একটি সত্য জালিয়াতি থেকে সত্য ফুরিয়ার বর্ণালী আলাদা করার জটিলতা কি?

Question

একটি $PH$ মেশিন একটি র্যান্ডম বুলিয়ান ফাংশন ওরাকল প্রবেশাধিকার দেওয়া হয় $f:\{0,1\}^n \to \{ -1,1 \}$ এবং দুটি ফুরিয়ার বর্ণালীতে $g$ এবং $h$ ।

একটি ফাংশন এর ফুরিয়ার বর্ণালীতে $f$ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় $F:\{0,1\}^n \to R$ :

$F(s)=\sum_{x\in\{0,1\}^n} (-1)^\left( s\cdot x \mod\ 2 \right) f(x)$

এক বা প্রকৃত ফুরিয়ার বর্ণালীতে হয় এবং অন্যান্য এক মাত্র একটি জাল ফুরিয়ার একটি অজানা র্যান্ডম বুলিয়ান ফাংশন একাত্মতার Spectra হয়।$g$$h$$f$

এটা তোলে দেখানোর জন্য কঠিন নয় যে একটি মেশিন, করতে পারেন না এমনকি আনুমানিক কোন ।$PH$$F(s)$$s$

উচ্চ সাফল্যের সম্ভাব্যতা কোনটি সত্য তা দিয়ে সিদ্ধান্ত নেওয়ার প্রশ্নের জটিলতা কী?

এটা আমার কাছে আকর্ষণীয়, যেহেতু যদি এই সমস্যাটি না থাকে তবে যে কেউ একটি উপসেট না হয়ে সাথে সম্পর্কিত একটি ওরাকল উপস্থিত থাকতে পারে ।$PH$$BQP$$PH$

Comments

@ মিরমজতাবা: যদিও আমি সমস্যা এবং অনুপ্রেরণা জানি, আপনি যদি আপনার প্রশ্নটি সম্পাদনা করতে এবং "ফুরিয়ার স্পেকট্রা" সংজ্ঞায়িত করতে পারেন এবং এই সমস্যাটির সাথে পরিচিত নয় (বা আপনি যে শব্দবন্ধটি ব্যবহার করেছেন) কেবল তাদের পাঠকদের অনুপ্রেরণা ব্যাখ্যা করতে পারলে ভাল লাগবে। আপনি এইভাবে লোকদের কাছ থেকে আরও উত্তর পেতে পারেন। এছাড়াও, যদি আপনি মন্তব্যগুলি থ্রেডে পোস্ট না করে অতিরিক্ত মন্তব্য যুক্ত করার জন্য প্রশ্নটি সম্পাদনা করেন তবে এটি সাধারণত পছন্দ করা হয়। (যাতে পাঠকদের কেবল আপনার প্রশ্নটি পড়তে হবে এবং মন্তব্যগুলি পড়তে হবে না))

— রবিন কোঠারি

হতে পারে আমি সমস্যাটি ভুল বুঝেছি, তবে মনে হচ্ছে এই সমস্যাটি খুব শক্ত। যদি জি এবং এইচ খুব কাছাকাছি থাকে (বলুন যে তারা কেবলমাত্র 1 বিটের মধ্যে পৃথক হয়), তবে কোনও বিকিউপি মেশিন কীভাবে সিদ্ধান্ত নেবে যে কোনটি চ এর সঠিক ফুরিয়ার বর্ণালী? অনুসন্ধান সমস্যার উপরের নীচে আবদ্ধ হওয়া কি বোঝানো উচিত না যে এটি কোয়ান্টাম কম্পিউটারগুলির পক্ষে শক্ত?

— রবিন কোঠারি

আমার আরও বেসিক প্রশ্ন আছে। একটি স্বেচ্ছাসেবী ফাংশন দেওয়া, এটি সত্যিই একটি বুলিয়ান ফাংশন এর fourier বর্ণালী কিনা তা বলা সহজ?

