এর জন্য বহুপুত্রীয় কার্নেল

K-FLIP SAT প্যারামাইট্রাইজড সমস্যাটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

ইনপুট: একটি 3-সিএনএফ সূত্র $\varphi$ সঙ্গে $n$ ভেরিয়েবল এবং একটি সত্য কাজ $\sigma : [n] \to \{0,1\}$
পরামিতি: $k$
প্রশ্ন: আমরা কি কার্যনির্বাহিত করতে পারি? $\sigma$ একটি তৃপ্তিযুক্ত দায়িত্ব $\sigma'$ জন্য $\varphi$ সর্বাধিক সত্যের মূল্য উল্টানো $k$ ভেরিয়েবল?

সমস্যাটি ~~স্পষ্টতই~~ এফপিটিতে রয়েছে ( স্টেফান সিজাইডার: স্যাট এবং ম্যাক্স স্যাটের জন্য কে-ফ্লিপ স্থানীয় অনুসন্ধানের প্যারামিটারাইজড কমপ্লেক্সেসিটি Disc বিচ্ছিন্ন অপ্টিমাইজেশন 8 (1): 139-145 (2011) )

এটি একটি বহুভুজ কার্নেল স্বীকার করে? (যুক্তিসঙ্গত জটিলতা অনুমানের অধীনে)

সাম্প্রতিক ক্রস-কম্পোজিশন কৌশলগুলি (দেখুন হ্যান্স এল বোডলেন্ডার, বার্ট এমপি জ্যানসেন, স্টিফান ক্র্যাশ, "কার্নেলাইজেশন লোয়ার বাউন্ডস বাই ক্রস-কম্পোজিশন" ) এই সমস্যার জন্য অকার্যকর বলে মনে হচ্ছে। এবং তারা অনুরূপ সমস্যার জন্য অকার্যকর বলে মনে হয় যা জিজ্ঞাসা করে যে কোনও এনপি-হার্ড সমস্যার একটি প্রদত্ত সমাধান স্থানীয় অনুসন্ধানের দ্বারা প্রদত্ত উদাহরণ থেকে পাওয়া যাবে (কিছু প্রাকৃতিক দূরত্ব পরিমাপের ভিত্তিতে প্রদত্ত উদাহরণের প্রতিবেশীদের অনুসন্ধান সীমাবদ্ধ করে দেওয়া)।

parameterized-complexity fixed-parameter-tractable

— মারজিও দে বিয়াসি
সূত্র

দুর্দান্ত, তবে কেন এই সমস্যাটি স্পষ্টভাবে এফপিটি? আপনি যদি একে সর্বাধিকের পরিবর্তে ঠিক কে ভেরিয়েবলের সাথে ফ্লিপ করে 2-সিএনএফ করেন তবে আমি বিশ্বাস করি সমস্যাটি কে-চক্রের সাথে fpt- সমতুল্য। আমি এমন একটি কাগজে কাজ করছি যাতে সঠিক-কে-ফ্লিপ সমস্যার কিছু ফলাফল অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।

— মাইকেল ওয়েহর

আমি মনে করি এটি এফপিটি-তে রয়েছে তার অর্থ এটি সমাধানযোগ্য

f (k) \cdot n^{O (1)}

$f(k) \cdot n^{O(1)}$ সময়।

— মাইকেল ওয়েহর

আমি মনে করি যে এটি এক্সপিতে রয়েছে তার অর্থ এটি সমাধানযোগ্য

n^{f (k)}

$n^{f(k)}$ সময়।

— মাইকেল ওয়েহর

সঠিক-কে-ফ্লিপ সমস্যা এবং অ্যাটমোস্ট-কে-ফ্লিপ সমস্যার মধ্যে সম্পর্ক আমি জানি না। আমি প্রথমে ভেবেছিলাম যে আপনি বলছেন যে অ্যাটমাস্ট-কে-ফ্লিপ সমস্যাটি এই অর্থে আরও সহজ যে অ্যাটমাস্ট-কে-ফ্লিপ এফপিটি। আমি সহজ বলেছি কারণ ETH মিথ্যা না হলে নির্ভুল-কে-ফ্লিপ এফপিটি হতে পারে না। এর কারণ কারণ এটি কে-চক্রের সমতুল্য এবং এটি এটি পরিচিত

