অনুরূপ ইনপুটগুলির ব্যাচে বুলিয়ান সার্কিটের মূল্যায়ন করুন

ধরুন আমি একটি বুলিয়ান বর্তনী আছে যে নির্ণয় কিছু ফাংশন । ধরুন যে সার্কিটটি AND, OR, এবং ফ্যান-ইন এবং ফ্যান-আউট দিয়ে সর্বাধিক 2 এ গেট নয় ates $C$ $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$

যাক একটি প্রদত্ত ইনপুট করা আবশ্যক। প্রদত্ত এবং , আমি মূল্যায়ন করতে চান তে ইনপুট থেকে পৃথক গনা একটি একক বিট অবস্থানে, অর্থাত্, মান যেখানে হিসাবে একই ছাড়া যে তার তম বিট ফ্লিপ করা হয়। $x \in \{0,1\}^n$ $C$ $x$ $C$ $n$ $x$ $n$ $C(x^1),C(x^2),\dots,C(x^n)$ $x^i$ $x$ $i$

এটি করার কোনও উপায় কি আরও কার্যকর যে পৃথকভাবে বিভিন্ন উপকরণগুলিতে বারের মূল্যায়ন করে? $C$ $n$ $n$

ধরুন গেট $C$ রয়েছে । তারপর স্বাধীনভাবে মূল্যায়নের সব ইনপুট নিতে হবে সময়। সেখানে গনা একটি উপায় আছে কি মধ্যে সময়? $m$ $C$ $n$ $O(mn)$ $C(x^1),C(x^2),\dots,C(x^n)$ $o(mn)$

Alচ্ছিক প্রসঙ্গ: যদি আমাদের over এর উপরে একটি গাণিতিক সার্কিট থাকে (যার দরজাগুলি হ'ল গুণ, সংযোজন এবং অবহেলা) হয় , তবে নির্দেশিক ডেরিভেটিভস গণনা করা সম্ভব হত মধ্যে সময়। মূলত, আমরা গ্রেডিয়েন্ট (ব্যাক-প্রসারণ / চেইন রুল) গণনার জন্য স্ট্যান্ডার্ড পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করতে পারি $\mathbb{R}$ $n$ ${\partial f \over \partial x_i}(x)$ $O(m)$ $O(m)$ সময়। এটি কাজ করে কারণ সম্পর্কিত ফাংশন অবিচ্ছিন্ন এবং পৃথক। আমি ভাবছি বুলিয়ান সার্কিটের জন্যও অনুরূপ কিছু করা যায় কিনা। বুলিয়ান সার্কিটগুলি অবিচ্ছিন্ন এবং পার্থক্যযোগ্য নয়, সুতরাং আপনি একই কৌশলটি করতে পারবেন না, তবে সম্ভবত এমন কোনও অন্য চালাক কৌশল রয়েছে যা ব্যবহার করতে পারেন? হতে পারে কিছু ধরণের ফুরিয়ার কৌশল, বা কিছু?

(বৈকল্পিক প্রশ্ন: যদি আমাদের আনবাউন্ডেড ফ্যান-ইন এবং বাউন্ডেড ফ্যান-আউট সহ বুলিয়ান গেট থাকে তবে আপনি $C$ $n$ বার মূল্যায়নের চেয়ে অ্যাসিপোটোটিকভাবে আরও ভাল করতে পারবেন ?)

— ডিডাব্লিউ
সূত্র

যেহেতু অ্যান্ড্রু আপনার প্রশ্নের উত্তরটি বেশ ভাল দিয়েছিল, তাই আমি একটি মন্তব্য করব। যদি বড় (মত ) এবং আপনার মূল্যায়ন করছেন (আপ অনেক ইনপুট উপর ) তাহলে সেখানে একটি হল আকার শুধুমাত্র যা কোনও ইনপুটগুলিতে মূল্যায়ন করতে পারে । (সমস্যাটিকে সাহিত্যে "গণ উত্পাদন "ও বলা হয়।) উহলিগ দেখুন," স্বল্প সংখ্যক নির্ভরযোগ্য উপাদান সহ কার্যকারী উপাদানগুলির দ্বারা সংশোধনকারী স্কিমগুলির সংশ্লেষণের উপর "" ম্যাথ.নোটেস অ্যাকাদ.এসসি। ইউএসএসআর 15, 558--562। সুতরাং কিছু ক্ষেত্রে আপনি অ-অভিন্নতার সাথে আরও ভাল করতে পারেন।

m

$m$

O (2^{n} / n)

