পি থেকে এনপি-হার্ড এবং আবার ফিরে প্যারামিটারাইজড জটিলতা

60

আমি একটি সংখ্যা দ্বারা parametrized সমস্যার উদাহরণ খুঁজছি , যেখানে সমস্যা কঠোরতা হয় অ একঘেয়ে মধ্যে । বেশিরভাগ সমস্যার (আমার অভিজ্ঞতার সাথে) একটি একক পর্যায়ের ট্রানজিশন থাকে, উদাহরণস্বরূপ এসএটি from থেকে 2 2 (যেখানে সমস্যা পিতে রয়েছে ) তে (যেখানে সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ। আমি যে সমস্যাগুলিতে আগ্রহী সেখানে বাড়ার সাথে সাথে উভয় দিকে (সহজ থেকে শক্ত এবং বিপরীতে) পর্বের স্থানান্তর রয়েছে । $k \in \mathbb{N}$ $k$ $k$ $k \in \{1,2\}$ $k \ge 3$ $k$

আমার প্রশ্নটি কম্পিউটেশনাল কমপ্লেক্সে হার্ডনেস জাম্পে জিজ্ঞাসা করা প্রশ্নের সাথে কিছুটা মিলে যায় এবং বাস্তবে সেখানে কিছু প্রতিক্রিয়া আমার প্রশ্নের সাথে প্রাসঙ্গিক।

উদাহরণগুলি সম্পর্কে আমি সচেতন:

$k$ পরিকল্পনাকারী গ্রাফের বর্ণনীয়তা: পি- ছাড়া $k=3$ , যেখানে এটি এনপি-সম্পূর্ণ।
সঙ্গে স্টেনার গাছ $k$ টার্মিনাল: পি যখন $k=2$ (সবচেয়ে কম করার ভেঙে $s$ - $t$ পথ) এবং যখন $k=n$ (এমএসটি করার ভেঙে), কিন্তু "এর মাঝে মধ্যে" দ্বারা NP-হার্ড। আমি জানি না এই পর্বের স্থানান্তরগুলি তীক্ষ্ণ কিনা (যেমন, কে পি এর জন্য পি পি $k_0$ কিন্তু জন্য এনপি-হার্ড $k_0+1$ )। এছাড়াও এর ট্রানজিশন $k$ ইনপুট উদাহরণস্বরূপ আকারের উপর নির্ভর করে, আমার অন্যান্য উদাহরণ অসদৃশ।
পরিকল্পনাকারী সূত্র মডুলোর সন্তোষজনক কার্য গণনা : পিতে যখন হয় একটি মার্সেন ~~প্রাইম~~ সংখ্যা , এবং # এর সমস্ত ~~(?) /~~ অন্যান্য সমস্ত মানের জন্য এই পি ( সম্পূর্ণ ) ( এই থ্রেডে অ্যারন স্টার্লিং থেকে )। প্রচুর ধাপে রূপান্তর! $n$ $n$ $n=2^k-1$ $n$
উত্সাহিত সাবগ্রাফ সনাক্তকরণ: সমস্যাটি একটি পূর্ণসংখ্যার দ্বারা প্যারামিট্রাইজড হয় না তবে একটি গ্রাফ হয়। অস্তিত্ব গ্রাফ (যেখানে , subgraph সম্পর্ক একটি নির্দিষ্ট ধরনের উল্লেখ করে) যা নির্ধারণের জন্য কিনা একটি প্রদত্ত গ্রাফের জন্য পি এ জন্য তবে জন্য এনপি-সম্পূর্ণ । ( একই থ্রেডে হিসিয়েন-চিহ চাং থেকে )। $H_1 \subseteq H_2 \subseteq H_3$ $\subseteq$ $H_i \subseteq G$ $G$ $i\in \{1,3\}$ $i=2$

— mikero
সূত্র

3

গৌণ সংশোধন পুনরায় উদাহরণ (3): সমস্যাটি যদি থাকে তবে যদি একটি মার্সেন-টাইপ পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে কিছু প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য ; একটি প্রধানমন্ত্রী হতে হবে না। (উদাহরণস্বরূপ, নয়)) এই ফর্মটি না থাকলে সমস্যাটি # # -অসম্পূর্ণ।