f (k) \cdot n^{O (1)}

$f(k) \cdot n^{O(1)}$ কে-চক্রের বোঝার জন্য সময়ের অ্যালগরিদমগুলি ETH মিথ্যা।

— মাইকেল ওয়েহর

@ মিশেলওহর: ওপস, আপনি ঠিক বলেছেন (আমি ভুল বোকা মন্তব্য মুছে ফেলি), প্রশ্নটি পালিশ করা দরকার (আমি সমস্যাটিকে "এট-মোস্ট কে ফ্লিপস" হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছি)। এএসএপি আমি কাগজগুলিতে (তার মধ্যে একটি স্টেফান সিজেডার হওয়া উচিত, "স্যাট এবং ম্যাক্স স্যাটের জন্য কে-ফ্লিপ লোকাল সন্ধানের প্যারামিটারাইজড কমপ্লেক্সেসি" হওয়া উচিত) এতে বলা হয়েছে যে কে-ফ্লিপ স্যাট সীমাবদ্ধ-আকারের ক্লজগুলির জন্য এফপিটি।

— মার্জিও দে বায়াসি

এনপি কোএনপি / পলিতে না থাকলে সমস্যাটির বহুভুক্ত কার্নেল থাকে না। আমাদের কাগজ থেকে ক্রস-কম্পোজিশন কৌশল অযৌক্তিক উপায়ে প্রয়োগ করা হয়।

আমাকে দেখান যে কীভাবে ক্লাসিক ভার্টেক্স কভার সমস্যা বা কে-এফআইএলপি-স্যাট সমস্যায় ক্রস-রচনা তৈরি করে; উদ্ধৃত কাগজ ফলাফল দ্বারা, এটি যথেষ্ট। কংক্রিটের সাথে, আমরা একটি বহু-কালীন অ্যালগরিদম তৈরি করি যার ইনপুটটি ভার্টেক্স কভার দৃষ্টান্তগুলির ক্রম is $(G_1,k), (G_2, k), \ldots, (G_t, k)$ যে সমস্ত একই মান ভাগ $k$ এবং সব ঠিক আছে $n$ ছেদচিহ্ন। আউটপুট একটি উদাহরণ $k$ -র একটি প্যারামিটার মান সহ ফ্ল্যাট স্যাট $O(k + \log t)$ , যা ক্রস-কম্পোজিশনের জন্য যথেষ্ট ছোট, যেমন $k$ -ফ্লিপ স্যাট উদাহরণটির উত্তর হ্যাঁ যদি if ইনপুট গ্রাফগুলির মধ্যে একটির আকারের একটি শীর্ষস্থানীয় কভার থাকে $k$ । একটি ইনপুট নকল করে (যা ওআরের মান পরিবর্তন করে না) আমরা নিশ্চিত করতে পারি যে ইনপুটগুলির সংখ্যা $t$ দুটি শক্তি।

