টাইপ থিওরিতে অবসানহীনতা এবং থামার প্রমাণগুলি সম্পর্কে কি ভাল ধারণা আছে?

Question

কারি হাওয়ার্ডের চিঠিপত্রের আওতায় এর প্রাথমিক ব্যাখ্যা সহ গঠনমূলক ধরণের তত্ত্বটি কেবলমাত্র মোট, গণনীয় ফাংশন নিয়ে গঠিত। সাহিত্যে কিছুকে কার্যনির্বাহী প্রোগ্রামগুলিতে অবসানহীনতার প্রতিনিধিত্ব করার জন্য "গণনামূলক টাইপ থিওরি" ব্যবহার করার বিষয়ে বলা হয়েছিল, তবুও আমি যেসব কাগজপত্র পেরিয়ে এসেছি, থিওরিটির জন্য এটি প্রধান প্রেরণা বলে মনে হয় না (উদাহরণস্বরূপ) বেন্টন অ-সমাপ্তি সম্পর্কে খুব বেশি বিশদ না নিয়েই অ-নির্ধারণবাদ, ধারাবাহিকতা এবং ব্যতিক্রমগুলির উল্লেখ করেছেন), সুতরাং আমার কাছে এখনও একটি কাগজ খুঁজে পাওয়া যায় নি যে গণনা টাইপ তত্ত্ব ব্যবহার করে অ-সমাপ্তির মজবুত ব্যাখ্যা দেয়।

বিশেষত, আমি যা খুঁজছি তা এমন একটি উপায় যা , টাইপের সম্ভাব্য অ টার্মিনেটিং গণনা উপস্থাপন করে এমন একটি প্রকার দেওয়া হয়েছিল , যাতে প্রমানের কিছু ধারণা থাকতে হবে যে প্রকারের সমাপ্ত হয় যেমন এবং , আমরা একটি শব্দ ।$A$$T(A)$$x : T(A)$$H(x)$$x:T(A)$$p:H(x)$$\tilde x : A$

এর জন্য আমার অনুপ্রেরণা হ'ল, আমি অবশেষে গণনামূলক জটিলতার তত্ত্বকে গঠনমূলক ধরণের তত্ত্বের সাথে আরও আনুষ্ঠানিকভাবে ধারণাটি যুক্ত করতে সক্ষম হতে চাই। বিশেষত, আমি একটি প্রথাগত তত্ত্ব গঠনমূলক প্রকার হিসাবে একটি থামানো ওরাকল অ্যাক্সেসের সাথে কী শক্তি অর্জন করতে আগ্রহী, এবং এটি করার জন্য, অবশ্যই আমার অবশ্যই সম্ভাব্য অ-সমাপ্তির একটি আনুষ্ঠানিক ধারণা থাকা দরকার, এবং থামার প্রমাণ রয়েছে এটি একটি ধরণের-তাত্ত্বিক কাঠামোর ভিতরে যান।

Comments

আপনি কি টাইপ থিওরিতে কনস্টেবল-মেন্ডলার, পুনরাবৃত্ত সংজ্ঞা দেখেছেন ? তারা একটি আংশিক ফাংশন প্রতিটি নির্দিষ্ট বিন্দু রিকার্সিভ সংজ্ঞা জন্য সংজ্ঞা একটি উপায় দিতে থেকে একজন থেকে খ একটি ডোমেইন সম্পৃক্ত ঘ ণ মি ( চ ) এই ধরনের যে জন্য এক্স ∈ একজন , ঘ ণ মি ( চ ) ( এক্স ) টাইপ প্রতিনিধিত্ব করে প্রমাণই যে চ এ স্থগিত এক্স । আমি বিশ্বাস করি এটি নূপ্রলে বাস্তবায়িত হয়েছে। $f$$A$$B$ $\mathrm{dom}(f)$$x\in A$$\mathrm{dom}(f)(x)$$f$$x$

— উলরিক বুখহোল্টজ

আপনি কি দেরী মনাদ খুঁজছেন ?

— আন্দ্রেজ বাউর

@ অ্যাল্রিকবুচহল্টজ আমি মনে করি এটি আমি যা খুঁজছি তার বেশ কাছাকাছি, যদিও কাগজে ব্যবহৃত নুপ্রল নোটেশনটি পার্স করতে আমার কিছুটা সমস্যা হচ্ছে - যা আমি এর সাথে সমান নই। যদি আমি সঠিকভাবে বুঝতে পারি তবে তারা থেকে বি পর্যন্ত আংশিক পুনরাবৃত্ত ক্রিয়াকে মূলত সংজ্ঞা দেয় (বা কমপক্ষে, তাদের সাথে চিহ্নিত করুন) $ \ {x: A থেকে মোট পুনরাবৃত্তির ক্রিয়া হিসাবে ডম (চ) (ছ) \ \ থেকে বি (27 পৃষ্ঠার নীচে মন্তব্যটি দেখুন)$A$$B$

— নাথান বিডেল

Answer 1

প্রথাগতকরণে টাইপ থিওরির অন্যতম প্রধান অ্যাপ্লিকেশন সাধারণভাবে প্রোগ্রামিং ভাষা এবং গণনা অধ্যয়ন করায় অনেক চিন্তাভাবনা সম্ভবত সম্ভাব্য-অবসানকারী প্রোগ্রামগুলি উপস্থাপনের পথে চলে যায়।

আমি এখানে একটি সম্পূর্ণ জরিপ করব না, তবে আমি চেষ্টা করব এবং বিভিন্ন দিকের মূল থ্রাস্টকে পয়েন্টার দেব।