— সুরেশ ভেঙ্কট

একপাশে, যেহেতু তিনি ক্রসপোস্টিংয়ের দু'দিন আগে অপেক্ষা করেছিলেন, এবং তাও এখানে কোনও উত্তর না পাওয়ার পরে, আমি মনে করি এটি করা পুরোপুরি ঠিক। রেজুলেশনেও পৌঁছেছেন এখানে দেখুন: meta.cstheory.stackexchange.com/questions/673/…

— সুরেশ ভেঙ্কট

পিএইচ মেশিন কী? আসলে, আপনি যদি কেবল জিজ্ঞাসা জটিলতায় আগ্রহী হন, তবে এটি অপ্রাসঙ্গিক বলে মনে হচ্ছে? এক্ষেত্রে সমস্যাটি একটি সাধারণ লিনিয়ার বীজগণিত সমস্যার দিকে ফুটে উঠেছে বলে মনে হচ্ছে, যা সম্ভবত কোনও ক্ষতিকারক ক্যোয়ারী জটিলতা দেয়।

— ডমোটরপ

Answer 1

দুঃখিত আমি দেরী করেছি - এটি একটি দুর্দান্ত প্রশ্ন! যেমন অন্যরা ইতিমধ্যে চিহ্নিত করেছে, ঠিক এই কারণেই আমি আমার বিকিউপি বনাম পিএইচ পেপারে প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করেছি এবং কেন আমি ২০০৮ সালে সাফল্য ছাড়াই এটিতে কাজ করতে 4 বা 5 মাস ব্যয় করেছি। প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার একটি উপায় প্রমাণিত হত আরও একটি সাধারণ বিবৃতি যা আমি "জেনারালাইজড লিনিয়াল-নিসান কনজেকচার" বলেছিলাম --- তবে দুর্ভাগ্যক্রমে, যে অনুমানটি মিথ্যা বলে প্রমাণিত হয়েছিল , তা কমপক্ষে 3 এবং তারও উচ্চতর সার্কিটের জন্য। (আমি এখনও গভীরতা -২ সার্কিটের ক্ষেত্রে সম্ভবত এটি সত্য বলে মনে করি, যা কমপক্ষে বিকিউপি এবং এএম এর মধ্যে একটি ওরাকল বিচ্ছেদ লাভ করবে)) আরও সাম্প্রতিক ধারণার জন্য (সর্বশেষ, যতদূর আমি জানি) বিকিউপি এবং পিএইচ এর মধ্যে ওরাকল বিভাজনের দিকে, ফেফারম্যান, শাল্টিয়েল, উমানস, এর সুন্দর ফলোআপ পেপারটি দেখুন

Comments

গরিবি কর্তৃক প্রশ্নের উপরোক্ত বক্তব্য অভিন্ন বা কিছুটা আলাদা? এটি কি আপনার একটি আপেক্ষিক সংস্করণ?

— vzn

এটি সামান্য বৈকল্পিক, তবে আমি বিশ্বাস করি যে এটি সমতুল্য প্রমাণ করা শক্ত নয়। প্রথমত, যদি আপনি ফুরিয়ার চেকিং সমাধান করতে পারেন তবে আপনি গারিবির সমস্যাও সমাধান করতে পারেন (কেবলমাত্র জি এবং এইচ এর জন্য আলাদাভাবে এফসি অ্যালগরিদম চালান)। কথোপকথনের জন্য, আপনি যদি ঘারিবির সমস্যা সমাধান করতে পারেন, তবে এফসির একটি উদাহরণ দেওয়া হয়েছে, দ্বিতীয় এফসি ফাংশনটির নাম "জি" বা "এইচ" একসাথে এলোমেলো করে দিন এবং দুটিটির অপরটি (যথাক্রমে এইচ বা জি) সেট করুন একটি এলোমেলো ফাংশন। যদি গারিবি অ্যালগরিদম সর্বদা এফসির উদাহরণ থেকে মূল ফাংশনটি ধরে রাখে তবে তার প্রমাণ যে উদাহরণটি এলোমেলোভাবে নয় বরং সম্পর্কযুক্ত ছিল।

— স্কট অ্যারনসন

চ যখন পি তে থাকে তখন আরও জানা যায়?