রচনাটি নিম্নলিখিত হিসাবে এগিয়ে যায়। প্রতিটি ইনপুট গ্রাফে গ্রাফের শীর্ষে সংখ্যাটি চিহ্নিত করুন $G_i$ যেমন $v_{i,1}, v_{i,2}, \ldots, v_{i,n}$ । প্রতিটি ইনপুট গ্রাফের প্রতিটি ভার্টেক্সের জন্য FLIP-SAT দৃষ্টান্তে একটি বৈকল্পিক তৈরি করুন। অতিরিক্তভাবে, একটি নির্বাচক পরিবর্তনশীল করুন $u_i$ প্রতিটি ইনপুট উদাহরণ নম্বর জন্য $i \in [t]$ । প্রতিটি ইনপুট গ্রাফের জন্য $G_i$ , আমরা সূত্রটিতে কিছু ধারা যুক্ত করি। প্রতিটি প্রান্তের জন্য $\{v_{i,x}, v_{i,y}\}$ গ্রাফ $G_i$ , ধারা যোগ করুন $(v_{i,x} \vee v_{i,y} \vee \neg u_i)$ সূত্রটিতে, যা এনকোড করবে "এই প্রান্তের একটিতে বিন্দুগুলির একটিতে সত্যতে সেট করা হয়েছে, বা উদাহরণটি $i$ সক্রিয় নয় "। প্রাথমিক কার্যক্রমে সমস্ত ভার্টেক্স-ভেরিয়েবলগুলি মিথ্যা এবং সমস্ত নির্বাচক ভেরিয়েবলগুলিতে সেট করা থাকে $u_i$ মিথ্যাতে সেট করা হয়েছে, যাতে এই ধারাগুলি সমস্ত সন্তুষ্ট হয়। সংশ্লেষে ওআর-আচরণ তৈরির জন্য আমরা একটি সূত্রটি বাড়িয়ে তুলব যাতে এটি নিশ্চিত করা যায় যে সন্তোষজনক কার্যনির্বাহী কমপক্ষে একজন নির্বাচককে সত্য হিসাবে নির্ধারণ করে এবং তারপরে নির্বাচিত গ্রাফের একটি ভার্টেক্স কভারও গঠন করতে হবে।

ইনপুট সংখ্যার তুলনায় ফ্লিপ দূরত্ব ছোট রাখার সময় আমরা এই নির্বাচনটি করতে পারি তা নিশ্চিত করতে $t$ , আমরা এর সাথে একটি সম্পূর্ণ বাইনারি গাছের কাঠামো ব্যবহার করি $t$ পাতাগুলি, যার উচ্চতা রয়েছে $\log t$ । থেকে পাতা সংখ্যা $1$ প্রতি $t$ এবং সহযোগী $i$ ভেরিয়েবলের সাথে -পথ $u_i$ ইনপুট যদি এটি নিয়ন্ত্রণ করে $i$ সক্রিয় বা না। বাইনারি গাছের প্রতিটি অভ্যন্তরীণ নোডের জন্য একটি নতুন ভেরিয়েবল তৈরি করুন। প্রতিটি অভ্যন্তরীণ নোডের জন্য, এর সম্পর্কিত পরিবর্তনশীল হতে দিন $x$ এবং এর দুটি সন্তানের ভেরিয়েবল হতে পারে $y$ এবং $z$ । ধারা যুক্ত করুন $(\neg x \vee y \vee z)$ সূত্র যা নিদর্শন ক্যাপচার $(x \rightarrow (y \vee z))$ , যে প্রয়োগ $x$ কেবলমাত্র সত্য হতে পারে যদি এর কোনও শিশু সত্য হয়। সূত্রটি সম্পূর্ণ করতে, একটি একক ক্লোন যুক্ত করে বাইনারি গাছের মূল নোডের পরিবর্তনশীলটি সত্য হতে হবে। প্রাথমিক সত্য অ্যাসাইনমেন্টে, অভ্যন্তরীণ নোডের জন্য সমস্ত ভেরিয়েবলের মানগুলি মিথ্যাতে সেট করা থাকে, যা গাছের মূল নোডের পরিবর্তে গাছের মূল নোডের জন্য সিঙ্গেলটন ধারা বাদে সূত্রের সমস্ত ধারাগুলিকে সন্তুষ্ট করে।

এটি সূত্র এবং সত্য কার্যভারের বর্ণনা সম্পূর্ণ করে। প্যারামিটার সেট করুন $k'$ সমান হতে FLIP DISTANCE সমস্যার $(k + \log t + 1)$ , যা উপযুক্তভাবে ক্রস-কম্পোজিশনের জন্য আবদ্ধ। এটি আমরা যে ফ্লপ করতে পারি তা দেখানোর বাকি রয়েছে $k'$ কিছু ইনপুট গ্রাফ যদি সূত্রটিকে সত্য করে তোলে তবে ভেরিয়েবলগুলি $G_i$ আকারের একটি ভার্টেক্স কভার রয়েছে $k$ ।