$O(2^n/n)$

C

$C$

2^{o (n / \log n)}

$2^{o(n/\log n)}$

C^{'}

$C'$

O (2^{n} / n)

$O(2^n/n)$

C

$C$

m

$m$

— রায়ান উইলিয়ামস

আমি এটাকে অসম্ভাব্যভাবে বিবেচনা করব যে এই জাতীয় কৌশলটি খুঁজে পাওয়া সহজ এবং / অথবা আপনাকে উল্লেখযোগ্য লাভ দেবে, কারণ এটি অনানুষ্ঠানিক সন্তোষজনকতা অ্যালগরিদম দেয়। এখানে কীভাবে:

প্রথমত, বাহ্যভাবে সহজতর হলেও আপনার সমস্যাটি প্রকৃতপক্ষে আরও সাধারণ সমস্যা সমাধান করতে পারে, একটি সার্কিট এবং ইনপুট দেওয়া হয়েছে , সমস্ত ইনপুটগুলিতে চেয়ে দ্রুত গতি নির্ধারণ করুন সময়। কারণে যে আমরা বদলাতে পারেন হয় একটি বর্তনী মধ্যে আকারের যা ইনপুট আউটপুট দেয় । মূলত, আমরা কেবলমাত্র একটি ছোট টেবিল তৈরি করি যা কে প্রেরণ করে এবং এটি তারে প্রেরণ করে । $C$ $N$ $x_0, \ldots, x_{N-1}$ $C$ $\tilde{O}(N\cdot|C|)$ $C$ $C'$ $|C| + \tilde{O}(Nn)$ $0^i10^{N-1-i}$ $C(x_{i})$ $0^i10^{N-1-i}$ $x_i$ $C$

বুলিয়ান-সার্কিটগুলির ব্যাচ মূল্যায়নের জন্য নন্ট্রাইভিয়াল অ্যালগরিদমগুলি তারপরে দ্রুত তৃপ্তিযোগ্য অ্যালগরিদম তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এখানে সাধারণ ক্ষেত্রে একটি উদাহরণ রয়েছে যেখানে আমরা মনে করি যে সময় মতো আমাদের মধ্যে একটি অ্যালগরিদম রয়েছে যেকোন ধ্রুবক । ইনপুট একটি বর্তনী উপর , আমরা সম্প্রসারিত করে satisfiability সিদ্ধান্ত নিতে পারেন একটি বর্তনী মধ্যে আকারেরযা প্রথম ইনপুটগুলির সমস্ত সম্ভাব্য পছন্দগুলির (কেবলমাত্র অন্য ইনপুটগুলি বিনামূল্যে রেখে) কেবল ওআর । এরপরে আমরা এর সমস্ত এর উপর সি'র ব্যাচ-মূল্যায়ন করি $\tilde{O}(|C|^{2-\epsilon} + (N\cdot|C|)^{1-\epsilon/2} + N^{2-\epsilon})$ $\epsilon > 0$ $C$ $C$ $C'$ $2^{n/2}\cdot |C|$ $n/2$ $C$ $C'$ $2^{n/2}$ ইনপুট। শেষ ফলাফল যে আমরা একটি পরিতৃপ্ত নিয়োগ খুঁজতে iff Satisfiable হয়। চলমান সময় হ'ল । $C'$ $C$ $\tilde{O}(2^{(n/2)(2-\epsilon)}\cdot |C|^{2-\epsilon}) = \tilde{O}(2^{n(1-\epsilon/2)}\cdot \textrm{poly}(|C|))$

— অ্যান্ড্রু মরগান
সূত্র