"ক্ষুদ্রতম" জটিলতা শ্রেণিটি কী জন্য যার জন্য একটি সুপারলাইনার সার্কিট আবদ্ধ হয়?

Question

এমন একটি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করার জন্য ক্ষমা প্রার্থনা যা অবশ্যই অবশ্যই প্রচুর মানক রেফারেন্সে থাকতে হবে। শিরোনামের ঠিক প্রশ্নটি সম্পর্কে আমি আগ্রহী, বিশেষত আমি বুলিয়ান সার্কিটের কথা ভাবছি, কোনও গভীরতার আবদ্ধ নেই। আমি সম্ভাব্যতার জন্য একাধিক বিভিন্ন শ্রেণি রয়েছে, একে অপরকে অন্তর্ভুক্ত করার জন্য পরিচিত নয়, যার জন্য একটি সুপারলাইনার বাউন্ড পরিচিত is

Answer 1

আমি বিশ্বাস করি যে এর মধ্যে সবচেয়ে ছোট শ্রেণীর পরিচিত ক্লাসগুলি ( , 2001), (বিনোদচন্দ্রন, 2005) এবং ( , 2007)। এগুলি সবই প্রতিটি ধ্রুবক জন্য না থাকার জন্য পরিচিত ।পি পি ( এম এ ∩ সি ও এম এ ) / 1 এস আই জেড ই ( এন কে ) $S_2P$$PP$$(MA \cap coMA)/1$$SIZE(n^k)$$k$

Comments

উত্তরের জন্য ধন্যবাদ। আমি রায়ানকে গ্রহণ করছি কারণ এর মধ্যে সবচেয়ে বড় বিভিন্ন ফলাফল রয়েছে তবে রবিন এবং কাভাহকে বিস্তারিত ব্যাখ্যা দেওয়ার জন্য ধন্যবাদ।

— ম্যাট হ্যাসিংস

Answer 2

আমি যে শক্তিশালী ফলাফল সম্পর্কে অবগত রয়েছি তা হ'ল সমস্ত কে-এর জন্য, একটি সমস্যা রয়েছে যার আকার size সার্কিট প্রয়োজন । Ω ( এন কে$S_2^P$$\Omega(n^k)$

$S_2^P$ in এর অন্তর্ভুক্ত একটি শ্রেণি যা নিজেই Σ P 2 ∩ Π P 2 এ অন্তর্ভুক্ত । ( জটিলতা চিড়িয়াখানাটিতে এই শ্রেণি সম্পর্কে আরও তথ্য রয়েছে))$ZPP^{NP}$$\Sigma_2^P \cap \Pi_2^P$

ফলাফল Cai এর কারণে কার্প-লিপটন উপপাদ্যের শক্তিশালী সংস্করণ থেকে অনুসরণ করা হয় ।

কেএল উপপাদ্য থেকে এটি কীভাবে অনুসরণ করা যায় তার একটি দ্রুত প্রমাণ: প্রথমত, যদি স্যাটকে সুপার-বহু-আকারের সার্কিটের প্রয়োজন হয়, তবে আমরা সম্পন্ন করেছি, যেহেতু আমরা -তে একটি সমস্যা দেখিয়েছি যার সুপার-বহু-আকারের সার্কিটগুলির প্রয়োজন। যদি স্যাটটির বহুপদী আকারের সার্কিট থাকে, তবে কার্প-লিপটন উপপাদ্যের শক্তিশালী সংস্করণ দ্বারা পিএইচ এস পি 2- তে পতিত হবে । আমরা জানি পিএইচ তেমন সমস্যা রয়েছে (কান্নানের ফলাফল অনুসারে), এবং এস পি 2 তে এই জাতীয় সমস্যা রয়েছে।$S_2^P$$S_2^P$$S_2^P$

Comments

বরাবরের মতো একটি দুর্দান্ত এবং সর্বোত্তম উত্তর। :)

— কাভেহ

Answer 3

সাধারণ সার্কিটগুলির জন্য, আমরা জানি যে যার আকারের সার্কিট প্রয়োজন Ω ( এন কে ) , এটি রবি কান্নানের কারণে (1981) এবং তার ফলাফলের ভিত্তিতে যে পি এইচটিতে এই জাতীয় সমস্যা রয়েছে ।$\Sigma^p_2 \cap \Pi^p_2$$\Omega(n^k)$$PH$

আমি মনে করি এর সেরা নিম্নভূমিগুলি এখনও প্রায় 5 এন ।$NP$$5n$

অরোরার দেখতে এবং বারাক এর বই, পৃষ্ঠা 297. রিচার্ড জে লিপটন ছিল একটি পোস্ট উপর তার ব্লগে দেখতে এই ফলাফল সম্পর্কে, এই এক ।

