স্পষ্টত এমএসও এক্সপ্রেসিভ যে মাইনর বদ্ধ সম্পত্তি

Question

নীচে, এমএসও গ্রাফিক্স-সেট এবং প্রান্ত-সেট কোয়ান্টিফিকেশন সহ গ্রাফের মোনাডিক দ্বিতীয় ক্রমের যুক্তিকে বোঝায়।

যাক গ্রাফ একটি ছোটখাট বন্ধ পরিবার হতে। এটি রবার্টসন এবং সিমুরের গ্রাফ গৌণ তত্ত্ব থেকে অনুসরণ করে যে একটি নিষিদ্ধ নাবালিকাদের একটি সীমাবদ্ধ তালিকা দ্বারা চিহ্নিত করা হয় । অন্য কথায়, প্রতিটি গ্রাফ , আমাদের যে to এর অন্তর্গত এবং কেবল যদি সমস্ত গ্রাফ নাবালিকা হিসাবে বাদ দেয়এফ এইচ 1 , এইচ 2 , । । । , এইচ কে জি জি এফ জি এইচ $\mathcal{F}$$\mathcal{F}$$H_1,H_2,...,H_k$$G$$G$$\mathcal{F}$$G$$H_i$

এই সত্য একটি ফল হিসেবে, আমরা একটি MSO সূত্র আছে যার উপর গ্রাফ সত্য যদি এবং কেবল যদি । উদাহরণস্বরূপ, প্ল্যানার গ্রাফগুলি এবং নাবালক হিসাবে গ্রাফের অনুপস্থিতির দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে , এবং সুতরাং স্পষ্টতই একটি এমএসও সূত্রটি প্ল্যানার গ্রাফের বৈশিষ্ট্যযুক্ত লেখার পক্ষে সহজ। G G ∈ F K 3 , 3 কে $\varphi_{\mathcal{F}}$$G$$G\in \mathcal{F}$$K_{3,3}$$K_5$

সমস্যাটি হ'ল অনেকগুলি দুর্দান্ত ছোটখাট বদ্ধ গ্রাফ বৈশিষ্ট্যের জন্য, নিষিদ্ধ নাবালিকাদের তালিকা অজানা। সুতরাং, যদিও আমরা জানি যে গ্রাফের পরিবারটির বৈশিষ্ট্যযুক্ত একটি এমএসও সূত্র বিদ্যমান, আমরা এই সূত্রটি কী তা জানি না।

অন্যদিকে, এটি এমন ক্ষেত্রে হতে পারে যে গ্রাফ ক্ষুদ্র উপপাদ্যটি ব্যবহার না করেই কোনও প্রদত্ত সম্পত্তির জন্য একটি সুস্পষ্ট সূত্র নিয়ে আসতে সক্ষম হয়। আমার প্রশ্ন এই সম্ভাবনার সাথে সম্পর্কিত।

প্রশ্ন 1: গ্রাফ of , যেমন নিষিদ্ধ নাবালিকাদের সেটটি জানা যায় না, তবে কিছু এমএসও সূত্র বৈশিষ্ট্যযুক্ত গ্রাফগুলির একটি ছোট্ট বদ্ধ পরিবার রয়েছে ?$\mathcal{F}$$\varphi$

প্রশ্ন 2: কিছু সুস্পষ্ট এমএসও সূত্র নিম্নলিখিত কয়েকটি বৈশিষ্ট্যের বৈশিষ্ট্য হিসাবে পরিচিত?$\varphi$

1. জেনাস 1 (গ্রাফটি টরাসে এম্বেডযোগ্য) (নীচে সম্পাদনা দেখুন)
2. কিছু স্থির জন্য জেনাস কে (নীচে সম্পাদনা দেখুন)$k>1$
3. কিছু স্থির জন্য কে-বহির্মুখী পরিকল্পনা$k> 1$

আমি এই বিষয়ে কোন রেফারেন্স বা চিন্তা প্রশংসা করব। দয়া করে অন্যান্য ছোটখাটো বদ্ধ সম্পত্তি বিবেচনা করতে দ্বিধা বোধ করবেন, উপরের তালিকাটি কেবল বর্ণনামূলক।

ওবস: স্পষ্ট করে বলতে চাই না যে অগত্যা ছোট not প্রদত্ত সম্পত্তির বৈশিষ্ট্যযুক্ত সূত্রটি কীভাবে তৈরি করা যায় তা বোঝানোর জন্য একটি সুস্পষ্ট যুক্তি বা অ্যালগরিদম দেওয়া যথেষ্ট। একইভাবে, এই প্রশ্নের প্রসঙ্গে আমি নিষিদ্ধ অপ্রাপ্তবয়স্কদের একটি পরিবারকে পরিচিতি হিসাবে বিবেচনা করি যদি কেউ সেই পরিবারটি নির্মাণের ক্ষেত্রে সুস্পষ্টভাবে অ্যালগরিদম দিয়ে থাকে।