— গিল কালাই

গিল: আসলেই না! তারপরে আপনি বিকিউপি-তে একটি নিরবচ্ছিন্ন প্রতিশ্রুতি সমস্যা পান যা আমরা পিএইচ-তে থাকতে জানি না। অবশ্যই, আপনি সিউডোরেন্ডম ফাংশন দ্বারা f এবং g এর পরিবর্তে ওরাকল সমস্যার "এলোমেলো" কেসটি অনুকরণ করতে পারেন (পিএইচ মেশিনের তুলনায় এটি একটি বৃহত বহুবচনীয় সময়ে গণনা করা হয়েছে)। শক্ত অংশটি হ'ল, কীভাবে আপনি ওরাকল সমস্যার "ফরলেটেড" কেসটি অনুকরণ করবেন (যেখানে f এর জিয়ার ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের নিকটবর্তী)? অর্থাত্, আপনি কীভাবে এমন চ এবং জি এর জন্য ছোট সার্কিট সরবরাহ করেন যা "পুরো গেমটি ছেড়ে দেয় না"? (সিমনের সমস্যার সাথে একই রকম সমস্যা দেখা দেয়))

— স্কট অ্যারনসন

Answer 2

স্কট অ্যারনসন এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য বিশ্বের সেরা ব্যক্তি হতে পারেন, এই পোস্টটি পোস্ট করার পরে তার আরও ভাল উত্তর হতে পারে। তিনি মূল সমস্যাটির প্রস্তাব দিয়েছিলেন যা এই পোস্ট করা প্রশ্নটি খুব সামান্য বৈকল্পিক বলে মনে হচ্ছে, তথাকথিত ফুরিয়ার চেকিংয়ের সমস্যা (মন্তব্যগুলিতে তার আরও রেফেস)। সমস্যাটি কাছাকাছি সম্পর্কিত / প্রায় দুটি গুরুত্বপূর্ণ জটিলতা ক্লাস পিএইচ এবং বিকিউপি পৃথক করার সমান যা QM জটিলতা তত্ত্বের একটি মূল উন্মুক্ত সমস্যা, এবং সম্ভবত এটি খুব শক্ত। এটি দেখা যাচ্ছে না যে এ্যারনসন ব্যতীত অন্য কেউ সমস্যা নিয়ে এ পর্যন্ত সরাসরি / আরও গবেষণা করেছেন এবং সম্ভবত তিনিও করেননি (এটি দৃশ্যত কেবল 2 বছরের বেশি বয়সী)।

তবে এখানে অ্যারনসন বাদে অন্য কারও দ্বারা অন্তত একটি কাগজ রয়েছে যা কিছু নতুন ফলাফল নিয়ে অনুমান / সমস্যার উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে / তৈরি করে।

এক্সফোনেনশিয়াল স্পিডআপগুলি ফার্নান্দো জিএসএল ব্র্যান্ডেলিও এবং মাইকেল হোরোডেকি জেনারিক

আমাদের কাগজে [4] আমরা ফুরিয়ার চেকিং সমস্যাটিকে সাধারণীকরণ করি [1] এবং দেখিয়েছি যে ফুরিয়ার রূপান্তর, সমস্যার সংজ্ঞা এবং কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম উভয়ই সমাধান করে, এটি একটি বৃহত শ্রেণির কোয়ান্টাম সার্কিট দ্বারা প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে। এর মধ্যে কোয়ার্টাম সার্কিটের সেটগুলিতে প্রাকৃতিক বিতরণ থেকে ফিউরিয়ার যেকোন (সম্ভবত নন-অ্যাবেলিয়ান) সীমাবদ্ধ গ্রুপ এবং প্রায় কোনও পর্যাপ্ত দীর্ঘ কোয়ান্টাম সার্কিটের উপর রূপান্তর রয়েছে । আমরা প্রাপ্ত সূচকীয় এমন সব সার্কিট জন্য কোয়ান্টাম এর বিচ্ছিন্নতার এবং postselected শাস্ত্রীয় ক্যোয়ারী জটিলতার।

Comments

সংযোজন: ব্র্যান্ডো পেপারের [1] রেফ [1] সমাধানের সম্ভাব্য / পথ হিসাবে বিশেষত ফুরিয়ার চেকিংয়ের সমস্যা তৈরি করেছিলেন । $BQP\nsubseteq PH$

— vzn