P

$\mathsf{P}$

n

$n$

n = 2^{k} - 1

$n=2^k-1$

k

$k$

n

$n$

2^{11} - 1

$2^{11}-1$

n

$n$

P

$\mathsf{P}$

— অ্যারন স্টার্লিং 21

ধন্যবাদ @ অ্যারন স্টার্লিং - আমি সেই উদাহরণটি যথাযথভাবে সংশোধন করেছি।

— মিকেরো

1

প্রধান সংশোধন পুনরায় উদাহরণ (3): সূত্রগুলিও একঘেয়ে হতে হবে, দুবার পড়তে হবে এবং মাপের ক্লোজ থাকতে হবে, যেখানে , ট্র্যাকটেবল হতে হবে। এটি জিন-ই কই এবং পিনান লু দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল। ভ্যালেন্ট এটি কীভাবে অনুপ্রাণিত করেছিল তা নয়। তিনি ক্লজের আকার 3 এ স্থির করেছিলেন এবং তারপরে কেবলমাত্র মডুলাসে বৈচিত্র্য রেখেছিলেন। এটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত মধ্যে শক্ত হিসাবে পরিচিত ছিল। বীরত্বপূর্ণ কঠোরতা মড 2 এবং ট্র্যাকটেবিলিটি মোড দেখিয়েছে 7.। কঠোরতা মোড 2 2 কঠোরতা, # পি-কঠোরতা নয়। আমি জানিনা সমস্যাগুলির কী প্যারামিটারাইজড পরিবার আপনি বর্ণনা করার চেষ্টা করছেন।

k

$k$

n = 2^{k} - 1

$n = 2^k - 1$

\otimes P = #_{2} P

$\otimes P = \#_2 P$

— টাইসন উইলিয়ামস

1

কাগজের রেফারেন্স সহ এ সম্পর্কিত আরও তথ্যের জন্য, উইকিপিডিয়ায় হলোগ্রাফিক-অ্যালগোরিদম # ইতিহাস দেখুন ।

— টাইসন উইলিয়ামস

উদাহরণস্বরূপ সংক্রান্ত একটি উদ্বেগ (4): আমি আশা করি আপনি যে মানে বোঝাতে একটি আদায় হচ্ছে -graph । তবে আমরা কীভাবে বলতে পারি যে থিয়েটা প্রিজম পিরামিড? নোট করুন যে আমরা অনুচ্ছেদে নয় অনুপ্রাণিত সাবগ্রাফের কথা বলছি।

H \subseteq G

$H \subseteq G$

G

$G$

s

$s$

H

$H$

\subseteq

$\subseteq$

\subseteq

$\subseteq$

— সাইরিয়াক অ্যান্টনি

25

সমস্যা জটিলতার প্রচুর অ-একঘেয়েমিযুক্ত একটি ক্ষেত্র হ'ল সম্পত্তি পরীক্ষা। যাক সব সেট হতে -vertex গ্রাফ, এবং কল গ্রাফ সম্পত্তি। একটি জেনেরিক সমস্যা হ'ল কোনও গ্রাফের সম্পত্তি (অর্থাত্ ) আছে বা কোনও অর্থে সম্পত্তি থাকা থেকে 'দূরে' কিনা তা নির্ধারণ করা । কী এবং আপনার গ্রাফটিতে কী ধরণের ক্যোয়ারী অ্যাক্সেস রয়েছে তার উপর নির্ভর করে সমস্যাটি বেশ কঠিন হতে পারে। $\mathcal{G}_n$ $n$ $P \subseteq \mathcal{G}_n$ $G$ $P$ $G \in P$ $P$ $P$

তবে এটি সহজেই দেখতে পাওয়া যায় যে সমস্যাটি অ-মনোোটোন, এটিতে যদি আমাদের , সহজেই টেস্টযোগ্য হয় তা এই বোঝায় না যে সহজেই টেস্টেবল হয় বা এটি হয়। $S \subset P \subset T$ $P$ $S$ $T$

এটি দেখতে, এটি পর্যবেক্ষণ করার জন্য যথেষ্ট যে এবং উভয় তুচ্ছ পরীক্ষাযোগ্য, তবে এটি কিছু বৈশিষ্ট্যের জন্য শক্তিশালী নীচের সীমা রয়েছে। $P = \mathcal{G}_n$ $P = \emptyset$

— হারুন রথ
সূত্র

আপনি দয়া করে (বা নির্দেশ করতে পারেন) একটি তুচ্ছ উদাহরণটি উল্লেখ করতে পারেন? আমার ধারণা আপনি ইতিমধ্যে কিছু জানেন। এটিও আকর্ষণীয় যে P NP P P NP পর্যায়ের রূপান্তরগুলি রয়েছে কি না।