সম্পাদনা: আমি অ্যাডলর, ক্রেটজার, গ্রোহের একটি কাগজ পেয়েছি যা জেনাস কে -২ এর সূত্রের বৈশিষ্ট্যযুক্ত গ্রাফের ভিত্তিতে জেনাস একটি সূত্রের বৈশিষ্ট্যযুক্ত গ্রাফ তৈরি করে। সুতরাং এই কাগজটি প্রথম প্রশ্ন 2 এর প্রথম দুটি আইটেমের উত্তর দেয় না অন্যদিকে এটি প্রশ্ন 1 এর উত্তর দেয় না কারণ প্রকৃতপক্ষে একটি অ্যালগরিদম রয়েছে যা প্রতিটি কে-এর জন্য তৈরি করে, নিষিদ্ধ নাবালকের পরিবারকে জেনাস কে এর গ্রাফের বৈশিষ্ট্যযুক্ত (বিভাগ 4.2 দেখুন)। সুতরাং এই পরিবারটি প্রশ্নের অর্থে "পরিচিত"।$k$

Comments

যে কোনও নিষিদ্ধ নাবালক শ্রেণি চূড়ান্তভাবে অনেক নিষিদ্ধ নাবালকের প্রত্যেকের জন্য অসীম সংখ্যক সাবগ্রাফ নিষিদ্ধ করে প্রকাশ করা যেতে পারে। আপনি তাই জিজ্ঞাসা করছেন: এখানে কি কোনও ছোট-বন্ধ গ্রাফ শ্রেণি রয়েছে যে (অন্তর্নিহিত বিদ্যমান) অসীম এমএসও সংজ্ঞা যে একে একে নিষিদ্ধ করে এই প্রতিটি অসীম অনেকগুলি অনুচ্ছেদ একটি সীমাবদ্ধ এমএসও সূত্র দ্বারা প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে (আমরা স্পষ্টভাবে জানি)? হ্যাডভিয়ের কনজেক্টারে এই ফর্ম রয়েছে, প্রতিটি , যেহেতু -রঙনীয়তা একটি সীমাবদ্ধ এমএসও সূত্রে প্রকাশযোগ্য। যদি অনুমান তারপর সত্য এগুলো -minor মুক্ত গ্রাফ, কিন্তু এই খোলা আছে। ( k - 1 ) কে $k$$(k-1)$$K_k$

— আন্দ্রেস সালামন

আমি ভাবব যে টরাসটিতে এম্বেডযোগ্যতা স্পষ্টভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে কারণ "গ্রাফটি দুটি প্ল্যানার টুকরোতে বিভক্ত করা যায়" বা এই জাতীয় কিছু, এবং একইভাবে উচ্চতর জেনার জন্য।

— এমিল জ্যাব্যাক

এমিলের পরামর্শের জন্য ধন্যবাদ। আমি একটি কাগজ পেয়েছি যা জেনাস কে -1 এর সূত্রের বৈশিষ্ট্যযুক্ত গ্রাফের ভিত্তিতে জেনাস কে এর সূত্রের বৈশিষ্ট্যযুক্ত গ্রাফ তৈরি করে। এটি অন্যদিকে আমার প্রশ্নের উত্তর দেয় না। সম্পাদনা দেখুন।

— ম্যাটিউস ডি অলিভিরা অলিভিরা

@ অ্যান্ড্রেসালামন - একটি নিষিদ্ধ নাবালিকাকে একটি সুস্পষ্ট এবং সসীম এমএসও প্রকাশে প্রকাশ করা সহজ। সমস্যাটি হ'ল আমরা অগত্যা কোন নাবালিকাকে বারণ করা উচিত তা জানি না।

— ডেভিড এপস্টেইন

@ ডেভিড এপস্টিন: আহ, মিস করেছেন যে: ধন্যবাদ, তাই আমার মন্তব্যের প্রথম অংশটি সহজ করা যায়। তবে, হ্যাডভিগার এখনও মনে হচ্ছে কিউ 1 এর উত্তর দেবে? আমাদের কাছে প্রতিটি জন্য অপ্রাপ্তবয়স্ক কে_কে তবে এমএসও সূত্র " " দ্বারা সংজ্ঞায়িত min K_k min-মাইনর-মুক্ত একই শ্রেণীর একটি প্রমাণ কেবলমাত্র "প্রমাণ " নেই -রঙযোগ্য "। { কে কে } কে { কে কে } ϕ কে = ( কে - 1 $k$$\{K_k\}$$k$$\{K_k\}$$\phi_k =$$(k-1)$