বিপরীত দিকে, ধরুন $G_i$ একটি আকার- $k$ ভার্টেক্স কভার স্থির কর $k$ এর সাথে সম্পর্কিত ভেরিয়েবলগুলি $k$ প্রচ্ছদে উল্টানো এগুলি উল্টিয়ে দিয়ে। নির্বাচক পরিবর্তনশীল সেট করুন $u_i$ যে ইনপুট এনকোড সত্য $i$ সক্রিয় করা হয়, এবং এর ভেরিয়েবলগুলি ফ্লিপ করুন $\log t$ পাতার পথে অভ্যন্তরীণ বাইনারি ট্রি নোড $i$ মূল থেকে সত্য। এটি নিশ্চিত করা সহজ যে এটি একটি সন্তোষজনক দায়িত্ব: বাইনারি গাছের অন্তর্ভুক্তিগুলি সমস্ত সন্তুষ্ট, মূল নোডের মান সত্যতে সেট করা হয়েছে, যে ধারাগুলি প্রান্তগুলি পরীক্ষা করে $G_{i'}$ জন্য $i' \neq i$ সন্তুষ্ট থাকুন কারণ $u_{i'}$ গ্রাফের জন্য শর্তগুলি মিথ্যা থাকে $G_i$ সন্তুষ্ট কারণ প্রতিটি প্রান্তের জন্য আমরা কমপক্ষে একটি প্রান্তকে সত্যতে সেট করি।

সামনের দিকের জন্য, ধরুন সূত্রটি সর্বাধিক উল্টিয়ে সন্তুষ্ট হতে পারে $k + \log t + 1$ ভেরিয়েবল। তারপরে অবশ্যই আমাদের অবশ্যই রুট নোডের ভেরিয়েবলটি ফ্লিপ করতে হবে। বাইনারি গাছের অন্তর্নিহিত প্রভাবগুলি প্রয়োগ করে যে কোনও পাতার কমপক্ষে একটি নির্বাচক ভেরিয়েবল সত্য হিসাবে সেট করা আছে বলে $u_i$ । বাইনারি গাছের মধ্যে এনকোডযুক্ত প্রভাবগুলি পূরণ করার জন্য, সমস্ত পথ থেকে অভ্যন্তরীণ নোড $u_i$ মূলটি অ্যাকাউন্টে অ্যাকাউন্টে সত্যে সেট করা হয়েছিল $1 + \log t$ ফ্লিপ। থেকে $u_i$ সত্য হিসাবে সেট করা হয়েছে, গ্রাফের জন্য তৈরি ক্লজগুলি $G_i$ আক্ষরিক উপর সন্তুষ্ট হয় না $\neg u_i$ , তাই তারা সন্তুষ্ট কারণ এর প্রতিটি প্রান্তের একটিতে শেষ পয়েন্ট $G_i$ সত্য হিসাবে সেট করা হয়। কমপক্ষে $1 + \log t$ বাইনারি গাছের ভেরিয়েবলগুলি বেশিরভাগ ক্ষেত্রে উল্টানো হয়েছিল $k$ ভার্টেক্স-ভেরিয়েবলগুলি এই সমাধানটিতে সত্যে উল্টে যায়। এটি আকারের একটি শীর্ষস্থানীয় কভারকে এনকোড করে $k$ ভিতরে $G_i$ এবং প্রমাণ করে যে ইনপুটগুলির একটি হ'ল হ্যাঁ-উদাহরণ। এটি প্রমাণ সম্পূর্ণ করে।

— বার্ট জ্যানসেন
সূত্র

এই কাগজ যেমন সংকোচনের থেকে শক্তিশালী ফলাফল দেয়।

ধন্যবাদ !!! (আমি অবিলম্বে "ET al।" রেফারেন্স ;-) থেকে সরিয়েছি। দুর্দান্ত প্রমাণ (আইএমও আপনার এটি একটি কাগজে প্রকাশ করা উচিত)।

— মারজিও দে বায়াসি