\to

$\to$

\to

$\to$

\to

$\to$

— সাইরিয়াক অ্যান্টনি

20

প্রদত্ত গ্রাফ এবং একটি পূর্ণসংখ্যার , দ্বারা চিহ্নিত র -th পাওয়ারের সমান সমান রয়েছে যে দুটি স্বতন্ত্র প্রান্তটি সংলগ্ন হয় যদি তাদের দূরত এ থাকে তবে সর্বাধিক । এর -th ক্ষমতা বিভক্ত গ্রাফ সমস্যা জিজ্ঞেস করে একটি প্রদত্ত গ্রাফ হয় একটি বিভক্ত গ্রাফ -th শক্তি। $G$ $k\ge 1$ $k$ $G$ $G^k$ $G^k$ $G$ $k$ $k$ $k$

জন্য , সমস্যা রৈখিক সময় সমাধেয়। এটি কারণ কারণ বিভক্ত গ্রাফগুলি স্বীকৃতি রৈখিক সময়ে কার্যকর (কার্যকর) in $k=1$
জন্য , সমস্যা দ্বারা NP-সম্পূর্ণ। এটি যথাযথ বিরতি, বিভাজন এবং কর্ডাল গ্রাফ , সিয়াম জে। ডিস্রিট ম্যাথ।, 18 (2004), 83-102 এর ক্ষমতাগুলি স্বীকৃতি দেওয়ার ক্ষেত্রে লাউ এবং কর্নিল দ্বারা প্রমাণিত । $k=2$
জন্য , সমস্যা তুচ্ছ: শুধুমাত্র সম্পূর্ণ গ্রাফ হয় একটি বিভক্ত গ্রাফ -th ক্ষমতা। $k\ge 3$ $k$

— ভিবি লে
সূত্র

17

এই জাতীয় সমস্যাগুলির মধ্যে একটি হ'ল প্ল্যানার গ্রাফগুলির প্রান্তযুক্ত রঙ যেখানে প্যারামিটারটি হ'ল - গ্রাফের সর্বাধিক ডিগ্রি। যখন বা সঠিক অ্যালগরিদম রয়েছে ( দেখুন এখানে ), যেখানে জন্য যেমন অ্যালগোরিদম জানা যায় না এবং এই ক্ষেত্রে এনপি-কঠোরতার প্রমাণ নেই are । $\Delta$ $\Delta=2$ $\Delta\geqslant 7$ $3\leqslant\Delta\leqslant 6$

সম্পর্কিত প্রশ্ন এখানে আলোচনা করা হয় ।

— ওলেকসান্ডার বান্দারেঙ্কো
সূত্র

14

কোনও গ্রাফ এর জন্য একটি প্রভাবশালী চক্র রয়েছে কিনা তা নির্ধারণ করে : $G$

$diam(G)=1$ তুচ্ছ - উত্তর সর্বদা 'হ্যাঁ'
$diam(G)=2$ এনপি-সম্পূর্ণ
$diam(G)=3$ এনপি-সম্পূর্ণ
$diam(G)\ge 4$ তুচ্ছ - উত্তর সর্বদা 'না'

কেস ব্র্যান্ডস্টাড্ট এবং ক্র্যাশচের কারণে , এবং কেস ডায়াম আমার একটি সাম্প্রতিক কাগজে উল্লেখ করা হয়েছে । $diam(G)=3$ $diam(G)=2$

— অস্টিন বুচানান
সূত্র

+1 সুন্দর উত্তর। প্রভাবশালী চক্র কি?

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তি

1

এটি যেমন শোনাচ্ছে - একটি প্রভাবশালী সেট যা একটি চক্রও ।

— অস্টিন বুচানান

13

এটি আপনি যে প্রপঞ্চটি সন্ধান করছেন তার উদাহরণ?

কে-ক্লিক সমস্যাটি বিবেচনা করুন, যেখানে কে আমরা যে চক্রটি অনুসন্ধান করছি তার আকার। সুতরাং সমস্যাটি হ'ল "গ্রাফের এন অনুচ্ছেদে আকারের K এর একটি চক্র রয়েছে?"

