্য প্রচুর সাক্ষী লাগিয়েছে by কেবল এলোমেলোকরণ এগুলি খুঁজে পেতে পারে। সুতরাং এটি সত্যিই আকর্ষণীয় যে এই শক্তিটি "সাধারণ" সমস্যার জন্য যথেষ্ট, পি / পলির কমপক্ষে অপ্রত্যাশিত শক্তি স্পষ্ট। অন্যদিকে, আমি কোথাও দেখতে পাচ্ছি না যে পিপি থেকে পিএইচ আলাদা করার জন্য ওরাকলটি প্রকৃতপক্ষে পি / পলি বা অন্য কোনও শ্রেণিকে প্রাকৃতিক শক্তি দেয়। যদিও আমি এই পার্থক্যটি "আসল" তা নিশ্চিত নই।

P \neq B P P

$P \ne BPP$

— নোট

ক্লিভানস এবং ভ্যান মেলকিবিকের কাজ (যা পুনরায় সংযুক্ত করে), যদি E = DTIME ( ) সাইজের PP পিপি গেটের সাথে সার্কিট না থাকে তবে পিপি পিপিতে থাকে। সংকোচকারী বলে যে পিএইচ পিপি না থাকলে ই পি পি ফটকগুলি সহ সুব্যাক্সিয়েনশিয়াল-আকারের সার্কিট রয়েছে। এটি পিপি নয় পিএইচ এর একটি ওরাকল প্রমাণ পিপি জন্য একটি অপেক্ষাকৃত নিম্ন আবদ্ধ দেয় সত্য সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ। ভাবার কোনও কারণ এটি পিপির জন্য কোনও উপরের বাউন্ডকে, বা পিপি গেটগুলি ছাড়াই সার্কিটের জন্য কোনও শক্তি বোঝায়। $2^{O(n)}$ $2^{o(n)}$

— ল্যান্স ফোর্তনো
সূত্র

সঠিক। সংশোধন করা হয়েছে।

— ল্যান্স ফোর্টনো