• "রিলেশনাল" অভিগমন: যেমন সম্পর্ক বলতে আপনি আপনার প্রকল্পিত প্রোগ্রাম সংজ্ঞায়িত করতে পারেন, যা iff ঝুলিতে চ এ সংজ্ঞায়িত করা হয় এক্স এবং চ ( এক্স ) = Y । ক্লিন টি-প্রিকেট দিয়ে সাধারণত এটি করা হয় । এটি ধরণের তাত্ত্বিক আনুষ্ঠানিকতায় যেমন ধ্রুপদী যুক্তিতে কাজ করে তেমনি কাজ করে (যদিও অবশ্যই আপনি ∀ x ( ∃ y , F x y ) prove ( ¬ ∃ y , F x y ) ) প্রমাণ করতে পারবেন না ।$F\ x\ y$$f$$x$$f(x)=y$$\forall x (\exists y, F\ x\ y)\vee (\neg\exists y, F\ x\ y)$

  এটি করার আরও একটি পরিশীলিত উপায় হ'ল "বোভ-ক্যাপ্রেট্টা" পদ্ধতি ( টাইপ থিওরিতে মডেলিং রিকার্সন দেখুন , যা প্রতিটি পুনরাবৃত্ত ফাংশনটির জন্য একটি "অ্যাক্সেসযোগ্য প্রিডিকেট" সংজ্ঞায়িত করে যা প্রদত্ত গণনা সীমাবদ্ধ এই সত্যটি এনকোড করে। ফাংশন সংজ্ঞা গ্রহণ করে একটি অতিরিক্ত যুক্তি যা প্রদত্ত ইনপুটগুলি অ্যাক্সেসযোগ্য তার প্রমাণ এটি।

• "সমন্বয়মূলক" পদ্ধতির: এটি সম্ভবত সর্বাধিক অন্বেষিত পদ্ধতি এবং আন্দ্রেজের মন্তব্যগুলি কী উল্লেখ করেছে। টাইপ এর একটি গণনাকে প্ররোচিত প্রকার হিসাবে ব্যাখ্যা করা হয় ( আন্দ্রেজের লিঙ্ক থেকে , ক্যাপ্রেত্তা, আলটেনকির্চ এবং উস্তালু দ্বারা:$A$

  codata Delay A =
  | Now : A -> Delay A
  | Later (Delay A)
  

  এই কোডগুলি সম্ভবত Laterটোকেনগুলির একটি অসীম প্রবাহ (গণনার "টিক্স") সম্ভবত কোনও পরিণতি দিয়ে শেষ হবে Now a। অ-সমাপ্তি প্রোগ্রামের সাথে দ্বিখণ্ডিত হওয়ার সমতুল্য

  লুপ = পরে লুপ এবং সমাপ্তি একটি ইনডাকটিভ প্রিডিকেট দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে Delay A:

  data Terminates : Data A -> Prop =
  | Term_now : forall x, Terminates (Now x)
  | Term_later : forall d, Terminates d -> Terminates (Later d)
  

  আমি মনে করি agda-istas এই যা তারা কল সম্পর্কে বলার অনেক আছে পক্ষপাত একসংখ্যা (যেমন দেখুন Danielsson )।

• "আংশিক ধরণের তত্ত্ব" পদ্ধতির : এটি কিছুটা বেশি পরীক্ষামূলক (তত্ত্বটি এখনও তৈরি করা হচ্ছে), তবে কিছু ধরণের তত্ত্ব রয়েছে যা বাস্তবায়নের জন্য আমরা গড়ে তুলতে চাই এমন দুটি ধরণের কার্যকারিতা রয়েছে যা বাস্তবায়নের জন্য গড়ে তোলা হচ্ছে are টাইপ থিওরিতে লিখুন: প্রুফ শর্তাদি এবং প্রোগ্রামগুলি। এই বিষয়গুলির একটি যুক্তিসঙ্গত তত্ত্ব (এবং তত্ত্বের ধারাবাহিকতা বজায় রাখা) কঠিন হতে দেখা যায়, তবে কেসিংহিনো এট আল এবং কিমেল এট আল দ্বারা অনুরূপ প্রচেষ্টা এখানে একটি গুরুতর প্রচেষ্টা করা হয়েছে ।

আমি নিশ্চিত যে অন্যান্য উপায় আছে যা সম্পর্কে আমি অবগত নই এবং কেউ এই তালিকাটি সম্পূর্ণ করতে চাইলে আমি খুশি হব।

$\Pi^0_1$

টাইপ থিওরি এবং জটিলতা তত্ত্বের মধ্যে অন্যান্য, বেশ কার্যকর ফলস্বরূপ মিথস্ক্রিয়া রয়েছে, সাধারণত অন্তর্ভুক্ত গণনা জটিলতার ছত্রছায়ায় ।

Comments

আকর্ষণীয়, তথ্যের জন্য ধন্যবাদ! আমি বিশ্বাস করি যে আমি যা খুঁজছি তার আধ্যাত্মিকভাবে আংশিক ধরণের তত্ত্বের পদ্ধতির নিকটতম - এবং খুব কমপক্ষে, কিমেল কাগজটি কিছু স্তরে সরবরাহ করছে যা আমি বিশেষত যা খুঁজছি ("টেস্টকাস্ট" এর জন্য টাইপিংয়ের নিয়মগুলি দেখুন) )।

— নাথান বিডেল