সমস্ত ধ্রুবক কে-এর জন্য সমস্যাটি পি ((ব্রুট ফোর্স অ্যালগোরিদম সময় সঞ্চালিত হয় বড় মানের জন্য উদাহরণস্বরূপ এন / 2 এর মতো মান, এটি এনপি-সম্পূর্ণ। যখন কে খুব ধীরে ধীরে সি এর জন্য এন এর মতো খুব কাছাকাছি আসে, তখন সমস্যাটি আবার পি তে হয় কারণ আমরা আকার এনসি এর এন অনুপাতের সমস্ত উপসর্গগুলি অনুসন্ধান করতে পারি এবং সেগুলির কোনও একটি চক্র গঠন করে কিনা তা পরীক্ষা করতে পারি। (কেবলমাত্র এমন উপসেট রয়েছে, যখন সি ধ্রুবক থাকে তখন বহুপদীভাবে বড়)) $O(n^k)$ $O(n^c)$

— রবিন কোঠারি
সূত্র

7

এই ঘটনাটি কেবলমাত্র কারণটি আমরা কে কে কমপক্ষে (কে, এনকে) হিসাবে দেখতে পারি এবং কে-ক্লকে বা কে-ইন্ডপেট সেট (সত্যই একই সমস্যা) সমাধান করতে পারি। এই কারণে আমরা যদি 0 <কে <= n / 2 ভাবি, তবে কে-তে জটিলতা কঠোরভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে।

— অ্যারন রথ

4

@ অ্যারন: আমি আশঙ্কা করছি যে আপনার যুক্তিটি সঠিক নয়। আকারের একটি চক্র সন্ধান করা n − কে আকারের স্বতন্ত্র সেট সন্ধানের থেকে খুব আলাদা। গ্রাফ জি-তে সাইজের কে-এর একটি চক্র খুঁজে পাওয়া জি-র পরিপূরক হিসাবে সাইজের কে-এর একটি স্বতন্ত্র সেট সন্ধানের সমতুল্য - নিশ্চয়ই আপনাকে বিভ্রান্ত করতে হবে

— Tsuyoshi Ito

স্যুওশি: হ্যাঁ, অবশ্যই আমার উদ্দেশ্য ছিল যে ডাব্লুএলওজি, আপনি কে <= n / 2 ধরে নিতে পারেন, যদি না হয় তবে পরিপূরক গ্রাফটি নিয়ে যান এবং কে '= এন কে এর জন্য সমস্যাটি সমাধান করুন। এবং অবশ্যই, এটি হাইলাইট করে যে কে আরও জটিলতা বাড়ছে।

— অ্যারন রথ

1

@ অ্যারন: "যদি তা না হয় তবে পরিপূরক গ্রাফটি নিয়ে যান এবং কে '= এনকে-র সমস্যার সমাধান করুন That" ঠিক এটিই ভুল দাবী যা আমি আপত্তি জানাতে চাইছি। আমি যা বলেছিলাম তার পুনরাবৃত্তি করি: "গ্রাফের আকারের কে এর একটি চক্র খুঁজে পাওয়া জি এর পরিপূরক হিসাবে সাইজের কে এর একটি স্বতন্ত্র সেট সন্ধানের সমতুল্য ।" গ্রাফ জিতে আকারের কে এর একটি চক্র সন্ধান করা সমতুল্য নয় জি এর পরিপূরক হিসাবে আকারের একটি চক্র

— cliসুইশি ইতো

2

অই হ্যাঁ. :-) যে নির্বোধ ছিল, আমি আমার আপত্তি প্রত্যাহার। এখানে যা চলছে তা কেবল দ্বিপদী [এন, কে] = দ্বিপদী [এন, এন কে], এবং তাই বিস্তৃত অনুসন্ধানের চলমান সময়টি কে <এন / 2 এর জন্য মনোোটোন বৃদ্ধি পাচ্ছে, এবং কে> এন / 2 এর জন্য একরোটোন হ্রাস পাচ্ছে।

— অ্যারন রথ

12

আপনি যে ধরণের সন্ধান করছেন তা হতে পারে এমন একটি উদাহরণ এখানে। প্যারামিটারটি যদিও পূর্ণসংখ্যার নয়, এটি সংখ্যার এক জোড়া। (যদিও তাদের মধ্যে একটির এটির একটি একটি প্যারামিটার সমস্যা হিসাবে সংশোধন করা যেতে পারে))