Answer 4

উত্তরটি পরিমার্জন করতে প্রতিটি কে ≥ 1 এবং সি এর জন্য , হয় * 3-স্যাট অনুসন্ধানে ˜ ও ( এন কে ) সার্কিট থাকে না, বা * সময়ের সাথে ও 2 পি তে কিছু সমস্যা হয় (এবং সাক্ষীর আকার) অবধি সীমিত ~ হে ( ঢ k 2 ) io- নেই হে ( ঢ ট ( লগ ঢ ) গ ) সার্কিট (মানে IO অসীম প্রায়ই)।$\mathrm{S}_2\mathrm{P}$$k≥1$$c$
$\tilde{O}(n^k)$
$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$$\tilde{O}(n^{k^2})$$O(n^k (\log n)^c)$

যদি 3-স্যাট অনুসন্ধানের সমস্যার জায়গায়, আমরা সিদ্ধান্তের সমস্যাটি টাইম ˜ ও ( এন কে 2 + কে ) ব্যবহার করি, এবং যদি আমরা 3-স্যাটের জন্য অভিধান সংক্রান্ত ন্যূনতম অ্যাসাইনমেন্টে বিট আইয়ের জন্য সমস্যাটি ব্যবহার করি , ˜ ও ( এন মিনিট ( কে 2 + কে , কে 3 ) ) পর্যাপ্ত।$\mathrm{O}^2\mathrm{P}$$\tilde{O}(n^{k^2+k})$$i$$\tilde{O}(n^{\min(k^2+k,k^3)})$

আইও- সার্কিটগুলির সাথে গণনাযোগ্য নয় এমন একটি সিদ্ধান্তের সমস্যা হ'ল কমপক্ষে N (তার বাইনারি অঙ্কগুলি ব্যবহার করে জিজ্ঞাসা করা) যা এন কে ⌊ ( লগ এন ) সি + সহ একটি সার্কিটের সত্য সারণী নয় is 1 ⌋ গেট তাহলে দ্বারা NP পি হয় / পলি, সমস্যা নিম্নলিখিত গঠিত একটি অকাট্য অন্যমনস্ক সাক্ষী রয়েছে: (1) এন (2) সার্কিট দেওয়া এন ' < এন , শো যে এন ' পর্যাপ্ত ছোট সার্কিট হয়েছে।$O(n^k (\log n)^c)$$N$$n^k ⌊(\log n)^{c+1}⌋$
$N$
$N' < N$$N'$
(3) (কেবলমাত্র বাউন্ডের জন্য ব্যবহৃত) যাচাইকারী যা আমাদের প্রতিপক্ষের সার্কিট (2) কেবল ও ( 1 ) বারের জন্য চালাতে সক্ষম করে (রান প্রতি 1 বিট পাওয়ার জন্য)।$\tilde{O}(n^{k^3})$$O(1)$

একটি পৃথক নোটে, প্রতিটি জন্য (এমএ ∩ কোএমএ) / 1-এ সিদ্ধান্তের সমস্যা রয়েছে যা ও ( এন কে ) সার্কিট নেই। '/ 1' এর অর্থ হল যে মেশিনটি কিছুটা পরামর্শ দেয় যা কেবল ইনপুট আকারের উপর নির্ভর করে। এছাড়াও, মার্লিন প্রেরিত স্ট্রিংগুলি কেবল ইনপুট আকারের উপর নির্ভর করতে বেছে নেওয়া যেতে পারে (এই সীমাবদ্ধতার সাথে এমএ ও 2 পি এর একটি উপসেট ), এবং পরামর্শ জটিলতা Σ পি 2 । প্রমাণটি (সান্থানাম ২০০ 2007) আইপি = পিএসপিএসি এবং পিএসপিএসিপি / পলি ⇒ পিএসপিএসিই = এমএকে সাধারণভাবে ব্যবহার করে একটি নির্দিষ্ট আচরণযুক্ত পিএসপিএসিই-সম্পূর্ণ সমস্যা ব্যবহার করে এবং ইনপুটগুলিকে প্যাড করে ন্যূনতম সার্কিট মাপ পেতে থাকে যা প্রায়শই এন কে + 1 এর মধ্যে থাকে $k$$O(n^k)$$\mathrm{O}_2\mathrm{P}$$Σ_2^P$$n^{k+1}$এবং , এ জাতীয় এন এর পর্যাপ্ত উদাহরণ সনাক্ত করার জন্য পরামর্শ ব্যবহার করে এবং এই এনগুলির জন্য , মের্লিনকে এ জাতীয় সার্কিট তৈরি করে প্যাডযুক্ত সমস্যা সমাধান করুন।$n^{k+2}$$n$$n$