— আন্দ্রেস সালামন

Answer 1

আমার এখানে শীর্ষ গ্রাফিক জড়িত একটি উত্তর ছিল তবে এটি এই প্রশ্নে একটি স্পষ্ট বাধা সেট না রাখার সংজ্ঞা ব্যর্থ করে: বাধা সেটটি সন্ধান করার জন্য একটি প্রকাশিত অ্যালগরিদম রয়েছে, যদিও চালানো খুব ধীর তাই আমরা আসলে জানি না বাধা সেট কি।

সুতরাং এখানে সেই ত্রুটি ছাড়াই উত্তরগুলির আরও একটি প্যারামিটারাইজেটেবল পরিবার (কমপক্ষে, যতদূর আমি জানি)। একটি ছোটখাট বন্ধ পরিবার প্রদত্ত , এবং একটি পূর্ণসংখ্যা দেওয়া গ্রাফ করে আছে একটি -ply আচ্ছাদন গ্রাফ মধ্যে ? এই ধরণের প্রশ্ন সম্পর্কে অনেক কিছুই অজানা রয়ে গেছে: বিশেষত, নেগামির অনুমান যা গ্রাফগুলিকে চিহ্নিত করবে যা প্ল্যানারের আচ্ছাদন গ্রাফ রয়েছে, তা অপ্রমাণিত রয়েছে। এবং এটি সামান্য-বন্ধ কারণ আপনি থেকে নাবালিকা তৈরি করতে যে কোনও পদক্ষেপ গ্রহণ করেন তা কভারে অনুলিপি করা যেতে পারে।কে ≥ 1 জি কে এফ $F$$k\ge 1$$G$$k$$F$$G$

একটি অস্তিত্বের পরীক্ষা এর -ply কভার মধ্যে , MSO মধ্যে , নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি করুন:জি এফ $k$$G$$F$$_2$

• একটি (স্বেচ্ছাসেবী) ওরিয়েন্টেশন পেতে গভীরতা-প্রথম-অনুসন্ধান-ট্রি ট্রিক ব্যবহার করুন ।$G$
• প্রতিটি জোড়া জন্য সঙ্গে , এ প্রান্ত একটি সেট চয়ন , কল্পনানুসারে বেশী ঢেকে রাখার প্রান্ত যে অটলভাবে কাজ করা থেকে যায় আছে চলাচল ।0 ≤ i , j < k G i $(i,j)$$0\le i,j<k$$G$$i$$j$
• প্রতিটি প্লাইয়ের প্রতিটি ভার্টেক্সের প্রতিটি ঘটনার প্রান্তের ঠিক একটি অনুলিপি রয়েছে এবং এটি এই তথ্যটি একটি বৈধ কভারিং গ্রাফ উপস্থাপন করে তা পরীক্ষা করুন ।$G$
• আচ্ছাদন গ্রাফে তে সদস্যতার জন্য বাধা সেট ভিত্তিক সূত্রটি অনুকরণ করুন ।$F$

Comments

ডেভিড, আমি যদি কিছু মিস করছি না, অ্যাডলার-ক্রেটজার-গ্রোহে -2008 একটি অ্যালগরিদম দিয়েছে যা অ্যাপেক্স-সি এর জন্য একটি বর্জনিত ছোটখাটো বৈশিষ্ট্যকে গণনা করে তবে আপনি শ্রেণি সি এর জন্য ছোটখাটো বৈশিষ্ট্যটি ইনপুট হিসাবে দিতে পারেন তবে এই অ্যালগরিদমটি খুব অকার্যকর হতে পারে । আমি মনে করি অ্যাডলার আশা করেন যে অ্যাপেক্স-প্লানারের জন্য বাদ দেওয়া নাবালিকাদের তালিকা ছোট এবং তাই তিনি একটি সুস্পষ্ট তালিকা চাইছেন, কারণ তাদের অ্যালগোরিদম ব্যবহার করে এটি নির্মাণ করা খুব জটিল হবে। আমি এমন একটি সম্পত্তিতে আগ্রহী যার জন্য এমএসও সূত্রটি জানা যায়, তবে অপ্রাপ্তবয়স্কদের নির্মাণের জন্য কোনও অ্যালগরিদম জানা যায় না।

— ম্যাটিউস ডি অলিভিরা অলিভিরা

যে কোনও মাইনর-ক্লোজড ক্লাস সি-র ক্ষেত্রে গ্রাফের একটি কভার থাকা গ্রাফটি নাবালক-বন্ধ তা সত্য?

— ডেনিস

হ্যাঁ. "এবং এটি সামান্য-বন্ধ কারণ ..." সম্পর্কে আমার উত্তরে বাক্যটি ইতিমধ্যে দেখুন।

— ডেভিড এপস্টিন

নতুন উত্তরের জন্য ধন্যবাদ। আমি এখনও দেখতে পেলাম না যে উত্তরটি এখন পর্যন্ত সম্পাদিত হয়েছিল।

— ম্যাটিউস ডি অলিভিরা অলিভিরা 21