স্থানাঙ্কে (x, y) একটি গ্রাফ জি এর টুট বহুপদী মূল্যায়ন করার জন্য সমস্যা। আমরা সমন্বয়গুলি পূর্ণসংখ্যা হিসাবে সীমাবদ্ধ করতে পারি। (X, y) পয়েন্টগুলির মধ্যে (x, y) এক (1, 1), (-1, -1), (0, -1), (-1,0), বা সন্তুষ্টি হলে (এক্স -1) পি-তে সমস্যাটি রয়েছে ) (Y-1) = 1। অন্যথায় এটি # পি-হার্ড।

টুট্টো বহুপদীতে উইকিপিডিয়ায় নিবন্ধ থেকে এটি পেয়েছি ।

— রবিন কোঠারি
সূত্র

12

ম্যাট্রিক্স মডুলো স্থায়ীভাবে গণনা করার প্রশ্ন সম্পর্কে কী বলা যায় ? জন্য এই হল সহজ (যেহেতু স্থায়ী = নির্ধারক), এবং বীর (মধ্যে " স্থায়ী কম্পিউটিং জটিলতা ") দেখিয়েছেন এটা নির্ণিত করা যেতে পারে মডিউল সময় জন্য গাউসিয়ান পরিবর্তিত বৈকল্পিক দ্বারা। তবে জন্য যা শক্তি নয় , এটি ইউপি-হার্ড। $k$ $k=2$ $2^d$ $O(n^{4d-3})$ $d \geq 2$ $k$ $2$

— কেভিন কস্টেলো
সূত্র

10

এই ঘটনাটির সাথে আর একটি সমস্যা হ'ল বিভক্ত গ্রাফগুলিতে MINIMUM -3NER সমস্যা। $t$

একটি ধ্রুবক জন্য , একটি -spanner একটি সংযুক্ত গ্রাফ একটি সংযুক্ত ব্যপ্তি subgraph হয় এর যেমন ছেদচিহ্ন যে যুগল যে এবং , মধ্যে দূরত্ব এবং মধ্যে সবচেয়ে এ কালে তাদের দূরত্ব । MINIMUM স্প্যানার সমস্যাটি কোনও প্রদত্ত গ্রাফের সর্বনিম্ন সংখ্যার স্প্যানারের জন্য জিজ্ঞাসা করে । $t$ $t$ $G$ $H$ $G$ $x$ $y$ $x$ $y$ $H$ $t$ $G$ $t$ $t$

একটি বিভক্ত গ্রাফ এমন একটি গ্রাফ যার প্রান্তিক সেটটি একটি চক্র এবং একটি স্বাধীন সেটে বিভক্ত হতে পারে।

$t \ge 3$ $t$

— user13136
সূত্র

10

$k$

$k \ne \Delta$ $NP$

কিউবিক গ্রাফের জন্য, প্রান্ত রঙের অস্তিত্বের সিদ্ধান্তটি ব্যবহার করে:

$k=2$
$k=3$ $NP$
$k \ge 4$

হোলিডার, আয়ান (1981), "এজ-কালারিংয়ের এনপি-সম্পূর্ণতা", স্যামিং জার্নাল 10: 718–720

http://en.wikipedia.org/wiki/Edge_coloring

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি
সূত্র

আপনি দয়া করে একটি রেফারেন্স যুক্ত করতে পারেন?

— ওলেকসান্ডার বান্দারেঙ্কো

10

$\to$ $\to$ $\to$ $\to \cdots$

$n$ $n$ $n$ $n$

প্রমাণটি এই কাগজে ঘোষণা করা হয়েছে ।

— user13136
সূত্র

8

$k$ $k$

$G$ $k=1$ $G$ $\sf NP$ $k \in \{2,3\}$ $\sf P$ $k$

দেখুন চন্দ্রন, এল সুনীল, দীপক Rajendraprasad এবং Marek Tesař। "স্প্লিট গ্রাফগুলির রেইনবো রঙিন।" আরএক্সিভ প্রিপ্রিন্ট আরএক্সিভ: 1404.4478 (2014)।

— Juho
সূত্র

6

$U\subseteq V(G)$ $G$ $G[U]$ $G-U$

ব্যাস 1 এর কোনও গ্রাফের সংযোগ বিচ্ছিন্ন কাটসেট তুচ্ছ কিনা তা নির্ধারণ করা। সমস্যাটি 2 ব্যাসের গ্রাফগুলিতে এনপি-হার্ড হয়ে যায় এবং এই কাগজটি দেখুন এবং ব্যাসের গ্রাফগুলিতে আবার সহজ at এই কাগজটি দেখুন ।

— user13136
সূত্র